浅谈复数的Euler公式及其应用

浅谈复数的欧拉公式及其应用 摘要 本文在复数域上给出欧拉公式的五种证明 通过实例说xix ix sincos 明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用 从而简化了常规方法的繁杂 关键词 复数 欧拉公式 微分积分 应用 一 欧拉公式的历史来源 等式称为复数 的欧拉公式 Euler s complex number sincosi i formula 1714 年 英国数学家科兹 1682 1716 首先 发表了下述定理 用现代 记号表示 sinln cos ii 1740 年 著名数学家欧拉 1707 1783 在给约 伯努利 1667 1748 的 信中写道 和都是同一个微分方程的解 因此它们应该xycos2 ixix y 相等 1743 年 欧拉又发表了这个结果 i x x ixix ixix 2 sin 2 cos 1748 年欧拉重新发现了科兹所发现的结果 它等价于 xix ix sincos Rx 这就是著名的欧拉公式 若设 得 x sincosi i 即 i 这是一道被誉为美妙无比的式子 因等式将数学内五个极重要的数 连起来 欧拉公式被称为 世界上最杰出的公式 关于它也有一个好玩的故事 欧 拉早年曾受过良好的神学教育 成为数学家后在俄国宫廷供职 一次 俄女皇 邀请法国哲学家狄德罗访问 狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值 得被邀请的 女皇厌倦了 她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴 于是 狄德罗被 告知 一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在 要是他想听的话 这位 数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明 狄德罗高兴地接受了挑战 第二天 在宫廷上 欧拉朝狄德罗走去 用一种非常肯定的声调一本正经地说 先生 因此上帝存在 请回答 对狄德罗来说 这听起来好像有点道理 01 ix 他困惑得不知说什么好 周围的人报以纵声大笑 使这个可怜的人觉得受了羞 辱 他请求女皇答应他立即返回法国 女皇神态自若地答应了 二 欧拉公式的证明 证法 复指数函数定义法 因为对任何复数 复指数函数定义为 Ryxiyxz 所以 当的实部时 就得到欧拉公式 sin cosyiy xiyxz z0 x 证毕 yiy iy sincos 证法 2 分离变量积分法 设复数 两边对求导数 得 sincosRxxixz x 2 sincossincos cossin dz xixixixixixiz dx AA 分离变量并对两边积分 得 Cixzidxdz z ln 1 即 取得 故有 即 证毕 0 x0 Cixz lnxix ix sincos 证法 3 复数幂级数展开式法 因为 则有 而 0 n n x n x 0 n n ix n ix 0 2 2 1 cos n nn n x x 1 121 12 1 sin n nn n x x Rx 所以 证 ix n n n nn n nn n ix n x i n x xix 01 121 0 2 12 1 2 1 sincos 毕 证法 4 变上限积分法 考虑变上限积分 y dt t 0 2 1 1 因为 又因为 y dt t 0 2 1 1 yt y arctanarctan 0 y dt t 0 2 1 1 y y itit i dt ititi 0 0 ln ln 2 11 2 1 1ln ln 2 12 2 y iyi 再设 由此得 所以有 yarctan tan y 1ln tan tan ln 2 1ln 1 1 ln 2 2 2 2 2 ii y yi sincossin2ln cos 2 1 tancos ln 2 22 22 i iii sin ln cos sin ln cos 2 2 iii i 即 sin ln cos ii 令 得 x sinln cosxixix 即有 证毕 xix ix sincose 证法 5 极限法 当时 欧拉公式显然成立 0 x 当时 考虑极限 0 x n n n ix 1 lim NnRx 一方面 令 则有 ix n t ixixt n n n tn ix e 1 1 lim 1 lim 另一方面 将 化为三角式 得 n ix 1 n ix 1 2 1 cos arctan sin arctan xxx i nnn A 由 de Moivre 公式得 arctan sin arctan cos 1 1 2 2 n x ni n x n n x n ix n n 而 1 1 lim 2 2 n n n x x n x n n arctan cos limx n x n n arctan sin lim 所以有 xix n ix n n sincos 1 lim 由 1 2 两式得 xix ix sincose 三 欧拉公式的应用 欧拉公式在三角中的应用 基本公式 由欧拉公式 容易推出 sincosei i sincosei i i ii 2 ee sin 2 ee cos ii ee ee tan ii ii i 应用举例 计算三角函数式的值 例 计算 7 5 cos 7 3 cos 7 cos 解 原式 eeeeee 2 1 7 5 7 5 7 3 7 3 7 7 iiiiii 等比数列求和 2 1 7 2 7 12 7 5 e 1 e1e ii 2 1 i 7 5 7 12 e e e1 i i 2 1 1e ee1 7 5 7 5 i i i 1e i 2 1 例 已知 求的值 tan xx xx 3coscos3 3sinsin3 解 原式 ee 2 1 ee 2 3 ee 2 1 ee 2 3 3ix 3ixix ix 3ix 3ixix ix ii 3 ee ee ee 3 1 ee ee ee 31 2ix ixix ixix ix 2 ixix ixix ixix i 由 代入上式消去 tan ixix ixix eee e ai e e ixix 原式 2ix 2 ixix ee 2 ee ix a cos2 1 1 2 a 对 1 1 cos cos cos1 tan 2 2 2 2 22 a x x x xa 所以 原式 2 1 2 1 1 22 aaa a 证明三角恒等式 例 证明 xx xxx 2coscos sin2 2 tan 2 3 tan 为方便计算令 原式变为 2 x 4cos2cos 2sin2 tan3tan 证明 左边 i i ii 3i 3i 3i3i ee e e ee ee ii i i3i 3i 3i3i ii ii 3i3i eeee ee e e ee e e 1 i 右边 2 ee 2 ee e e 4i 4i2i 2i 2i2i 左边 4i 2i 2i4i 2i2i eeee e e2 i 解三角方程 例 解方程 2 sin sin 120 y x yx 解