一元二次方程整数根问题

中考数学复习重点 一元二次方程 1 5 一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一元二次方程整数根问题的十二种思维策略 班级 姓名 1 利用判别式利用判别式 例 1 2000 年黑龙江中考题 当 m 是什么整数时 关于 x 的一元二次方 程与的根都是整数 2 440mxx 22 44450 xmxmm 解 方程有整数根 2 440mxx 16 16m 0 得 m 1 又 方程有整数根 22 44450 xmxmm 得 22 164 445 0mmm A 5 4 m 综上所述 m 1 4 5 x 可取的整数值是 1 0 1 当 m 1 时 方程为 x 4x 4 0 没有整数解 舍去 2 而 m 0 m 1 例 2 1996 年四川竞赛题 已知方程 有两个不相等 2 10 xmxm 的正整数根 求 m 的值 解 设原方程的两个正整数根为 x x 则 m x x 为负整数 1212 一定是完全平方数 2 44mm A 设 为正整数 22 44mmk k 22 2 8mk 即 2 2 8mk mk m 2 k m 2 k 且奇偶性相同 或 24 22 mk mk 22 24 mk mk 解得 m 1 0 舍去 或 m 5 当 m 5 时 原方程为 x 5x 6 0 两根分别为 x 2 x 3 2 12 2 利用求根公式利用求根公式 例 3 2000 年全国联赛 设关于 x 的二次方程 的两根都是整数 求满足条件 2222 68 264 4kkxkkxk 的所有实数 k 的值 解 22222 264 4 4 68 4 6 kkkkkk A 中考数学复习重点 一元二次方程 2 5 由求根公式得 2 2 2642 6 2 68 kkk x kk 即 12 24 1 1 42 xx kk 由于 x 1 则有 12 24 4 2 11 kk xx 两式相减 得 即 12 24 2 11xx 12 3 2x x 由于 x x是整数 故可求得或或 12 12 2 4xx 12 2 2xx 12 1 5xx 分别代入 易得 k 6 3 3 10 3 利用方程根的定义利用方程根的定义 例 4 当 b 为何值时 方程 和有相同 2 20 xbx 2 2 1 0 xxb b 的整数根 并且求出它们的整数根 解 两式相减 整理得 2 b x 2 b 1 b 当 b 2 时 x 1 b 代入第一个方程 得 2 1 1 20bbb 解得 b 1 x 2 当 b 2 时 两方程无整数根 b 1 相同的整数根是 2 4 利用因式分解利用因式分解 例 5 2000 年全国竞赛题 已知关于 x 的方程 的根都是整数 那么符合条件的整数 a 有 2 1 210axxa 个 解 当 a 1 时 x 1 当 a 1 时 原方程左边因式分解 得 x 1 a 1 x a 1 0 即得 12 2 1 1 1 xx a x 是整数 1 a 1 2 a 1 0 2 3 由上可知符合条件的整数有 5 个 例 6 1994 年福州竞赛题 当 m 是什么整数时 关于 x 的方程 的两根都是整数 2 1 10 xmxm 中考数学复习重点 一元二次方程 3 5 解 设方程的两整数根分别是 x x 由韦达定理得 12 12 1xxm 12 1xxm 由 消去 可得 m 1221 2x xxx 12 1 1 31 31 3 xx 则有 或1 2 11 13 x x 1 2 11 13 x x 解得 或 1 2 2 4 x x 1 2 0 2 x x 由此或 0 分别代入 得或 12 8xx 7m 1m 5 利用根与系数的关系利用根与系数的关系 例 7 1998 年全国竞赛题 求所有正实数 a 使得方程仅有 2 40 xaxa 整数根 解 设方程的两整数根分别是 x x 且 1212 xx 由根与系数的关系得 12 0 xxa 12 40 xxa 由 得 将 代入 得 2 2 a xa 121 4ax xx a 121 4 2 a ax xx 1 48x 显然 x 4 故 x 可取 5 6 7 8 从而易得 a 25 18 16 11 6 构造新方程构造新方程 例 8 1996 年全国联赛 方程有两个整数根 求 a 的值 8 10 xa x 解 原方程变为 2 8 8 8 10 xax 设 y x 8 则得新方程为 2 8 10ya y 设它的两根为 y y 则 12 1212 8 1yyayy x 是整数 y y也是整数 则 y y只能分别为 1 1 或 1 1 1212 即 y y 0 a 8 12 中考数学复习重点 一元二次方程 4 5 7 构造等式构造等式 例 9 2000 年全国联赛 C 卷 求所有的正整数 a b c 使得关于 x 的方程 所有的根都是正整数 222 320 320 320 xaxbxbxcxcxa 解 设三个方程的正整数解分别为 则有 123456 x x x x x x 2 12 32 xaxbxxxx 2 34 32 xbxcxxxx 2 56 32 xcxaxxxx 令 x 1 并将三式相加 注意到 x 1 i 1 2 6 有 i 123456 3 1 1 1 1 1 1 0000abcxxxxxx 但 a 1 b 1 c 1 又有 3 a b c 0 3 a b c 0 故 a b c 1 8 分析等式分析等式 例 10 1993 年安徽竞赛题 n 为正整数 方程 2 31 360 xxn 有一个整数根 则 n 解 设已知方程的整数根为 则 2 31 360aan 整理得 2 63 aaan 因为为整数 所以为整数a 2 6aa 也一定是整数 要使为整数 必有3 an 3 an an 由此得 即 2 60aa 2 60nn 解得 n 3 或 2 舍去 n 3 9 反客为主反客为主 例 11 第三届 祖冲之杯 竞赛题 求出所有正整数 a 使方程 至少有一个整数根 2 2 21 4 3 0axaxa 解 由原方程知 x 2 不妨将方程整理成关于的一元一次方程 2 44 212xxax 得 因为是正整数 2 212 1 2 x a x 则得 4 2 0 xx 解得42x 因此 x 只能取 4 3 1 0 1 2 中考数学复习重点 一元二次方程 5 5 分别代入 a 的表达式 故所求的正整数 a 是 1 3 6 10 10 利用配方法利用配方法 例 12 第三届 祖冲之杯 竞赛题 已知方程 有两个不等的负整数根 则整数 a 的值是 22 1 2 51 240axax 解 原方程可变为 222 102240a xaxxx 即 222 102521a xaxxx 22 5 1 axx 5 1 axx 得 12 64 11 xx aa 当 a 1 1 2 3 6 即 a 0 1 2 5 时 x 为负整数 1 但 a 0 时 x 0 a 5 时 x 1 212 又 a 1 a 2 11 利用奇偶分析利用奇偶分析 例 13 1999 年江苏第 14 届竞赛题 已知方程有两个质 2 19990 xxa 数根 则常数 a 解 设方程的两个质数根为 x x x x 1212 由根与系数的关系得 x x 1999 12 显然 x 2 x 1997 于是 a 2 1997 3994 12 12 利用反证法利用反证法