建模基本入门

目目 录录 优秀论文学习及个人认识分析优秀论文学习及个人认识分析 原文主要内容 原文主要内容 2 摘要摘要 2 关键字 罐容体储油量关键字 罐容体储油量 分段积分分段积分 微分中值定理微分中值定理 线性拟合线性拟合 循环迭代循环迭代 3 问题问题的背景的背景 3 问题的提出与重述问题的提出与重述 3 基本假设基本假设 3 模型的主要符号变量说明模型的主要符号变量说明 3 问题的分析问题的分析 3 模型建立与求解模型建立与求解 3 模型的进一步讨论和改进模型的进一步讨论和改进 4 个人分析 个人分析 4 必做题必做题 MATLABMATLAB 代码及答案 代码及答案 5 5 1 1 水塔流量的估计 水塔流量的估计 5 问题解析问题解析 5 MATLAB 源代码 源代码 6 2 最佳广告费用及其效应 最佳广告费用及其效应 7 问题分析问题分析 7 MATLAB 源代码源代码 7 3 3 露天采矿 露天采矿 10 问题的分析问题的分析 11 优秀论文学习及个人认识分析优秀论文学习及个人认识分析 储油罐的变位识别与罐容表标定 原文主要内容 原文主要内容 摘要摘要 加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 可通过预先标定好的罐容表 可得到罐内油位高度与储油量的变化关系 因而建立储油罐变位后储油量与油 高及变位参数 纵向倾斜和横向偏转 之间的一般关系 对罐体储油量的 真实计算 先建立没有变位时的罐体储油量和油位高度的关系 其次 利用几何关 系 将横向偏转修正 以消除其对储油量的影响 将问题归结为只需要计算纵 向偏转对储油量的影响 最后利用循环迭代并结合矩形套定理 逐步缩小范围 以确定偏转角 用以模拟检验 得出结果与实际相符 和 关键字 罐容体储油量关键字 罐容体储油量 分段积分分段积分 微分中值定理微分中值定理 线性拟合线性拟合 循环迭代循环迭代 问题的背景问题的背景 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度 等数据 通过预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行 实时计算 以得到罐内油位高度和储油量的变化情况 许多储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化 以下称为变位 从而导致罐容表发生改变 问题的提出与重述问题的提出与重述 由于地基变形等原因 使罐体的位置发生变位 从而导致罐容表不能显 示实际的储油量 罐容表误差过大而不能正常使用 造成加油站油品虚假盈亏 这样 就给加油站经营管理带来一些问题 如造成加油站虚假盈亏 无法对油 品数量进行正确的监控和管理 以及年底盘底或新旧站长变更时 无法进行正 常的油品库存交接 因而需要对罐容表进行重新标定 图1 储油罐正面示意图 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意 基本假设基本假设 1 假设油浮子始终处于水平状态 并且油浮子的体积不记 视为质点 2 假设油位探针是固定的 不发生任何转动 模型的主要符号变量说明模型的主要符号变量说明 主要符号说明 V 无变位时椭圆形储油罐的储油量 V1 椭圆型储油罐 变位后 底部部分覆盖时的储油量 V2 椭圆型储油罐变位后 底部覆盖顶部 未覆盖时的储油量 变位后 底部部分覆盖时 油位与底部的相交线离 问题的分析问题的分析 首先建立了无变位时小椭圆形储油量与油位高度的一般关系函数式 由 于小椭圆型储油罐纵向变形后 在油量少到低于油位探针最底端时和油量多于 探针与椭圆柱体顶部的交点时 纵向变位后 在油液面低于柱体右端最低点和 高于左端最高点 及两者之间 储油量与油位高度有不同的关系式 模型建立与求解模型建立与求解 由于对于特定的椭圆型储油罐 当其所处状态 变位或未变位 确定时 对于进油和出油的研究都一样 所以本问题只用进油这一情况进行分析 研究 对于图 4 的小椭圆型储油罐 我们首先建立无变位时罐内储油量与油位高度的 函数关系式 22 2 arcsin 1 2 ah VLhbhbhbb bb 其中 a 1 78 2 0 89m b 1 2 2 0 6m L 2 45m 实际值与理论计算值随油位 高度变化的图像见 00 20 40 60 811 21 4 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 实 实 实 实 实 实 模型的进一步讨论和改进模型的进一步讨论和改进 椭圆型储油罐纵向变位后 虽然计算值和实际值的误差很小 但为了计算 更准确 更接近实际 我们对误差随监测油位高度的变化进行了多项式拟合 发现三次拟合效果最好 散点为附件五中的 理论计算值 实际值 实际值 蓝线为拟合曲线 从图中可以看出拟合效果很好 因而设误差随油位高度变化 的函数关系式为 32 1234 f xa xa xa xa 个人分析 个人分析 首先 我先谈谈自己对数学建模的理解 在学习优秀论文的过程中 我 对数学建模有了自己的认识 虽然建模刚开始我并没有来 但就这几天的熟悉 与了解 我觉得数学建模就是一把万能的钥匙 在生活中 我们无时无刻不在 使用它 比如 我们去一个地方 我们肯定要考虑去那里的路线方式 还要考 虑综合的价格与时间长短 受天气 个人行程的影响等因素 还有 对于全国 性的疾病调查 人口统计等 数学建模都在起着无可代替的作用 所以 无论 小事大事其实就已经涉及到了数学建模的最优问题 选择问题等 同时 我们 在学习数学建模的过程中 我们要学会对大量的数学数据进行分析 这既要求 我们去图书馆查阅相关的资料 也要学会筛选整理网上形形色色的信息 再次 数学模型的模型本身来自生活的各个方面 所以这就要求我们具备多学科交叉 学习的能力 这既拓宽了我们的知识面 又使我们的逻辑思考 团队合作等太 多的能力得以提高 而对于论文写作 我觉得它要有一定的格式 但也要条理清晰 有所创 新 用简洁的语言全面体现整个团队的思考 首先要进行模型准备 了解问题 的实际背景 明确其实际意义 掌握数据对象的各种信息 用数学语言来描述 问题 这个过程要求我们对大量的数据进行分析归纳 使用必要的软件 对数 据进行导入导出 其次 我们要模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的 对问题进行必要的简化 并用精确的语言提出一些恰当的假设 当然 我觉得 最重要的是模型建立与模型的求解 在假设的基础上 利用适当的数学工具来 刻画各变量之间的数学关系 建立相应的数学结构 模型求解时 应利用获取 的数据资料 对数据进行拟合 对主要参数进行必要的取舍 抓住主要因素 进行分析计算 这个过程中 我们要学会使用程序解答 以简单的文字 必要 的图表 数据的结果图等形式呈现 实现问题的最优化 使其最准确的符合实 际 最后 我们在完成模型分析后 要进行模型检验 将模型分析结果与实际 情形进行比较 以此来验证模型的准确性 合理性和适用性 如果模型与实际 较吻合 则要对计算结果给出其实际含义 并进行解释 如果模型与实际吻合 较差 则应该修改假设 再次重复建模过程 最后的最我们完成模型后要学会推 广并应用 而应用方式因问题的性质和建模的目的而异 总之 数学建模看似简单却并不简单 需要用心思考 用心努力 必做题必做题 MATLABMATLAB 代码及答案 代码及答案 1 1 水塔流量的估计 水塔流量的估计 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔 一般可以通过测量其水位来估计水的流量 面临的困难是 当水塔水位下降到设定的最底水位时 水泵自动启动向水塔供水 到设定的最高水位的时候停止供水 这 段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量 通常水泵每天供水一两次 每次约 3h 水塔是一个高为 12 2m 直径为 17 4m 的正圆柱 按照设计 水塔水位降至约 8 2m 时 水泵自动启 动 水位升至约 10 8m 时水泵停止工作 下表是某一天的水位测量记录 符号 表示水泵启动 试估计任何时刻 包括水泵正供水时 从水塔流出的水流量 及一天的总用水量 问题解析 问题解析 流量是单位时间流出的水的体积 由于水塔是圆柱形 横截面积是常数 在 水泵不工作时段 流量很容易从水位对时间的变化率算出 问题是如何估计水泵供水时段 的流量 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到 作为拟合的原始数据 我 们希望水泵不工作时段的流量越准确越好 我们可以考虑先用表中数据拟合水位 时间函 数 然后对之求导即可得到各时段的流量 有了任意时刻的流量 就不难计算一天的总用 水量 MATLAB 源代码 源代码 t 0 0 92 1 84 2 95 3 87 4 98 5 90 7 01 7 93 8 97 10 95 12 03 12 95 13 88 14 98 15 90 16 83 17 93 19 04 19 96 20 84 23 88 24 99 25 91 h 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018 c1 polyfit t 1 10 h 1 10 3 a1 polyder c1 tp1 0 0 1 9 x1 abs polyval a1 tp1 c2 polyfit t 11 21 h 11 21 3 a2 polyder c2 tp2 11 0 1 20 8 x2 abs polyval a2 tp2 xx1 abs polyval a1 8 9 xx2 abs polyval a2 11 12 xx12 xx1 xx2 c12 polyfit 8 9 11 12 xx12 3 tp12 9 0 1 11 x12 polyval c12 tp12 dt3 diff t 22 24 dh3 diff h 22 24 dht3 dh3 dt3 t3 20 20 8 t 22 t 23 xx3 abs polyval a2 t3 1 2 dht3 c3 polyfit t3 xx3 3 tp3 20 8 0 1 24 x3 polyval c3 tp3 y1 0 1 trapz x1 y2 0 1 trapz x2 y12 0 1 trapz x12 y3 0 1 trapz x3 y y1 y2 y12 y3 237 8 0 01 得结果 得结果 y1 146 1815 y2 258 0441 y12 50 3990 y3 74 9138 y 1 2592e 003 0510152025 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 2 最佳广告费用及其效应 最佳广告费用及其效应 某装饰材料公司以每桶 2 元的价钱购进一批彩漆 为了尽快收回资金并获得较多的赢利 公司经理李 先生打算做广告 于是便找到广告公司的王先生进行咨询 李经理认为 随着彩漆售价的提高 预期销售 量将减少 并对此进行了估算 见表 1 他问王先生广告有多大效应 王先生说 投入一定的广告费 后 销售量将有一个增长 这由销售增长因子来表示 例如 投入 3 万元的广告费 销售增长因子为 1 85 即销售量将是预期销售量的 1 85 倍 据经验 广告费与销售增长因子的关系有表 2 李经理听后 迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大 试经过计算给出解答 问题分析问题分析 首先用回归建立基本模型 用函数关系式描述了售价与预期销售之间的关系 和广告费与销售增长因子之间的关系 然后 利用基本模型 构造出利润 销售量 广告 费三者之间的函数表达式 在相应的限定条件下求出利润的最大值 以及在此最大值下的 广告费和售价 即为最佳广告费和售价 所以 关键的问题在于如何根据已给定的数据 表一 表二给出 确定出变量与变量 之间的最佳函数关系表达式 在此 我们用到了数据拟合中的最小二乘法 MATLAB 源代码源代码 售价与预期销售量 售价与预期销售量 x 2 0 5 6 y 41 38 34 32 29 28 25 22 20 axis 2 8 15 45 plot x y k markersize 6 title 售价与预期销售量 xlabel 售价 X ylabel 预期销售量 Y mean y sum y length y SS T sum y 2 sum y 2 length y SS R 0 for i 1 length y SS R SS R polyval p x i mean y 2 end R SS R SS T 利用利用 MatlabMatlab 程序依次对程序依次对 n 1 n 3n 1 n 3 进行拟合 拟合程序如下 进行拟合 拟合程序如下 x 2 0 5 6 y 41 38 34 32 29 28 25 22 20 plot x y k markersize 10 axis 2 8 15 45 p polyfit x y 1 p1 polyfit x y 3 t 0 0 01 8 s polyval p t s1 polyval p1 t hold on plot t s k linewidth 2 plot t s1 k linewidth 2 grid title 销售量与售价的拟合曲线 xlabel 售价 X ylabel 销售量 Y 广告费与销售因子 广告费与销售因子 利用 Matlab 程序依次对 n 1 n 3 进行拟合 拟合程序如下 x 0 10000 70000 y 1 0 1 4 1 7 1 85 1 95 2 0 1 95 1 8 plot x y k markersize 10 axis 0 70000 1 0 2 0 p polyfit x y 1 p1 polyfit x y 3 t 0 0 01 8 s polyval p t s1 polyval p1 t hold on plot t s k linewidth 2 plot t s1 k linewidth 2 grid title 广告费与决定因子的散点图 xlabel 广告费 X ylabel 决定因子 Y 广告费与广告因子拟合曲线 广告费与广告因子拟合曲线 x 0 10000 70000 y 1 0 1 4 1 7 1 85 1 95 2 0 1 95 1 8 plot x y k markersize 10 axis 0 70000 1 0 2 0 p polyfit x y 2 p1 polyfit x y 3 p2 polyfit x y 6 t 0 1 70000 s polyval p t s1 polyval p1 t s2 polyval p2 t hold on plot t s b linewidth 2 plot t s1 k linewidth 2 plot t s2 r linewidth 2 grid title 广告费与决定因子的拟合曲线 xlabel 广告费 X ylabel 决定因子 Y 综合考虑售价与销售 广告费与广告因子 综合考虑售价与销售 广告费与广告因子 1 1 当售价与销售 n 1 广告费与广告因子 n 2 时 f inline x 2 0 x 1 2 5 1333 x 1 50 422 x 1 2 0 0426 x 2 2 0 4092 x 2 1 0188 x fval fminsearch f 1 1 程序运行结果为 x 5 9113 4 6533 fval 152 4447 此时 当售价 X 5 9113 广告费 Z 4 533 时 预期利润 P 最大 为 152 4447 万元 2 2 考虑预期销售量 Y 与售价 X 之间的拟合次数 n 1 增长因子 K 与广告费 Z 之间的拟合次数 n 3 f inline x 2 5 1333 x 1 50 422 x 1 2 0 0011 x 2 x 2 2 0 0545 x 2 2 0 4405 x 2 1 0068 x fval fminsearch f 1 1 程序运行结果为 x 5 9112 4 5517 fval 151 4408 此时 当售价 X 5 9112 广告费 Z 4 5517 时 预期利润 P 最大 为 151 4408 万元 3 3 考虑考虑预期销售量 Y 与售价 X 之间的拟合次数 n 3 增长因子 K 与广告 费 Z 之间的拟合次数 n 3 f inline x 2 0 1953 x 1 x 1 2 2 5859 x 1 2 15 8704 x 1 64 0909 x 1 2 0 0011 x 2 x 2 2 0 0545 x 2 2 0 4405 x 2 1 0068 x fval fminsearch f 1 1 程序运行结果为 x 5 7832 4 5538 fval 153 4281 此时 当售价 X 5 7832 广告费 Z 4 5538 时 预期利润 P 最大 为 153 4281 万元 综上 从以上结果可以看到 采用不同的拟合曲线 所得的最终结果非常相近 说明曲线综上 从以上结果可以看到 采用不同的拟合曲线 所得的最终结果非常相近 说明曲线 的拟合优度较高 的拟合优度较高 3 3 露天采矿 露天采矿 某公司获准在一块 200 200 米的方形地上露天采矿 因为土石滑坡 控坑的坑边坡度 不能斜于 45 度 公司一得到不同位置不同深度的矿砂含纯金属的百分数的估计值 考虑到 坡度的坡度角对挖坑工作所加的限制 公司决定将问题作为长方形的挖取问题处理 每个长 方形块水平尺寸为 50 50 铅直尺寸为 25 若在一个深度层挖了 4 块 则在下一层还可以挖 一块 若俯视这 5 块的水平关系 将是图 1 所示的情形 这样一来 所能挖取的块数 第一 层最多为 16 块 第二块最多为 9 块 第三层最多为 4 块 第四层最多为 1 块 不能再往下 挖 所有这些能挖取的块 按已得的估计值 将各快含纯金属的百分数作为的值 则各快的 值如下 第一层 第二层 4 0 4 0 2 0 3 0 3 0 3 0 2 0 2 0 0 5 第三层 12 0 6 0 5 0 4 0 第四层 挖取费用随深度增加 各层的挖取费用为 层一 二 三 四 块费用 3000 6000 8000 10000 挖取一块的收入同该块的值成正比 从一个值为 100 的块可的收入 200000 试建一模型以 帮助挖取哪些块 使收入减费用最大 问题的分析问题的分析 题目的要求是通过建立数学模型制定最优挖掘方案 使得收入与费用之差为最大 即 纯收入最大 这是一个典型的优化模型的问题 根据题目条件 只有在一个深度上挖了四 1 5 1 5 1 5 0 75 1 52 0 1 5 0 75 1 0 1 0 0 75 0 5 0 75 0 75 0 5 0 25 6 0 块 才能在下一层再挖一块 最多的挖掘块数为第一层最多为 16 块 第二层最多为 块 第三层最多 块 第四层最多 块 可以逆向思维 若挖取第四层的那块长方形块 则必 须挖取所有的长方形块 而若该公司采用这种挖取方案 则可以根据题目中给出的各块长 方形块的价值和挖取费用 计算出其总收入为 710 2 万元 其总挖取费用为 160 390 640 万元 两者之差为 0 2 万元 说明若采用这种挖取方案 该公司将损失 0 2 万元 按照常理考虑 公司采矿的目的是为了盈利 该公司不会采用这种挖取方案 所以 第四层的那块长方形 块不挖取 因此 我们在考虑建立模型的时候 只需研究前三层的长方形块 应用矩阵模型求解 应用矩阵模型求解 根据各块含纯金属的百分数作为块的值建立其价值矩阵为 1 2 3 i A i 分别代表第一层 第二层和第三层的价值矩阵 根据题中给出的数据 1 2 3i 得到 1 44 1 51 51 50 75 1 52 01 50 75 1 01 00 750 5 0 750 750 50 25 ij Aa 2 33 4 04 02 0 3 03 01 0 2 01 00 5 ij Aa 3 22 12 06 0 5 04 0 ij Aa 公司纯收入大于 0 时为盈利 小于 0 时为亏损 下面单独考虑每一个长方 形块的盈利和亏损情况 根据题中条件 第一层中各块的挖取费用为 0 3 万元 第二层为 0 6 万元 第三层为 0 8 万元 而一个价值挖取一块的收入同该块的 值成正比 一个值为 的块可得收入为 0 2 万元 因此 可以根据每一个长方 形块的盈亏情况 将每一个长方形的值转移为其盈亏情况 建立 转移矩阵 即表示每一个长方形块的盈亏值 其计算公式为每一长方形块 1 2 3 i P i ij p 的值乘以 减去每一层的挖取费 计算得到 ij a0 2 1 44 0000 15 00 100 15 0 10 10 150 2 0 150 150 20 25 ij Pp 2 33 0 20 20 2 000 4 0 20 20 5 ij Pp 3 22 1 60 4 0 20 ij Pp 第二层各块长方形块的盈亏值 为了表达清晰 易于模型推广 将三个不同层长方形块的值的矩阵用同 一个扩充矩阵来表示 建立一个的三维扩充矩阵 其元素为 3 9 9 M m k i j 分别表示第一 二 三层 分别表示各层各长方形块的坐标 根据1 2 3k i j 题中所给数据 可以得到 000000000 01 501 501 500 750 000000000 01 50201 500 750 1 000000000 010100 7500 50 000000000 00 7500 7500 500 250 000000000 mi j 000000000 000000000 004040200 000000000 2 003030100 000000000 0020200 500 000000000 000000000 mi j 长方形块 123456789 盈亏值 万元 0 30 3 0