微分方程知识

第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法 研究对象研究对象 一阶微分方程 与 yxf dx dy 0 y yxF 的求解问题 1 1变量可分离方程变量可分离方程 形如的方程 称为变量可分离方程 其中和分别是的 yxf dx dy xf y yx 连续函数 1 1 变量可分离方程的解法 变量可分离方程的解法 对于变量分离方程 yxf dx dy 分离变量得 dxxf y dy 再积分 得 dxxf y dy 这就是方程的通解 注意注意 在变量分离的过程中 必须保证 但如果有根为 0 y 0 y 0 yy 则不难验证也是微分方程的解 有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数 此 0 yy 解不包含在其中 解题时要另外补充上 不能遗漏 2 可化为可分离变量的方程 可化为可分离变量的方程 齐次方程齐次方程 a x y g dx dy 令 方程可化为分离变量的方程 x y u x uug dx du 分式线性方程分式线性方程 b 222 111 cybxa cybxa dx dy 下面分三种情形来讨论 这时 为齐次方程 0 21 cc ybxa ybxa dx dy 22 11 及 这时可作变换 其中是0 22 11 ba ba 0 2 2 2 1 cckyhx kh 线性代数方程的唯一解 可将方程化为齐次方程 0 0 222 111 ckbha ckbha 22 11 ba ba d d 及 这时可设 方程可化为0 22 11 ba ba 0 2 2 2 1 cc 2 1 2 1 b b a a 222 122 cybxa cybxa dx dy 再令 则方程可进一步化为 这是一个变量可uybxa 22 2 1 22 cu cu ba dx du 分离方程 其它类型的方程其它类型的方程 c 利用整体代换的思想 可将其他类型的方程化为变量可分离方程 例如 令 cbyaxf dx dy cbyaxu 令 0 dyxyxgdxxyyfxyu 令 2 xyf dx dy x xyu 令 2 x y xf dx dy 2 x y u 2 2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 形如的方程称为一阶线性方程 当时 称 xQyxP dx dy 0 xQyxP dx dy 为一阶线性齐次方程 当不恒为零时 称为一阶线性非齐次方 xQ xQyxP dx dy 程 1 1 一阶线性方程的解法及其性质一阶线性方程的解法及其性质 一阶线性方程的解法一阶线性方程的解法 a 首先求其对应的线性齐次方程的通解 yxPy 利用分离变量法可得其通解为 dxxP Cey 其中为任意常数 满足初始条件的解是C 00 yxy x x dttP eyy 0 0 其次利用常数变易法求线性非齐次方程的通解 将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解 此方 法称为常数变易法 可得通解为 CdxexQey dxxPdxxP 满足初始条件的特解为 00 yx 0 0 0 0 dtetQyey t x x x dssPx x dttP 线性非齐次方程通解的结构为 线性非齐次方程的通解等于其对应线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解 之和 线性齐次方程解的性质线性齐次方程解的性质 b 性质 1 必有零解 0 y 性质 2 通解等于任意常数与一个非零特解的乘积 C 性质 3 若均为齐次方程的解 则也是该方程的解 其中为任 21 y y 21 yy 意常数 线性非齐次方程解的性质线性非齐次方程解的性质 c 性质 1 无零解 所有的解不能构成解空间 性质 2 若是齐次方程的解 是非齐次方程的解 则也是非齐次方 1 y 2 y 21 yCyy 程的解 其中为任意常数 C 性质 3 若均为非齐次方程的解 则相应的齐次方程的解 21 y y 21 yy 性质 4 叠加原理 若是的解 是的解 1 y 1 xQyxPy 2 y 2 xQyxPy 则是的解 21 yy 21 xQxQyxPy 2 可化为可化为一阶线性方程的方程一阶线性方程的方程 迫努利迫努利 Bernoulli 方程方程 a 形如的方程 是常数 称为伯努利方程 其中和 n yxQyxP dx dy 1 0 n xP 为的连续函数 xQx 迫努利迫努利方程的解法方程的解法 作变换可将原方程变为 n yz 1 1 1 xQnzxPn dx dz 这是关于未知函数的线性方程 即可得到它的通解 z 黎卡提 黎卡提 Riccati 方程 方程 b 形如的方程 称为黎卡提方程 其中和 2 xRyxQyxP dx dy xQxP 为的连续函数 xRx 黎卡提方程的解法黎卡提方程的解法 显然当 这就是迫努利迫努利方程 0 xf 当不恒为零时 一般无法对它精确求解 但如果已知它的一个特解 xf xy 则可通过变换 而得到一个关于的迫努利方程 从而可求出它的通解 因 xuy u 此 求解黎卡提方程的关键是寻求它的一个特解 雅克比 雅克比 JacobiJacobi 方程方程 c 形如的方0 333222111 dxycxbadyycxbaydxxdyycxba 程称为雅克比方程 其中是常数 3 2 1 icba iii 雅可比方程的解法雅可比方程的解法 作变换 其中是使得为关于为 YyXx dXdYYdXXdY YX 齐次的 变换之后 方程变为一阶的 而且的系数是齐次的 因此YdXXdY 0 1111333 111122211 dXYAYcXbAYcXbA dYXAYcXbAYcXbAYdXXdYYcXb 这里 3 2 1 rcbaA rrrr 如果的选择使得成立 则的系数也变成了齐 0 0 1312 AAAA dYdX 次的 或更加对称的 如果 321 AAA 即就是0 333222111 cbacbacba 因此由下面的三次方程定义 0 333 222 111 cba cba cba 这样定义之后 就是的任意两个相容方程的解 方程可以被写成以下形式 0 dX X Y dY X Y YdXXdY 作变换可将该方程化为迫努利方程XuY 这里只是的函数 0 2 21 XUXU du dX 21 U Uu 另外 如果关于的方程有三个不等的根 则雅可比方程的通解形式为 321 CWVU 211332 其中关于线性表式 WVU yx 3 3 一阶对称形式的微分方程一阶对称形式的微分方程 若将一阶显式微分方程写成微分形式 2 1 0 dyyxNdxyxM 此形式称为一阶对称形式的微分方程 1 1 恰当方程 恰当方程 如果对称形式的方程 2 1 的左端恰好是某一个二元函数的全微分 则称该 yxu 方程为恰当方程 恰当方程的判定恰当方程的判定 定理定理2 12 1 假设函数和在某区域内连续可微 则方程 2 1 是恰当方 yxM yxN 程的充分必要条件是在此区域内恒有 成立 x N y M 恰当方程的解法恰当方程的解法 方法方法 1 凑微分法凑微分法 利用熟知的二元函数微分公式 重新分组组合 分块凑成全微分式 方法方法 2 不定积分法不定积分法 利用关系式 yxdUdyyxNdxyxM 由此 函数应适合方程组 yxU yxM x U yxN y U 对 关于积分得 yxM x U x ydxyxMU 两端关于求导数 并利用恰当方程的充分必要条件 得y yxNydx x N ydx y M y U 通过对方程 yxNydx x N 关于积分 解出 从而可得的表达式 y y ydxyxMU 令 即得方程的通解 CydxyxMU 如果对关于积分 同理可得方程的通解为 yxN y U y CxdxyxMU 其中可类似于求解的方法得到 x y 方法方法 3 公式法公式法 方程的通解为 x x y y CdyyxNdxyxM 00 0 或 其中是任意常数 x x y y CdyyxNdxyxM 00 0 C 求解时 的选择要尽可能简单 且使有意义 00 y x yxNyxM 注意 注意 求解恰当方程的关键就是求方程左端微分式的原函数问题 2 2 非恰当方程非恰当方程 积分因子及其性质积分因子及其性质 a 对于方程 2 1 如果存在某连续可微的函数 使得0 yx 0 dyyxNyxdxyxMyx 为恰当方程 则称为方程 2 1 的一个积分因子 yx 因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子 从而将非恰当方程转化为恰当方 程的求解问题 性质1 只要方程 2 1 有解 则必有积分因子 而且不是唯一的 对于不同的积分 因子 通解可能具有不同的形式 性质 2 方程 2 1 的任意两个积分因子和之间必有函数关系 1 yx 2 yx 性质 3 若方程 2 1 有两个积分因子和 且 1 yx 2 yx 常数 2 1 yx yx 则该方程的通积分为 C yx yx 2 1 注意 注意 方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解 注意检 yx 验 寻求积分因子的方法 b 1 1 观察法观察法 利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子 2 2 公式法公式法 利用积分因子满足的微分方程来求积分因子 定理定理2 22 2 函数是方程 2 1 的积分因子的充分必要条件是满足一阶 yx yx 偏 微分方程 x N y M y M x N 利用定理2 2 容易得到下列寻求积分因子的简捷方法 结论结论1 1 方程 2 1 有只与有关的积分因子的充分必要条件是x 1 x x N y M N 此时 积分因子为 dxx eyx 结论结论2 2 方程 2 1 有只与有关的积分因子的充分必要条件是y 1 y x N y M M 此时 积分因子为 dyy eyx 3 3 分组组合法 分组组合法 分组组合方法的原理 若方程 2 1 可进行下列分组组合 0 2211 dyyxNdxyxMdyyxNdxyxM 并且 1111 yxdUdyyxNdxyxMyx 2222 yxdUdyyxNdxyxMyx 寻找适当的可微函数和使得 1 t 2 t 2211 UyxUyx 则原方程的积分因子为 2211 UyxUyx 4 4 待定指数法 待定指数法 对于系数为多项式的对称形式的方程 常利用待定指数法求其积分因子 设方程具有 积分因子为 其中为待定常数 根据积分因子的意义和恰当方程满足的 yx 充要条件 通过比较系数求出和即可 5 5 换元法 换元法 若能确定适当的变换 使得方程 2 1 变换为易积分 yxvvyxuu 的方程 其中0 11 dvvuNduvuMdy y v dx x v dvdy y u dx x u du 若能确定适当的变换 使得方程 2 1 变换为易积分的 styystxx 方程 其中0 22 dsstNdtstMds s y dt t y dyds s x dt t x dx 6 6 综合分析法综合分析法 所谓综合分析法是指将以上各方法的优点有机地结合起来 在计算分析的过程中寻求 适当的变换或积分因子 使方程 2 1 变为可积方程 从而达到求解的目的 步骤1 结合观察法 分组组合法将方程 2 1 化为 1 0 dyyxQdxyxPyxdu 并令 yxuu 步骤2 求解方程 2 0 dyyxQdxyxP 若易得方程 2 的积分因子为 并求得其通解为 则方程 1 yx Cyxu 1 2 积分因子的通式可表示为 其中为 的任意可微函数 111 yxu yx 1 t t 步骤3 确定可微函数 使 1 t 2 t 1112 yx yxu yx yxu 则为方程 2 1 的积分因子 yx 4 4 一阶隐方程一阶隐方程 一阶隐方程的一般形式为 0 y yxF 第一类第一类 能解出能解出 或或 的方程的方程yx 1 2 2 dx dy xfy 这里假设函数有连续的偏导数 dx dy xf 解法 引进参数 则原方程变为 p dx dy pxfy 两边关于求导 并把代入可得xp dx dy dx dp p f x f p 整理得 2 3 p f x f p dx dp 则 2 3 是关于的一阶显式方程 xp 若已求出方程 2 3 的通解为 将其代入中得方程 2 2 Cxp pxfy 的通解为 Cxxfy 若求得方程 2 3 的通解为 则原方程有以下参数形式的通解 Cpx pCpfy Cpx 若求得方程 2 3 通解形式为 则原方程有以下参数形式隐式通解0 Cpx 0 pxfy Cpx 其中是参数 为任意常数 pC 2 2 4 dx dy yfx 解法 令 则原方程变为 p dx dy pyfx 两边对求导 得 y dy dp p f y f p 1 2 5 p f y f p dy dp 1 则 2 5 是关于的一阶显式方程 yp 若求得方程 2 5 的解为 则方程 2 4 的通解为 Cyp Cyyfx 若求得方程 2 5 的通解为 则原方程有以下参数形式的通解 Cpy Cpy pCpfx 若求得方程 2 5 的解为 则方程 2 4 的通解为 0 Cpy 0 Cpy pyfx 特别地 注意以下两个重要方程 克莱罗 克莱罗 Clairaut 方程 方程 形如的方程 称为克莱罗方程 yyxy 克莱罗方程解法克莱罗方程解法 令 对原方程两端关于求导 得 p dx dy y x pppxpp 即 0 ppx 由可得 通解 0 p Cp CCxy 由 得奇解为 px pppy px 注意 注意 克莱罗方程的通解可以视为将方程中换成任意常数而得到 它表示一族直 y C 线 奇解是一曲线 而此曲线恰为这族直线的包罗线 拉格朗日拉格朗日 达朗贝尔 达朗贝尔 Lagrange D Alembert 方程 方程 形如的方程 称为拉格朗日 达朗贝尔方程 ygyxfy 拉格朗日拉格朗日 达朗贝尔方程的解法达朗贝尔方程的解法 当时 此时方程为克莱罗方程 ttf 当时 令 对原方程两端关于求导 得 ttf p dx dy y x ppgppf xpfp