培优专题2-运用公式法进行因式分解

1 2 2 运用公式法进行因式分解 运用公式法进行因式分解 知识精读知识精读 把乘法公式反过来 就可以得到因式分解的公式 主要有 平方差公式abab ab 22 完全平方公式aabbab 222 2 立方和 立方差公式ababaabb 3322 补充 欧拉公式 abcabcabc abcabbcca 333222 3 1 2 222 abcabbcca 特别地 1 当时 有abc 0abcabc 333 3 2 当时 欧拉公式变为两数立方和公式 c 0 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点 熟练地掌握公式 但有 时需要经过适当的组合 变形后 方可使用公式 用公式法因式分解在求代数式的值 解方程 几何综合题中也有广泛的应用 因此 正确掌握公式法因式分解 熟练灵活地运用它 对今后的学习很有帮助 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 分类解析分类解析 1 把分解因式的结果是 aabb 22 22 A B ab ab 22 ab ab 2 C D ab ab 2 ab ba 22 22 分析 aabbaabbab 222222 22212111 再利用平方差公式进行分解 最后得到 故选择 B ab ab 2 说明 解这类题目时 一般先观察现有项的特征 通过添加项凑成符合公式的形式 同时要注意分解一定要彻底 2 2 在简便计算 求代数式的值 解方程 判断多项式的整除等方面的应用在简便计算 求代数式的值 解方程 判断多项式的整除等方面的应用 例 已知多项式有一个因式是 求的值 2 32 xxm 21x m 分析 由整式的乘法与因式分解互为逆运算 可假设另一个因式 再用待定系数法即 可求出的值 m 解 根据已知条件 设221 322 xxmxxaxb 则22212 3232 xxmxaxab xb 由此可得 2111 202 3 a ab mb 由 1 得a 1 把代入 2 得a 1b 1 2 把代入 3 得b 1 2 m 1 2 3 在几何题中的应用 在几何题中的应用 例 已知是的三条边 且满足 试abc ABCabcabbcac 222 0 判断的形状 ABC 分析 因为题中有 考虑到要用完全平方公式 首先要把转成abab 22 ab 所以两边同乘以 2 然后拆开搭配得完全平方公式之和为 0 从而得解 2ab 解 abcabbcac 222 0 2222220 222 abcabbcac aabbbbcccaca 222222 2220 abbcca 222 0 abbcca 222 000 abbcca000 abc 为等边三角形 ABC 3 4 在代数证明题中应用在代数证明题中应用 例 两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数 分析 先根据已知条件把奇数表示出来 然后进行变形和讨论 解 设这两个连续奇数分别为 为整数 2123nn n 则 2321 22 nn 2321 2321 2 44 81 nnnn n n 由此可见 一定是 8 的倍数 2321 22 nn 5 中考点拨 中考点拨 例 1 因式分解 xxy 32 4 解 xxyx xyx xy xy 3222 4422 说明 因式分解时 先看有没有公因式 此题应先提取公因式 再用平方差公式分解 彻底 例 2 分解因式 288 3223 x yx yxy 解 288244 322322 x yx yxyxy xxyy 22 2 xy xy 说明 先提取公因式 再用完全平方公式分解彻底 题型展示 题型展示 例 1 已知 ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3 求的值 aabbaccbc 222 222 解 aabbaccbc 222 222 abc abc 22 2 4 abc 2 ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3 原式 abc 2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 2 mmm m 说明 本题属于条件求值问题 解题时没有把条件直接代入代数式求值 而是把代数 式因式分解 变形后再把条件带入 从而简化计算过程 例 2 已知 abcabc 00 333 求证 abc 555 0 证明 abcabcabc abcabbcca 333222 3 把代入上式 abcabc 00 333 可得 即或或abc 0a 0b 0c 0 若 则 a 0bc abc 555 0 若或 同理也有b 0c 0abc 555 0 说明 利用补充公式确定的值 命题得证 abc 例 3 若 求的值 xyxxyy 3322 279 xy 22 解 xyxy xxyy 3322 27 且xxyy 22 9 1 923 22 yxyxyx 又xxyy 22 92 两式相减得xy 0 5 所以xy 22 9 说明 按常规需求出的值 此路行不通 用因式分解变形已知条件 简化计算xy 过程 实战模拟实战模拟 1 分解因式 1 2 aa 231 22 xxyxyx 52 22 3 axya xyxy 2234 2 2 已知 求的值 x x 1 3x x 4 4 1 3 若是三角形的三条边 求证 abc abcbc 222 20 6 4 已知 求的值 2 10 2001 5 已知是不全相等的实数 且 试求abc abcabcabc 03 333 1 的值 2 的值 abc a bc b ca c ab 111111 7 试题答案试题答案 1 1 解 原式 aaaa231231 4123aa 41 23aa 说明 把看成整体 利用平方差公式分解 aa 231 2 解 原式 xxyxxy 52 22 xxy x 23 21 xxy xxx 22 211 3 解 原式 xyaa xyxy 222 2 xyaxy 22 2 解 x x x x 1 2 1 22 2 x x x x 2 2 22 11 2327 x x x x 2 2 24 4 1 49 1 249 x x 4 4 1 47 3 分析与解答 由于对三角形而言 需满足两边之差小于第三边 因此要证明结论就需 要把问题转化为两边差小于第三边求得证明 证明 abcbc 222 2 abbcc abc abc abc 222 22 2 是三角形三边 abc 且 abc0abc abc abc0 即abcbc 222 20 4 解 2 10 即 110 2 3 10 8 320013667 11 5 分析与解答 1 由因式分解可知 abcabcabc 333 3 abcabbcca 222 故需考虑值的情况 abcabbcca 222 2 所求代数式较复杂 考虑恒等变形 解 1 abcabc 333 3 abcabc 333 30 又 abcabc 333 3 abc abcabbcca 222 abc abcabbcca 222 0 而abcabbccaabbcca 222222 1