四年级奥数第四讲-等差数列含答案

第四讲 等差数列 一 知识点 一 知识点 1 数列 按一定顺序排成的一列数叫做数列 数列中的每一个数都叫做项 第一项称 为首项 最后一项称为末项 数列中共有的项的个数叫做项数 2 等差数列与公差 一个数列 从第二项起 每一项与与它前一项的差都相等 这样 的数列的叫做等差数列 其中相邻两项的差叫做公差 3 常用公式 等差数列的总和 首项 末项 项数2 项数 末项 首项 公差 1 末项 首项 公差 项数 1 首项 末项 公差 项数 1 公差 末项 首项 项数 1 等差数列 奇数个数 的总和 中间项项数 二 典例剖析 二 典例剖析 例 例 1 1 在数列 3 6 9 201 中 共有多少数 如果继续写下去 第 201 个数 是多少 分析 分析 1 因为在这个等差数列中 首项 3 末项 201 公差 3 所以根据公式 项数 末项 首项 公差 1 便可求出 2 根据公式 末项 首项 公差 项数 1 解 解 项数 201 3 3 1 67 末项 3 3 201 1 603 答 共有 67 个数 第 201 个数是 603 练一练 练一练 在等差数列中 4 10 16 22 中 第 48 项是多少 508 是这个数列的第几项 答案 第 48 项是 286 508 是第 85 项 例 例 2 2 全部三位数的和是多少 分析分析 所有的三位数就是从 100 999 共 900 个数 观察 100 101 102 998 999 这 一数列 发现这是一个公差为 1 的等差数列 要 求和可以利用等差数列求和公式来解答 解 解 100 999 9002 答 全部三位数的和是 练一练 练一练 求从 1 到 2000 的自然数中 所有偶数之和与所有奇数之和的差 答案 1000 例 例 3 3 求自然数中被 10 除余 1 的所有两位数的和 分析一分析一 在两位数中 被 10 除余 1 最小的是 11 最大的是 91 从题意可知 本题是 求等差数列 11 21 31 91 的和 它的项数是 9 我们可以根据求和公式来计 算 解一解一 11 21 31 91 11 91 92 459 分析二分析二 根据求和公式得出等差数列 11 21 31 91 的和是 459 我们可以求得 这 9 个数的平均数是 4599 51 而 51 恰好是这个等差数列的第五项 即中间的一项 称作中项 由此我们又可得到 S 中项n 但只能是项数是奇数时 等差数列有中项 才能用中项公式计算 解二解二 11 21 31 91 519 459 答 和是 459 练一练 练一练 求不超过 500 的所有被 11 整除的自然数的和 答案 11385 例 例 4 4 求下列方阵中所有各数的和 1 2 3 4 49 50 2 3 4 5 50 51 3 4 5 6 51 52 49 50 51 52 97 98 50 51 52 53 98 99 分析一分析一 这个方阵的每一横行 或竖行 都各是一个等差数列 可先分别求出每一横 行 或竖行 数列之和 再求出这个方阵的和 解一解一 每一横行数列之和 第一行 1 50 502 1275 第二行 2 51 502 1325 第三行 3 51 502 1375 第四十九行 49 98 502 3675 第五十行 50 99 502 3725 方阵所有数之和 1275 1325 1375 3675 3725 1275 3725 502 分析二分析二 观察每一横行可以看出 从第二行起 每一行和都比前一行多 50 所以可以 先将第一行的和乘以 50 再加上各行比第一行多出的数 这样也能求得这个方阵所有 数的和 解二解二 1 50 50250 63750 50 1 2 3 49 50 1 49 492 61250 63750 61250 答 这个方阵的和是 练一练 练一练 求下列方阵中 100 个数的和 0 1 2 3 8 9 1 2 3 4 9 10 2 3 4 5 10 11 9 10 11 12 17 18 答案 900 例 例 5 5 班级男生进行扳手腕比赛 每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次 若一共 扳了 105 次 那么共有多少男生参加了这项比赛 分析 分析 设共有几个选手参加比赛 分别是 A A2 A3 A An 从 A 开始按顺 111 序分析比赛场次 A 必须和 A2 A3 A4 An 逐一比赛 1 场 共计 n 1 场 1 A2 已和 A 赛过 他只需要和 A 3 A4 A5 An 各赛 1 场 共计 n 2 场 1 A 3 已和 A A2 赛过 他只需要和 A4 A5 A6 An 各赛 1 场 共计 n 1 3 场 以此类推 最后 An 1 只能和 An 赛 1 场 解 解 Sn n 1 n 2 2 1 1 n 1 n 1 2 1 n n 1 场 2 1 根据题意 Sn 105 场 则 n n 1 210 因为 n 是正整数 通过试算法 可知 1514 210 则 n 15 即共有 15 个男生参加了比赛 答 有 15 个男生参加了比赛 练一练 练一练 从 1 到 50 这 50 个连续自然数中 取两数相加 使其和大于 50 有多少种不同的 取法 答案 625 种 例 例 6 6 若干人围成 16 圈 一圈套一圈 从外向内圈人数依次少 6 人 如果共有 912 人 问最外圈有多少人 最内圈有多少人 分析 分析 从已知条件 912 人围成 16 圈 一圈套一圈 从外到内各圈依次减少 6 人 也就 是告诉我们这个等差数列的和是 912 项数是 16 公差是 6 题目要求的是等差数列末 项 a a d n 1 6 16 1 90 人 n1 解 解 a a S2n 114 人 n1 外圈人数 90 114 2 102 人 内圈人数 114 90 2 12 人 答 最外圈有 102 人 最内圈有 12 人 练一练 练一练 若干人围成 8 圈 一圈套一圈 从外向内各圈人数依次少 4 人 如果共有 304 人 最外圈有几人 答案 52 人 模拟测试 模拟测试 4 4 一 填空题一 填空题 每小题 5 分 1 有一串数 已知第一个数是 6 而后面的每一个数都比它前面的数大 4 这串数中第 2003 个数是 2 等差数列 0 3 6 9 12 45 是这个数列的第 项 从 2 开始的连续 100 个偶数的和是 3 一个剧院共有 25 排座位 从第一排起 以后每排都比前一排多 2 个座位 第 25 排有 70 个座位 这个剧院共有 个座位 4 所有 5 除以 4 余 1 的三位数的和是 6 时钟在每个整点敲该钟点数 每半点钟敲一下 一昼夜这个时钟一共敲 下 7 一个五层书架共放了 600 本书 已知下面一层都比上面一层多 10 本书 最上面一层放 本书 最下面一层放 本书 8 从 200 到 500 之间能被 7 整除的各数之和是 9 在 1949 1950 1951 1987 1988 这 40 个自然数中 所有偶数之和比所有奇数 之和多 10 有一列数 1 2002 2001 1 2000 1999 1 从第三个数开始 每个数都是 它前面两个数中大数减去小数的差 从第一个数开始到第 2002 个数为止这 2002 个数的和 是 二 简答题二 简答题 每小题 10 分 1 有 10 只金子 54 个乒乓球 能不能把 54 个乒乓球放进盒子中去 使各盒子的乒乓球 数不相等 2 小明家住在一条胡同里 胡同里的门牌号从 1 号开始摸着排下去 小明将全胡同的门牌 号数进行口算求和 结果误把 1 看成 10 得到错误的结果为 114 那么实际上全胡同有多 少家 3 有一堆粗细均匀的圆木 堆成如下图的形状 最上面一层有 7 根园木 每面下层增加 1 根 最下面一层有 95 根 问 这堆圆木一共有多少根 4 有一个六边形点阵 如下图 它的中心是一个点 算做第一层 第二层每边有两个点 第三层每边有三个点 这个六边形点阵共 100 层 问 这个点阵共有多少个点 5 X Y Z 1993 有多少组正整数解 模拟测试 模拟测试 4 4 解答解答 一 填空题一 填空题 1 8014 6 4 2003 1 6 42002 8014 2 16 45 0 3 1 453 1 16 3 10100 末项 2 100 1 2 200 和 2 200 100 2 10100 4 1150 a 70 25 1 2 22 个 1 总座位数 22 70 252 1150 个 5 所有除以 4 余 1 的三位数为 101 105 109 997 项数 997 101 4 1 225 和 101 997 2252 6 180 1 12 12 124 1312 24 180 下 7 100 140 中间一层本数 6005 120 本 最上面一层 12 102 100 本 最下面一层 120 12 140 本 8 15050 构成等差数列为 203 210 497 项数 497 203 7 1 43 数列和 203 497 432 15050 9 20 1950 1988 202 1949 1987 202 39380 39360 20 10 在原数列中 以数 1 为标志 把三个数看成一组 20023 667 1 其中 2001 个数分为 667 组 有 667 个 1 因为余下的一个数恰为 1 则 2002 个数中有 668 个 1 其余的数是 2002 则 669 有 1334 个数 6681 2002 669 13342 668 二 简答题二 简答题 1 解 答 题中要求办不到 2 解 误把 1 看成 10 错误结果比正确结果多 10 1 9 那么正确结果为 114 9 105 即全 胡同门牌号组成的数列求和为 105 设全胡同有 n 家 此数列为 1 2 3 n 数列求和 1 n n2 105 1 n n 210 将 210 分解 210 2357 1415 则 n 为 14 答 全胡同实际有 14 家 3 解 7 95 102 根 95 7 1 89 层 4539 根 答 这堆圆木一共有 4539 根 4 解 第 100 层有点 6 99 1 6 6 986 699 594 个 点阵只有点 1 6 594 992 1 29701 个 答 这个点阵共有点 29701 个 5 解 当 X 1991