反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

反比例函数与一次函数综合经典例题解析反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现 这类试题不仅 能考查两个函数的基本性质 而且能考查同学们综合分析问题的能力 现以以下典型典型 例题例题为例 浅谈这类问题的解法 供参考 一一 探求同一坐标系下的图象探求同一坐标系下的图象 例例 1 已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图 1 则下列结论正mxy x n y 确的是 A B 0n 0m 0n 0m C D 0n 0m 0n 0m 分析 分析 由图知 一次函数中 y 随 x 的增大而增大 所以 反比例函数mxy 0m 在第二 四象限 所以 观察各选项知 应选 B x n y 0n 评注 本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质 方能作出正确选择 例例 2 在同一直角坐标系中 函数与的图象大致是 kkxy 0k x k y A B C D 图 2 分析 分析 本题可采用排除法 由选项 A B 的一次函数图象知 即 则一次0k 0k 函数图象与 y 轴交点应在 y 轴负半轴 而选项 A B 都不符合要求 故都kkxy 排除 由选项 D 的一次图象知 即 则反比例函数图象应在0k 0k 0k x k y 第一 三象限 而选项 D 不符合要求 故也排除 所以本题应选 C 评注 评注 本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出 有较强的综合性 解 决这类问题常用排除法 二二 探求函数解析式探求函数解析式 例例 3 如图 3 直线与双曲线只有一个交点 A 1 2 且与 x 轴 ybxky 1 x k y 2 轴分别交于 B C 两点 AD 垂直平分 OB 垂足为 D 求直线与双曲线的解析式 解析 解析 因为双曲线过点 A 1 2 x k y 2 所以2k 1 k 2 2 2 得双曲线的解析式为 x 2 y 因为 AD 垂直平分 OB A 点的坐标为 1 2 所以 B 点的坐标为 2 0 因为过点 A 1 2 和 B 2 0 bxky 1 所以 0bk2 2bk 1 1 解得 4b 2k1 所以直线的解析式为4x2y 评注 评注 解决本题的关键是确定点 B 的坐标 由 AD 垂直 OB 知 点 D 和点 A 的横坐标 应相同 所以点 D 的坐标为 1 0 又 AD 平分 OB 知 所以点 B2OD2OB 坐标为 2 0 进而求出一次函数解析式 三三 探求三角形面积探求三角形面积 例例 4 如图 4 反比例函数的图象与直线的交点为 A B 过点 A 作 y x 4 y x 3 1 y 轴的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点 C 则的面积为 ABC A 8B 6C 4D 2 解析 解析 把代入 得 x 4 y x 3 1 y x 3 1 x 4 整理得12x 2 解得32x 32x 21 把分别代入32x 32x 21 x 4 y 得3 3 2 y 3 3 2 y 21 所以点 A 的坐标为 3 3 2 32 点 B 的坐标为 3 3 2 32 由题意知 点 C 的横坐标与点 A 的横坐标相同 点 C 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同 所以点 C 的坐标为 3 3 2 32 因为 3 3 4 3 3 2 3 3 2 AC 343232BC 所以的面积为ABC 8343 3 4 2 1 BCAC 2 1 故应选 A 例例 5 如图 5 已知点 A 是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限xy x 2 y 内的交点 点 B 在 x 轴的负半轴上 且 OA OB 那么的面积为 AOB A 2B C D 2 2 222 析解 把代入 得 xy x 2 y x 2 x 整理得 解得2x 2 2x 2x 21 得分别代入2x 2x 21 xy 得2y 2y 21 又点 A 在第一象限内 所以点 A 的坐标为 2 2 在中AOC 2OC 2AC 由勾股定理 得所以 OB 2 2OA 所以的面积为AOB 222 2 1 ACOB 2 1 故应选 C 评注 评注 例 4 和例 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标 这是求两函数图象交 点坐标的常用方法 蕴含着转化思想 四四 探求点的坐标探求点的坐标 例例 6 如图 6 直线分别交 x 轴 y 轴于点 A C 点 P 是直线 AC 与双曲线1x 2 1 y 在第一象限内的交点 轴 垂足为点 B 的面积为 4 x k y xPB APB 1 求点 P 的坐标 2 略 析解 在中 令 则 令 则 1x 2 1 y 0 x 1y 0y 2x 所以点 A 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 因为点 P 的直线上 1x 2 1 y 不妨设点 P 的坐标为 1m 2 1 m 所以 1m 2 1 PB 2mAB 又因为4PBAB 2 1 S APB 所以4 1m 2 1 2m 2 1 整理得012m4m2 即0 6m 2m 解得6m 2m 21 因为点 P 在第一象限 所以 2m 故点 P 的坐标为 2 2 评注 评注 本题的解答过程蕴含着设元思想 方程思想和转换思想 五 综合运用五 综合运用 例例 6 已知关于 x 的一次函数 y mx 3n 和反比例函数y 25mn x 的图象都经 过点 1 2 求 1 一次函数和反比例函数的解析式 2 两个函数图象的另一个交点的坐标 解析 解析 1 两函数图象都过点 1 2 解之 得 m3n2 2m5n2 m4 n2 一次函数的解析式为 y 4x 6 反比例函数的解析式为 y 2 x 2 根据题意 列出方程组 y4x6 y 2 x 解之 得 x1 y2 x y4 1 2 两函数图象的另一个交点为 1 2 4 评注 评注 一次函数 与反比例函数 的图象都经过点ymx3ny 25mn x 1 2 则该点坐标满足两解析式 要求两图象交点 则应由两图象的解 析式组成方程组求解 例例已知一次函数 和反比例函数 7 yx6y k0 k x 1 k 满足什么条件时 这两个函数在同一坐标系 xOy 中的图象有两个公共点 2 设 1 中的两个公共点为 A B 试判断 AOB 是锐角还是钝角 1 yx6 y 根据题意 得 k x 消去 y 得 x2 6x k 0 36 4k 0 k 9 当 k 9 且 k 0 时 方程 x2 6x k 0 有两个不相等的非零实数解 k 9 且 k 0 时 两函数图象有两个公共点 2 y x 6 的图象过第一 二 四象限 0 k 9 时 双曲线两支分别在第一 三象限 由此知两公共点 A B 在第一象限 此时 AOB 是锐角 k 0 时 双曲线两支分别在第二 四象限 两公共点 A B 分别在第二 四 象限 此时 AOB 是钝角 例例 已知 是直线 与双曲线 的交点 8 A m2 ly 3 x 1 求 m 的值 2 若直线 l 分别与 x 轴 y 轴相交于 E F 两点 并且 Rt OEF O 是坐标原 点 的外心为点 A 试确定直线 l 的解析式 3 yBBKxK 2 在双曲线 上另取一点 作 轴于 将中的直线 3 x l 绕点 A 旋转后所得的直线记为 l 若 l 与 y 轴的正半轴相交于点 C 且 试问在 轴上是否存在点 使得 OCOFyPSS PCABOK 1 4 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 解析 直线与双曲线 的一个交点为 yA m2 l 3 x 即 33 2m 2m 点坐标为 A 3 2 2 2 作 AM x 轴于 M A 点是 Rt OEF 的外心 EA FA 由 AM y 轴有 OM ME OF 2OM MA 2 OF 4 F 点的坐标为 0 4 设 l y kx b 则有 3 2 4 3 kb2 b4 k b4 直线 的解析式为 lyx4 4 3 3 OCOFOC1 1 4 C 点坐标为 0 1 设 B 点坐标为 x1 y1 则 x1y1 3 S x y BOK11 1 2 3 2 设 P 点坐标为 0 y 满足 S PCA S BOK 当点 P 在 C 点上方时 y 1 有 S y1 y1 PCA 1 2 3 2 3 4 3 2 y 3 当点 P 在 C 点下方时 y 1 有 S 1y PCA 1 2 3 2 y 2 综上知 在 y 轴存在点 P 0 3 与 0 2 使得 S PAC S BOK 评注 评注 直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点 这是 惟一能沟通它们的要素 应用交点时应注意 1 交点既在直线上也在双曲线上 交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲 线的解析式 2 要求交点坐标时 应将两种图象对应的解析式组成方程组 通过解方程组 求出交点坐标 3 判断两种图象有无交点时 可用判别式确定 也可以画出草图直观地确 定 例例如图 已知 是双曲线 在第一象限内的分支91332CDy m x 上的两点 直线 CD 分别交 x 轴 y 轴于 A B 两点 设 C D 的坐标分别是 x1 y1 x2 y2 连结 OC OD 1 yOCy 11 求证 m y1 2 BOCAODtanOCCD若 求直线的解 1 3 10 析式 证明证明 1 如图 13 33 过点 C 作 CG x 轴 垂足为 G 则 CG y1 OG x1 点 在双曲线 上 C xy y 11 m x x1 m y1 在 Rt OCG 中 CG OC CG OG yOCy 11 m y1 解 2 在 Rt GCO 中 GCO BOC tany3x 11 即 OG CG x y 1 3 1 3 1 1 OCOGCGOC 222 10 即 10 xy10 x 3x 1 2 1 2 1 2 1 2 解之 得 x1 1 负值不合题意 x1 1 y1 3 点 C 的坐标为 1 3 点 在双曲线 上 Cy m x 即 3m3