均值不等式的证明方法及应用

第 1 页 共 20 页 均值不等式的证明方法及应用 摘要 均值不等式在不等式理论中处于核心地位 是现代分析数学中应用最广泛的不等 式之一 应用均值不等式 可以使一些较难的问题得到简化处理 本文首先系统全面 地总结了均值不等式的十种证明方法 其中包括柯西法 数学归纳法 詹森不等式法 不等式法 几何法 排序法 均值变量替换法 构造概率模型法 逐次调整法 泰勒 公式法 其次 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式 比较大小 求最值 证 明极限的存在性 判断级数敛散性 证明积分不等式方面的应用 关键词 均值不等式 数学归纳法 最值 极限 积分不等式 第 2 页 共 20 页 PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE INEQUALITY ABSTRACT Average value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics Using average inequality can make some difficult problems simple In this paper ten proof methods of average value inequality are first systematically summarized including Cauchy method mathematical induction Jensen inequality inequality method geometry method sorting method variable substitution method of average value constructing probability model method successive adjustment method Taylor formula method respectively Secondly we give applications of average value inequality combining the corresponding examples on comparing the size solving maximum and minimum proving the existence of the limit judging convergence of series and proving integral inequality Key words average value inequality mathematical induction maximum and minimum limit integral inequality 第 3 页 共 20 页 目 录 前言 4 1 均值不等式的证明方法 5 1 1 柯西法 5 1 2 数学归纳法 6 1 3 詹森不等式法 7 1 4 不等式法 7 1 5 几何法 8 1 6 排序法 9 1 7 均值变量替换法 9 1 8 构造概率模型法 9 1 9 逐次调整法 10 1 10 泰勒公式法 10 2 均值不等式的应用 12 2 1 均值不等式在证明不等式中的应用 12 2 2 均值不等式在比较大小问题中的应用 13 2 3 均值不等式在求最值问题中的应用 13 2 3 1 均值不等式求最值时常见错误 14 2 3 2 均值不等式求最值 失效 时的对策 16 2 4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 17 2 5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 19 2 6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 19 3 结论 21 参考文献 22 致谢 23 第 4 页 共 20 页 前言 不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具 而均值不等式 是重中之重 通过学习均值不等式 不仅可以帮助我们解决一些实际问题 还可以培 养逻辑推理论证能力和抽象思维能力 以及养成勤于思考 善于思考的良好学习习惯 因此 研究均值不等式的证明方法及应用 是一个既有理论意义又有广泛现实意义的 问题 均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题 在数学研究中历 历可见 如 比较大小 求函数的最值 证明不等式常利用均值不等式的方法进行解 答 均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一 作为最基本不等式 在解决高等 数学问题中也发挥着重要的作用 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化 繁琐的 问题清晰化 著名数学家阿基米德最先运用了均值不等式 证明了球和圆柱的相关问题 此后 1 科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究 并在此基础上把均值不等式应 用到了其他领域 当前 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的 研究 如 陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工 2 14 作 冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨 均值不等式在解决许多问题 8 9 中发挥着重要的作用 本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结 第 5 页 共 20 页 1 均值不等式的证明方法 首先 我们给出均值不等式 定理定理 1 1 设是个正数 则 12 n a aan 12 12 n n n aaa a aa n 1 1 上式当且仅当时等号成立 12n aaa 上述不等式我们称之为算术 几何平均不等式 以后简称均值不等式 我们把 和分别叫做这个数的算术平均数和几何平均数 分别记做 12n aaa n 12 n n a aa n 和 1 1 式即为 n Aa n Ga nn aGAa 下面给出均值不等式的几种证明方法 1 1 柯西法 当时 由于 有 得 2n 12 0 0aa 2 12 0aa 1212 2aaa a 当时 4n 12341234 aaaaaaaa 4 123412341234 2244a aa aa a a aa a a a 当时 8n 12345678 aaaaaaaa 44 12345678 44a a a aa a a a 8 12345678 8 a a a a a a a a 这样的步骤重复次之后将会得到 令n 12 1112 2 n n nnnn aaa aaaa aaaA n 1 2 有 1 1 2 222 1212 2 2 n nnn n n n nn n nAn A Aa aa Aa aaA 即 12 12 n n n aaa a aa n 第 6 页 共 20 页 这个归纳法的证明是柯西首次提出的 我们将它称之为柯西法 1 2 数学归纳法 证法一 当时 不等式显然成立 2n 假设当时 命题成立 nk 则当时 1nk 121 1 1 kk K aaaa A k 1 1121 k Kk Ga aa 因为具有全对称性 所以不妨设 i a 1 min1 2 1 i aa ik k 1 1 1 2 ki amaaxik k 显然 以及 于是 111Kk aAa 1111 0 KkK aAaA 111111 KkKk AaaAa a 所以 1211111 1 1 kKKKK K aaaAkAkAA A kkk 2111 21111 kkK k kkK aaaaA aaaaA k 即两边乘以 得 12111 k kkkK Aaa aaA 1K A 11 1211112111 kK kkKkKkkK Aaa AaaAaa a aG 从而 有 11KK AG 所以 由数学归纳法 均值不等式对一切成立 即 n nn A aGa 证法二 当时 不等式显然成立 2n 假设当时成立 nk 则当时 有 于是1nk 1 111 1 k k kkk akGkG 1111 11 22 111 1 k kk kk kkkkk akG GG aGG k 11 1 1 2 kk k akG G k 11 1 1 2 kk k akG A k 第 7 页 共 20 页 所以 所以 111 2 1 1 kkk k GkAkG 11kk GA 当且仅当且时等号成立 11kk aG 1 1 kkk k GakG 由数学归纳法知 均值不等式对一切成立 即 n nn A aGa 1 3 詹森不等式法 引理 1 Jensen 不等式 若为区间上的凸函数 对任意 f xI i xI 且 则0 1 2 i in 1 1 n i i 1 3 11 i nn iii ii fxfx 成立 下面利用詹森不等式证明均值不等式 令 易知在是凸函数 由于 令 lnf xx 0 x f x 0 0 1 2 i ain 则由引理 1 有下式 1 i n 12 12 1 lnlnln ln n n aaa aaa nn 则 12 121 2 11 lnlnln ln ln n nn aaa aaaa a nnn a 因此 1 12 1 2 ln ln n n n aaa a a n a 即 12 12 n n n aaa a aa n 当且仅当时等号成立 12n aaa 1 4 不等式法 在均值不等式的证明中 可以运用一个特殊的不等式进行推导 1 x ex 设 对应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得 x f xe x f xe 第 8 页 共 20 页 2 1 1 2 xx exx e 其中 因此 当时 等号成立 0 x 01 1 x ex 0 x 0 x 下面给出均值不等式的证明过程 取一组数 使 令 k x1 2 kn 1 0 n k k x 1 kkn axA 则由 全为零时 取等号 可得 1 k x k xe k x 1 11 111 1 k nnn n x nn nkknnn kkk GaxAAeA 所以 nn A aG a 1 5 几何法 作函数的图像 它是凸曲线 并在点处作切线 可见这条切线 n x G ye n G e n y ex G 在函数的下面 见图 因此 可以得到 所以 1 1 0 i n a G i n ea e G 1 2 3 in 于是 即 且从上述证明中可知 12 12 n n aaa Gn n nnn eaeaea ee GGG n n nA n G nn AG 当且仅当时 等号成立 12nn aaaG 图图 1 11 1 第 9 页 共 20 页 1 6 排序法 做序列 取其中的一个 1 1 n a x G 12 2 2 n a a x G 121 1 1 n n n n a aa x G 12 1 n n n n a aa x G 排列 则 1 1 n bx 21 bx 1nn bx 11 1n xa bG 22 2n xa bG nn nn xa bG 不妨设 则 由排序原理可知 12 0 n xxx 12 111 0 n xxx 312 12 12312 111 n n nn xxxx xxxn bbbbxxx 即 12 nnn n aaa n GGG 12 12 n n n aaa a aa n 所以 nn A aG a 1 7 均值变量替换法 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式 易证时 不等式显然成立 2n 假设当时 不等式成立 nk 则当时 设 则 设不全为零 必有一个1nk 1 1 2 iik xaAin 1 1 0 k i i x i x 为正 另一个为负 不妨设 由于 i x 1 0 i xx 1211121112 kkkk a aAxAxAAxx 从而 11231 1123411 kk k kkk Axxaa Axx a aa k A 1 112 341 11 k k kk k kk Ga a a aa AA 所以 即 11 11 kk kk AG 11kk AG 易证 当且仅当时 即时 取等号 故原不等式成立 0 i x 12n aaa nn A aGa 1 8 构造概率模型法 首先给出证明过程中要用到的一个引理 第 10 页 共 20 页 引理引理 2 2 设是一个随机变量 并且数学期望存在 则有 XEX 22 EXEX ln ln EXEX 1 4 建立概率模型 设随机变量的概率分布为 其中 X 1 i P Xa n 0 i a 1 2 in 由引理 2 可知 11 11 lnln nn ii ii a nn a 1 12 lnln 1 n i i n n aa aa n 即 成立 12 12 n n n aaa a aa n 1 9 逐次调整法 中必存在最值数 不妨设 易见 12 n a aa 1 min i aa 2 max i aa 于是 用取代 不变 但是增大 即 2 12 12 2 aa a a 12 2 aa 12 a a n A n G 1212 3 1 11 22 n ni i aaaa aaa nn 1212 123 22 n n nn aaaa a aaaa 对于各个 这种代换至多进行次 有限次 因此 n1n 2 12 123 2 nn n nnnnnnn aa Ga aaaaA AAA 即 当且仅当时 取等号 nn GA 12n aaa 1 10 泰勒公式法 设 则 将在处展开 有 log 01 0 x a f xax 2 1 0 ln fx xa f x 0 x 2 0 0000 2 fx f xf xfxxxxx 因此有 取 000 f xf xfxxx 0 1 1 1 2 n ii i xa aa bin n 第 11 页 共 20 页 从而 111 111 1 2 nnn iiiii iii f afafaaain nnn 故 111111 111 nnnnnn iiiiii iiiiii f anfafaaanfa nnn 即 因此有 11 11 nn ii ii faf a nn 12 12 1 1 log logloglog n n aaa aaa n aaaa n 即 亦即 12 12 1 1 loglog n n aaa a aa n aa n 1 12 12 1 loglog 01 nn n aaa a aa n aa a 故有 12 12 n n n aaa a aa n 0 1 2 i ain 第 12 页 共 20 页 2 均值不等式的应用 2 1 均值不等式在证明不等式中的应用 一般不等式的证明 常常考虑比较法 综合法 分析法 这是高中比较常用的方法 但 有些不等式运用上述方法不好入手 故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合 这 样处理 常常使复杂问题简单化 从而达到证明的目的 下面举几个例子予以说明 例1 已知为互不相等的正数 且 求证 a b c1abc 111 abc abc 证明 1111 1 1 1 1 1 111 222 bcacab abc bcacababc 故原不等式得证 例2 证明 22 1ababab 证明 由均值不等式得 2 12aa 2 12bb 22 2abab 以上三式相加得 即有 原不等式得 22 212ababab 22 1ababab 证 例 3 设圆的半径为 两弦和均与直径交 记与和的交o 1 2 CDEFAB45 ABCDEF 点分别为和 Q 求证 P221PC QEPD QF 图图2 1 第 13 页 共 20 页 证明 如图 设为弦的中点 连接 则 为等腰直角三角形 且 2 1 MCDCOMOPOMMPMO 222222222 2 2 2PCPDMCMPMCMPMCMPMCMOCO 2 11 2 22 同理 22 1 2 QEQF 由均值不等式得 2222 22 PCQEPDQF PC QEPD QF 2222 2 PCPDQEQF 11 1 22 22 即 原不等式得证 221PC QEPD QF 2 2 均值不等式在比较大小问题中的应用 比较大小问题是高中数学中常见的问题 准确巧妙地运用均值不等式是快速解决 这类问题的关键 例 4 若 试判断之间1ab lglgpab 1 lglg 2 Qab lg 2 ab R P Q R 的大小关系 解 由均值不等式 得 1 lglg lglg 2 QababP 1 lglg lglg 22 ab RababQ 由于 所以不能取等号 即 ab ab RQP 2 3 均值不等式在求最值问题中的应用 均值不等式在求函数最值 解决一些取值范围问题时运用非常广泛 是重要知识点 之一 在实际应用问题中 我们应因题而宜地进行变换 并注意等号成立的条件 达到解 题的目的 变换题目所给函数的形式 利用熟悉知识求解是常用的解题技巧 熟练运用该 第 14 页 共 20 页 技巧 对于提高思维的灵活性和严密性大有益处 例 5 求下列函数的值域 1 2 2 2 1 3 2 yx x 1 yx x 解 1 因为 所以 值域为 22 22 11 32 3x 6 22 yx xx 6 2 当时 0 x 11 2 2yxx xx 当时 故 值域为0 x 111 2 2yxxx xxx 22 例6 若 求函数的最大值 02x 3 83 f xxx 解 因为 所以 故的最大值02x 3 83 3 83 2 4 xx xfxx f x 是4 例7 制作容积一定的有盖圆柱形罐头 当圆柱高h 和底面半径r 的比为何值时 使 用的材料最省 不计加工损耗 解 设圆 当且仅当 32222 2 22223 2 VVV SrhrrrV rrr 2 2 V r r 即 时 材料最省 此时有 故 即圆柱形的高与底面 3 2Vr 32 2 rr h 2 1h r 半径之比为2 1时 使用的材料最省 2 3 1 均值不等式求最值时常见错误 运用均值不等式解题是一项重要内容 运用这种方法有三个条件 1 正 2 定 3 相等 在此运用过程中 往往需要对相关对象进行适当地放大 缩小 或不等式之间进 行传递等变形 在此过程中 学生常常因为忽视条件成立而导致错误 而且错误不易察觉 因 此 就这一问题列举几个例子进行说明 例 8 求的值域 1 1 1 yxx x 分析 在解题时 我们常常写成 111 112113 111 yxxx xxx 故 虽然的积是常数 但不一定是正数 忽视均值不等式中 3 y 1 1 1 x x 与1x 第 15 页 共 20 页 的各项为 正 致错 因此解法是错误的 下面给出正确解法 解 当时 当且仅当 1x 111 112113 111 yxxx xxx 即时等号成立 1 1 1 x x 2x 当时 所以 1x 111 112111 111 yxxx xxx 1y 当且仅当时取等号 所以原函数的值域为 0 x 13 例 9 求的最小值 2 2 5 4 x y x 分析 在解题时 我们常常写成 22 22 2222 54 111 4242 4444 xx yxx xxxx 所以的最小值是 2 可是在 中 当且仅当 即 这是不可y2y 2 2 1 4 4 x x 2 3x 能的 所以等号不成立 这个问题忽视均值不等式中等号成立条件 故原式的最小值不是 2 下面给出正确解法 解 在中 令 则 易证在 2 2 1 4 4 yx x 2 4tx 1 yt t 2t 1 yt t 上递增 所以的最小值是 当且仅当时 即 取 2 y 15 2 22 2t 2 42x 0 x 号 例 10 若正数 满足 求的最大值 x y26xy xy 分析 在解题时 我们常常写成 当且仅当且 即 2 2 xy xy xy 26xy 时取号 将其代入上式 可得的最大值为 4 初看起来 很有道理 其实2xy xy 在用均值不等式求最值时 在各项为正的前提下 应先考虑定值 再考虑等号是否成立 但在中 不是定值 所以的最大值不是 4 这个问题忽视了均值不等 2 2 xy xy xy xy 式中积或和是定值的条件 下面给出正确解 第 16 页 共 20 页 解 因 当且仅当时 此时 取 2 1129 2 2222 xy xyxy 2xy 3 3 2 xy 号 所以 max 9 2 xy 2 3 2 均值不等式求最值 失效 时的对策 运用均值不等式是求最值的一种常用方法 但由于其约束条件苛刻 在使用时往往 顾此失彼 从而导致均值不等式 失效 下面例说几种常用的处理策略 例11 已知 求的最大值 0 1x 4 lg lg yx x 解 因为 所以 从而有0 1x lg0 x lg0 x 4 lg2 44 lg yx x 即 当且仅当即时等号成立 故 4y 4 lg lg x x 1 100 x max 4y 本题满足 为定值 但因为 所以此时不能直接应用 4 lg4 lg x x 0 1x lg0 x 均值不等式 需将负数化正后再使用均值不等式 例12 求 的最大值 1 2yxx 1 0 2 x 解 2 1121 21 1 221 2 2228 xx yxxxx 当且仅当 即时等号成立 故 21 2xx 1 4 x max 1 8 y 本题不是定值 但可通过平衡系数来满足和为定值 2 1xx 例13 已知 求的最小值 0ab 64 ya ab b 解 当且仅当 即 3 6464 3 6412yaabb ab bab b 64 abb ab b 8a 时等号成立 故 4b min 12y 第 17 页 共 20 页 本题 不是定值 但可通过添项 减项来满足积为定值 64 a ab b 例14 已知 求的最小值 0 x 4 sin sin yx x 解 41313 sinsin2 sin5 sinsinsinsin1 yxxx xxxx 当且仅当且 即 时等号成立 故 1 sin sin x x 3 3 sin x sin1x min 5y 本题虽有为定值 但不可能成立 故可通过拆项来满足等号 4 sin sin x x 4 sin sin x x 成立的条件 例15 已知 则 有 5 2 x 2 45 24 xx f x x 最大值 最小值 最大值1 最小值1 A 5 4 B 5 4 C D 解 当且仅当 2 2 214511 21 242222 xxx f xx xxx 1 2 2 x x 即时等号成立 故选 3x D 本题看似无法使用均值不等式 但对函数式进行分离 便可创造出使用均值不等式 的条件 2 4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 极限概念是高等数学中的重要概念 在证明数列极限的存在性时 需证明数列单调 及数列有界 而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容 下面举例说明 例 16 证明重要极限的存在性 1 lim 1 n n e n 证明 先证数列 单调递增 1 1 n n 令 则由均值不等式得 12 1 1 n aaa n 1 1 n a 1 1 1 11111 1 1 1 1 1 1 1 n nn nnnnn 个个 即 1 11 1 1 1 n n nn 第 18 页 共 20 页 所以 1 11 1 1 1 nn nn 所以 数列 单调递增 1 1 n n 再证数列 有上界 1 1 n n 下面的证明可以看到一个更强的命题 数列 以 为正整 1 1 n n 1 1 1 k k M k 数 为上界 先证不等式 当时 nk 11 11 1 1 nk nk 设 121 1 k k aaa k 2 1 kn aa 由均值不等式 1 1 1 1 1 1111 kn k n kkn knk knkn 所以 因此 11 11 kn kn kn 11 11 1 1 nk nk 其次由 有 所以 11 1 n 1 11 1 1 nn nn 1 11 1 1 nk nk 当时 任取一个正整数 均是数列 的上界 nk k 1 1 1 k k M 1 1 n n 又数列 单调递增 所以 当时 不等式仍然成立 1 1 n n nk 1 11 1 1 nk nk 因此 对于数列 恒有 为正整数 1 1 n n 1 2n 1 11 1 1 nk nk k 任意选定一个值 均是数列 的上界 k 1 1 1 k k M 1 1 n n 所以数列 单调有界 由单调有界定理 数列 极限存在 极限值 1 1 n n 1 1 n n 为 即 e 1 lim 1 n x e n 例 17 证明数列 极限存在且其极限是 1 1 1 n n e 证明 令 1 1 1 n n x n 1122 1 1 1 111 1 1122 nnnn nn n n nnn n xnnnnx 所以 数列单调减少 又 则数列有下界 n x0 n x n x 第 19 页 共 20 页 1 111 lim 1 lim 1 1 nn nn nnn 因为 和的极限都存在 所以 1 1 n n 1 1 n 1 111 lim 1 lim 1 1 nn nn e nnn 因此 数列 极限存在且其极限是 1 1 1 n n e 例 18 证明 lim1 n n n 证明 由均值不等式 1 1 有 1 2 11 11 n n n nn nnn n 个 222 1 nn nn 从而有 故 2 01 n n n lim1 n n n 2 5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 均值不等式的应用很广泛 在证明级数的敛散性时也有很重要的应用 例 19 已知正项级数收敛 证明级数也收敛 1 n n a 1 1 nn n a a 证明证明 因为 由均值不等式 有 已知级数0 n a 1 2 n 11 1 2 nnnn a aaa 收敛 所以级数与都收敛 从而级数也收敛 再由 1 n n a 1 1 2 n n a 1 1 1 2 n n a 1 1 1 2 nn n aa 比较判别法 知级数收敛 1 1 nn n a a 2 6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 积分不等式是一种特殊的不等式 而均值不等式又是证明不等式的重要方法 因此 在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明 例 20 证明函数在上是正值可积的 且 则f x a b1 2 kn 0ab 第 20 页 共 20 页 111 1 1212 bbbb nnn n nn aaaa f xfxfxdxf x dxfx dxfx dx 证明 利用 有 12 12 n n n aaa a aa n 12 12 n bbbn n aaa fxf xfx f x dxfx dxfx dx 12 12 1 n bbb n aaa fxf xfx n f x dxfx dxfx dx 于是 111 12 12 nnn b n bbb a n aaa fxf xfx dx f x dxfx dxfx dx 12 12 1 1 bbb n aaa bbb n aaa f x dxfx dxfx dx n f x dxfx dxfx dx 即 111 1 1212 bbbb nnn n nn aaaa f xfxfxdxf x dxfx dxfx dx 例21 设在上非负连续 证明 f x 0 1 1 0 1ln 0 f x dx ef x dx 证明 由题设知在上可积 将等分 作积分和f x 0 1 0 1 n 1 0 1 1 lim n n i i f x dxf nn 1 1 0 11 1 ln limln limln nn n nn ii ii f x dxff nnn 所以 0 1 1 1 1 li ln n m l 1 lim n n n i i fn n n f x n dx i i ef n e 由均值不等式得 12 12 n n n aaa a aa n 1 1 0 11 1 lim lim nn n nn ii ii fff x dx nnn 故 1 0 1ln 0 f x dx ef x dx 第 21 页 共 20 页 3 结论 均值不等式是数学中的重要内容 对培养数学思维发展有很大帮助 本文重在梳理 均值不等式的相关证明方法和应用 如 运用均值不等式时 一