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圆锥曲线第二定义解题例说圆锥曲线第二定义解题例说 圆锥曲线的第二定义出现在例题中 教材中没有专门举例说明其应用 有很多同学对 其认识不足 为此本文举例说明第二定义的应用 一 求焦点弦长一 求焦点弦长 例例 1 过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于 A B 若x4y2 11 yx 22 yx 求 AB 的长 6xx 21 解 设 AB 的中点为 E 点 A E B 在抛物线准线 l 上的射影分别为1x G H M 由第二定义知 8 1 2 xx 2 EH 2 BM AG BF AF AB 21 二 求离心率二 求离心率 例例 2 设椭圆 1 a b 0 的右焦点为 右准线为 l1 若过 F1且垂直于 x 2 2 2 2 b y a x 1 F 轴的弦的长度等于 F1到准线 l1的距离 求椭圆的离心率 解 如图 AB 是过 F1垂直于 x 轴的弦 为 F1到准线 l1的距离 AD l1于 D CF 1 则 AD F1C 由题意知 AB 2 1 AF 1 由椭圆的第二定义知 2 1 AB AB 2 1 CF AB 2 1 AD AF e 1 1 三 求点的坐标三 求点的坐标 例例 3 双曲线的右支上一点 P 到左焦点 F1与到右焦点 F2的距离之比为1 3 y x 2 2 2 1 求点 P 的坐标 解 设点 P 双曲线的左准线为 l1 右准线为 l2 00 yx 0 x0 2 1 x 则点 P 到 l1 l2的距离分别为 2 1 x 2 1 xd 2 1 xd 0201 所以 解得 1 2 2 1 x 2 1 x d d PF PF 0 0 2 1 2 1 2 3 x0 将其代入原方程 得 因此 点 P 的坐标为 2 15 y0 2 15 2 3 四 求离心率的范围四 求离心率的范围 例例 4 已知椭圆 分别是左 右焦点 若椭圆上存在点 0ba 1 b y a x 2 2 2 2 21 FF P 使 F1PF2 90 求椭圆的离心率 e 的取值范围 解 设点 P 则由第二定义得 00 yx 0 2 01 exa c a xe PF 00 2 2 exax c a e PF 因为为直角三角形 所以 21F PF 2 21 2 2 2 1 FF PF PF 即 222 0 2 0 c4 c2 exa exa 解得 由椭圆方程中 x 的范围知 2 22 2 0 e ac2 x 22 0 ax0 解得 2 2 22 a e ac2 0 1e 2 2 五 求最值五 求最值 例例 5 已知点 A 设点 F 为椭圆的右焦点 点 M 为椭圆上一动32 1 12 y 16 x 22 点 求的最小值 并求此时点 M 的坐标 MF 2 MA 解 如图 过点 A 作右准线 l 的垂线 垂足为 N 与椭圆交于点 M 椭圆的离心率 2 1 e 由第二定义得 MN MF 2
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