小学五年级奥数题试卷及答案-50题

小学五年级奥数题小学五年级奥数题 一 工程问题一 工程问题 1 1 甲乙两个水管单独开 注满一池水 分别需要 甲乙两个水管单独开 注满一池水 分别需要 2020 小时 小时 1616 小时小时 丙水管单独开 丙水管单独开 排一池水要排一池水要 1010 小时 若水池没水 同时打开甲乙两水管 小时 若水池没水 同时打开甲乙两水管 5 5 小时后 再打开排水管丙 小时后 再打开排水管丙 问水池注满还需要多少小时 问水池注满还需要多少小时 2 2 修一条水渠 单独修 甲队需要 修一条水渠 单独修 甲队需要 2020 天完成 乙队需要天完成 乙队需要 3030 天完成 如果两队合作 天完成 如果两队合作 由于彼此施工有影响 他们的工作效率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 由于彼此施工有影响 他们的工作效率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 乙队工作效率只有原来的十分之九 现在计划乙队工作效率只有原来的十分之九 现在计划 1616 天修完这条水渠 且要求两队合作天修完这条水渠 且要求两队合作 的天数尽可能少 那么两队要合作几天 的天数尽可能少 那么两队要合作几天 3 3 一件工作 甲 乙合做需 一件工作 甲 乙合做需 4 4 小时完成 乙 丙合做需小时完成 乙 丙合做需 5 5 小时完成 现在先请甲 小时完成 现在先请甲 丙合做丙合做 2 2 小时后 余下的乙还需做小时后 余下的乙还需做 6 6 小时完成 乙单独做完这件工作要多少小时 小时完成 乙单独做完这件工作要多少小时 4 4 一项工程 第一天甲做 第二天乙做 第三天甲做 第四天乙做 这样交替轮流 一项工程 第一天甲做 第二天乙做 第三天甲做 第四天乙做 这样交替轮流 做 那么恰好用整数天完工 如果第一天乙做 第二天甲做 第三天乙做 第四天甲做 那么恰好用整数天完工 如果第一天乙做 第二天甲做 第三天乙做 第四天甲 做 这样交替轮流做 那么完工时间要比前一种多半天 已知乙单独做这项工程需做 这样交替轮流做 那么完工时间要比前一种多半天 已知乙单独做这项工程需 1717 天完成 甲单独做这项工程要多少天完成 天完成 甲单独做这项工程要多少天完成 5 5 师徒俩人加工同样多的零件 当师傅完成了 师徒俩人加工同样多的零件 当师傅完成了 1 21 2 时 徒弟完成了时 徒弟完成了 120120 个 当师傅个 当师傅 完成了任务时 徒弟完成了完成了任务时 徒弟完成了 4 54 5 这批零件共有多少个 这批零件共有多少个 6 6 一批树苗 如果分给男女生栽 平均每人栽 一批树苗 如果分给男女生栽 平均每人栽 6 6 棵 如果单份给女生栽 平均每人棵 如果单份给女生栽 平均每人 栽栽 1010 棵 单份给男生栽 平均每人栽几棵 棵 单份给男生栽 平均每人栽几棵 7 7 一个池上装有 一个池上装有 3 3 根水管 甲管为进水管 乙管为出水管 根水管 甲管为进水管 乙管为出水管 2020 分钟可将满池水放完 分钟可将满池水放完 丙管也是出水管 丙管也是出水管 3030 分钟可将满池水放完 现在先打开甲管 当水池水刚溢出时 打分钟可将满池水放完 现在先打开甲管 当水池水刚溢出时 打 开乙开乙 丙两管用了丙两管用了 1818 分钟放完 当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不开丙管 多分钟放完 当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不开丙管 多 少分钟将水放完 少分钟将水放完 8 8 某工程队需要在规定日期内完成 若由甲队去做 恰好如期完成 若乙队去做 某工程队需要在规定日期内完成 若由甲队去做 恰好如期完成 若乙队去做 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单独做 恰好如期完成 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单独做 恰好如期完成 问规定日期为几天 问规定日期为几天 9 9 两根同样长的蜡烛 点完一根粗蜡烛要 两根同样长的蜡烛 点完一根粗蜡烛要 2 2 小时 而点完一根细蜡烛要小时 而点完一根细蜡烛要 1 1 小时 一小时 一 天晚上停电 小芳同时点燃了这两根蜡烛看书 若干分钟后来点了 小芳将两支蜡烛天晚上停电 小芳同时点燃了这两根蜡烛看书 若干分钟后来点了 小芳将两支蜡烛 同时熄灭 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的同时熄灭 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 2 倍 问 停电多少分钟 倍 问 停电多少分钟 二 鸡兔同笼问题二 鸡兔同笼问题 1 1 鸡与兔共 鸡与兔共 100100 只 鸡的腿数比兔的腿数少只 鸡的腿数比兔的腿数少 2828 条 条 问鸡与兔各有几只 问鸡与兔各有几只 三 数字数位问题三 数字数位问题 1 1 把 把 1 1 至至 20052005 这这 20052005 个自然数依次写下来得到一个多位数个自然数依次写下来得到一个多位数 2005 2005 这个多位数这个多位数 除以除以 9 9 余数是多少余数是多少 2 2 A A 和和 B B 是小于是小于 100100 的两个非零的不同自然数 求的两个非零的不同自然数 求 A BA B 分之分之 A BA B 的最小值的最小值 3 3 已知 已知 A B CA B C 都是非都是非 0 0 自然数自然数 A 2 A 2 B 4B 4 C 16C 16 的近似值市的近似值市 6 4 6 4 那么它的准确值那么它的准确值 是多少是多少 4 4 一个三位数的各位数字 一个三位数的各位数字 之和是之和是 17 17 其中十位数字比个位数字大其中十位数字比个位数字大 1 1 如果把这个三位如果把这个三位 数的百位数字与个位数字对调数的百位数字与个位数字对调 得到一个新的三位数得到一个新的三位数 则新的三位数比原三位数大则新的三位数比原三位数大 198 198 求原数求原数 5 5 一个两位数 一个两位数 在它的前面写上在它的前面写上 3 3 所组成的三位数比原两位数的所组成的三位数比原两位数的 7 7 倍多倍多 24 24 求原来的求原来的 两位数两位数 6 6 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数 它与原数相加它与原数相加 和恰好和恰好 是某自然数的平方是某自然数的平方 这个和是多少这个和是多少 7 7 一个六位数的末位数字是 一个六位数的末位数字是 2 2 如果把如果把 2 2 移到首位移到首位 原数就是新数的原数就是新数的 3 3 倍倍 求原数求原数 8 8 有一个四位数 有一个四位数 个位数字与百位数字的和是个位数字与百位数字的和是 12 12 十位数字与千位数字的和是十位数字与千位数字的和是 9 9 如果如果 个位数字与百位数字互换个位数字与百位数字互换 千位数字与十位数字互换千位数字与十位数字互换 新数就比原数增加新数就比原数增加 2376 2376 求原数求原数 9 9 有一个两位数 有一个两位数 如果用它去除以个位数字如果用它去除以个位数字 商为商为 9 9 余数为余数为 6 6 如果用这个两位数除以如果用这个两位数除以 个位数字与十位数字之和个位数字与十位数字之和 则商为则商为 5 5 余数为余数为 3 3 求这个两位数求这个两位数 1010 如果现在是上午的 如果现在是上午的 1010 点点 2121 分分 那么在经过那么在经过 28799 99 28799 99 一共有一共有 2020 个个 9 9 分钟之后分钟之后 的时间将是几点几分的时间将是几点几分 四 排列组合问题四 排列组合问题 1 1 有五对夫妇围成一圈 使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有 有五对夫妇围成一圈 使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有 A A 768768 种种 B B 3232 种种 C C 2424 种种 D D 2 2 的的 1010 次方中次方中 2 2 若把英语单词若把英语单词 hellohello 的字母写错了的字母写错了 则可能出现的错误共有则可能出现的错误共有 A A 119119 种种 B B 3636 种种 C C 5959 种种 D D 4848 种种 五 容斥原理问题五 容斥原理问题 1 1 有 有 100100 种赤贫种赤贫 其中含钙的有其中含钙的有 6868 种种 含铁的有含铁的有 4343 种种 那么那么 同时含钙和铁的食品种同时含钙和铁的食品种 类的最大值和最小值分别是类的最大值和最小值分别是 A A 43 2543 25 B B 32 2532 25 C32 15C32 15 D D 43 1143 11 2 2 在多元智能大赛的决赛中只有三道题 在多元智能大赛的决赛中只有三道题 已知已知 1 1 某校某校 2525 名学生参加竞赛名学生参加竞赛 每个学生每个学生 至少解出一道题至少解出一道题 2 2 在所有没有解出第一题的学生中在所有没有解出第一题的学生中 解出第二题的人数是解出第三解出第二题的人数是解出第三 题的人数的题的人数的 2 2 倍倍 3 3 只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 1 人人 4 4 只解出一道题的学生中只解出一道题的学生中 有一半没有解出第一题有一半没有解出第一题 那么只解出第二题的学生人数是那么只解出第二题的学生人数是 A A 5 5 B B 6 6 C C 7 7 D D 8 8 3 3 一次考试共有 一次考试共有 5 5 道试题 做对第道试题 做对第 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 题的分别占参加考试人数的题的分别占参加考试人数的 95 95 80 80 79 79 74 74 85 85 如果做对三道或三道以上为合格 那么这次考试的合格 如果做对三道或三道以上为合格 那么这次考试的合格 率至少是多少 率至少是多少 六 抽屉原理 奇偶性问题六 抽屉原理 奇偶性问题 1 1 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 颜色有黑 红 蓝 黄四种 问最 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套 颜色有黑 红 蓝 黄四种 问最 少要摸出几只手套才能保证有少要摸出几只手套才能保证有 3 3 副同色的 副同色的 2 2 有四种颜色的积木若干 每人可任取 有四种颜色的积木若干 每人可任取 1 21 2 件 至少有几个人去取 才能保证有件 至少有几个人去取 才能保证有 3 3 人能取得完全一样 人能取得完全一样 3 3 某盒子内装 某盒子内装 5050 只球 其中只球 其中 1010 只是红色 只是红色 1010 只是绿色 只是绿色 1010 只是黄色 只是黄色 1010 只是蓝色 只是蓝色 其余是白球和黑球 为了确保取出的球中至少包含有其余是白球和黑球 为了确保取出的球中至少包含有 7 7 只同色的球 问 最少必须从只同色的球 问 最少必须从 袋中取出多少只球 袋中取出多少只球 4 4 地上有四堆石子 石子数分别是 地上有四堆石子 石子数分别是 1 1 9 9 1515 3131 如果每次从其中的三堆同时各取出如果每次从其中的三堆同时各取出 1 1 个 然后都放入第四堆中 那么 能否经过若干次操作 使得这四堆石子的个数都个 然后都放入第四堆中 那么 能否经过若干次操作 使得这四堆石子的个数都 相同相同 如果能请说明具体操作 不能则要说明理由 如果能请说明具体操作 不能则要说明理由 七 路程问题七 路程问题 1 1 狗跑 狗跑 5 5 步的时间马跑步的时间马跑 3 3 步 马跑步 马跑 4 4 步的距离狗跑步的距离狗跑 7 7 步 现在狗已跑出步 现在狗已跑出 3030 米 马开米 马开 始追它 问 狗再跑多远 马可以追上它 始追它 问 狗再跑多远 马可以追上它 2 2 甲乙辆车同时从 甲乙辆车同时从 a a b b 两地相对开出 几小时后再距中点两地相对开出 几小时后再距中点 4040 千米处相遇 已知 甲千米处相遇 已知 甲 车行完全程要车行完全程要 8 8 小时 乙车行完全程要小时 乙车行完全程要 1010 小时 求小时 求 a a b b 两地相距多少千米 两地相距多少千米 3 3 在一个 在一个 600600 米的环形跑道上 兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步 两人米的环形跑道上 兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步 两人 每隔每隔 1212 分钟相遇一次 若两个人速度不变 还是在原来出发点同时出发 哥哥改为分钟相遇一次 若两个人速度不变 还是在原来出发点同时出发 哥哥改为 按逆时针方向跑 则两人每隔按逆时针方向跑 则两人每隔 4 4 分钟相遇一次 两人跑一圈各要多少分钟 分钟相遇一次 两人跑一圈各要多少分钟 4 4 慢车车长 慢车车长 125125 米 车速每秒行米 车速每秒行 1717 米 快车车长米 快车车长 140140 米 车速每秒行米 车速每秒行 2222 米 慢车米 慢车 在前面行驶 快车从后面追上来 那么 快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要在前面行驶 快车从后面追上来 那么 快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要 多少时间 多少时间 5 5 在 在 300300 米长的环形跑道上 甲乙两个人同时同向并排起跑 甲平均速度是每秒米长的环形跑道上 甲乙两个人同时同向并排起跑 甲平均速度是每秒 5 5 米 乙平均速度是每秒米 乙平均速度是每秒 4 44 4 米 两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米 米 两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米 6 6 一个人在铁道边 听见远处传来的火车汽笛声后 在经过 一个人在铁道边 听见远处传来的火车汽笛声后 在经过 5757 秒火车经过她前面 秒火车经过她前面 已知火车鸣笛时离他已知火车鸣笛时离他 13601360 米 米 轨道是直的轨道是直的 声音每秒传声音每秒传 340340 米 求火车的速度 得米 求火车的速度 得 出保留整数 出保留整数 7 7 猎犬发现在离它 猎犬发现在离它 1010 米远的前方有一只奔跑着的野兔 马上紧追上去 猎犬的步子米远的前方有一只奔跑着的野兔 马上紧追上去 猎犬的步子 大 它跑大 它跑 5 5 步的路程 兔子要跑步的路程 兔子要跑 9 9 步 但是兔子的动作快 猎犬跑步 但是兔子的动作快 猎犬跑 2 2 步的时间 兔子步的时间 兔子 却能跑却能跑 3 3 步 问猎犬至少跑多少米才能追上兔子 步 问猎犬至少跑多少米才能追上兔子 8 8 ABAB 两地两地 甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4 5 4 5 如果甲乙二人分别同时如果甲乙二人分别同时 从从 ABAB 两地相对行使两地相对行使 40 40 分钟后两人相遇分钟后两人相遇 相遇后各自继续前行相遇后各自继续前行 这样 乙到达这样 乙到达 A A 地比甲地比甲 到达到达 B B 地要晚多少分钟地要晚多少分钟 9 9 甲乙两车同时从 甲乙两车同时从 ABAB 两地相对开出 第一次相遇后两车继续行驶 各自到达对方出两地相对开出 第一次相遇后两车继续行驶 各自到达对方出 发点后立即返回 第二次相遇时离发点后立即返回 第二次相遇时离 B B 地的距离是地的距离是 ABAB 全程的全程的 1 51 5 已知甲车在第一次相 已知甲车在第一次相 遇时行了遇时行了 120120 千米 千米 ABAB 两地相距多少千米 两地相距多少千米 1010 一船以同样速度往返于两地之间 它顺流需要 一船以同样速度往返于两地之间 它顺流需要 6 6 小时小时 逆流逆流 8 8 小时 如果水流速小时 如果水流速 度是每小时度是每小时 2 2 千米 求两地间的距离 千米 求两地间的距离 1111 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 快车每小时行 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 快车每小时行 3333 千米 相遇是已行了全千米 相遇是已行了全 程的七分之四 已知慢车行完全程需要程的七分之四 已知慢车行完全程需要 8 8 小时 求甲乙两地的路程 小时 求甲乙两地的路程 1212 小华从甲地到乙地 小华从甲地到乙地 3 3 分之分之 1 1 骑车骑车 3 3 分之分之 2 2 乘车乘车 从乙地返回甲地从乙地返回甲地 5 5 分之分之 3 3 骑车骑车 5 5 分之分之 2 2 乘车乘车 结果慢了半小时结果慢了半小时 已知已知 骑车每小时骑车每小时 1212 千米千米 乘车每小时乘车每小时 3030 千米千米 问问 甲乙甲乙 两地相距多少千米两地相距多少千米 八 比例问题八 比例问题 1 1 甲乙两人在河边钓鱼 甲乙两人在河边钓鱼 甲钓了三条甲钓了三条 乙钓了两条乙钓了两条 正准备吃正准备吃 有一个人请求跟他们一有一个人请求跟他们一 起吃起吃 于是三人将五条鱼平分了于是三人将五条鱼平分了 为了表示感谢为了表示感谢 过路人留下过路人留下 1010 元元 甲 乙怎么分 甲 乙怎么分 2 2 一种商品 今年的成本比去年增加了 一种商品 今年的成本比去年增加了 1010 分之分之 1 1 但仍保持原售价 因此 每份利 但仍保持原售价 因此 每份利 润下降了润下降了 5 5 分之分之 2 2 那么 今年这种商品的成本占售价的几分之几 那么 今年这种商品的成本占售价的几分之几 3 3 甲乙两车分别从 甲乙两车分别从 A BA B 两地出发两地出发 相向而行相向而行 出发时出发时 甲甲 乙的速度比是乙的速度比是 5 4 5 4 相遇后相遇后 甲甲 的速度减少的速度减少 20 20 乙的速度增加乙的速度增加 20 20 这样这样 当甲到达当甲到达 B B 地时地时 乙离乙离 A A 地还有地还有 1010 千米千米 那那 么么 A BA B 两地相距多少千米两地相距多少千米 4 4 一个圆柱的底面周长减少 一个圆柱的底面周长减少 25 25 要使体积增加 要使体积增加 1 31 3 现在的高和原来的高度比是多 现在的高和原来的高度比是多 少 少 5 5 某市举行小学数学竞赛 结果不低于某市举行小学数学竞赛 结果不低于 8080 分的人数比分的人数比 8080 分以下的人数的分以下的人数的 4 4 倍还多倍还多 2 2 人 及格的人数比不低于人 及格的人数比不低于 8080 分的人数多分的人数多 2222 人 恰是不及格人数的人 恰是不及格人数的 6 6 倍 求参赛的倍 求参赛的 总人数 总人数 6 6 有有 7 7 个数 它们的平均数是个数 它们的平均数是 1818 去掉一个数后 剩下 去掉一个数后 剩下 6 6 个数的平均数是个数的平均数是 1919 再去 再去 掉一个数后 剩下的掉一个数后 剩下的 5 5 个数的平均数是个数的平均数是 2020 求去掉的两个数的乘积 求去掉的两个数的乘积 7 7 小明参加了六次测验 第三 第四次的平均分比前两次的平均分多 小明参加了六次测验 第三 第四次的平均分比前两次的平均分多 2 2 分 比后两分 比后两 次的平均分少次的平均分少 2 2 分 如果后三次平均分比前三次平均分多分 如果后三次平均分比前三次平均分多 3 3 分 那么第四次比第三次分 那么第四次比第三次 多得几分 多得几分 7 7 某工车间共有某工车间共有 7777 个工人 已知每天每个工人平均可加工甲种部件个工人 已知每天每个工人平均可加工甲种部件 5 5 个 或者乙种个 或者乙种 部件部件 4 4 个 或丙种部件个 或丙种部件 3 3 个 但加工个 但加工 3 3 个甲种部件 一个乙种部件和个甲种部件 一个乙种部件和 9 9 个丙种部件才个丙种部件才 恰好配成一套 问应安排甲 乙 丙种部件工人各多少人时 才能使生产出来的甲 恰好配成一套 问应安排甲 乙 丙种部件工人各多少人时 才能使生产出来的甲 乙 丙三种部件恰好都配套 乙 丙三种部件恰好都配套 8 8 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍 哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍 哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同 哥哥与弟弟现在的年龄和为哥哥与弟弟现在的年龄和为 3030 岁 问哥哥 弟弟现在多少岁 岁 问哥哥 弟弟现在多少岁 小学五年级奥数题答案小学五年级奥数题答案 一 工程问题一 工程问题 1 1 解 解 1 20 1 161 20 1 16 9 809 80 表示甲乙的工作效率表示甲乙的工作效率 9 80 59 80 5 45 8045 80 表示表示 5 5 小时后进水量小时后进水量 1 45 801 45 80 35 8035 80 表示还要的进水量表示还要的进水量 35 80 35 80 9 80 1 109 80 1 10 3535 表示还要表示还要 3535 小时注满小时注满 答 答 5 5 小时后还要小时后还要 3535 小时就能将水池注满 小时就能将水池注满 2 2 解 由题意得 甲的工效为 解 由题意得 甲的工效为 1 201 20 乙的工效为 乙的工效为 1 301 30 甲乙的合作工效为 甲乙的合作工效为 1 20 4 5 1 30 9 101 20 4 5 1 30 9 10 7 1007 100 可知甲乙合作工效 可知甲乙合作工效 甲的工效甲的工效 乙的工效 乙的工效 又因为 要求又因为 要求 两队合作的天数尽可能少两队合作的天数尽可能少 所以应该让做的快的甲多做 所以应该让做的快的甲多做 1616 天内实天内实 在来不及的才应该让甲乙合作完成 只有这样才能在来不及的才应该让甲乙合作完成 只有这样才能 两队合作的天数尽可能少两队合作的天数尽可能少 设合作时间为设合作时间为 x x 天 则甲独做时间为 天 则甲独做时间为 16 x16 x 天 天 1 20 1 20 16 x16 x 7 100 x 7 100 x 1 1 x x 1010 答 甲乙最短合作答 甲乙最短合作 1010 天天 3 3 由题意知 由题意知 1 41 4 表示甲乙合作表示甲乙合作 1 1 小时的工作量 小时的工作量 1 51 5 表示乙丙合作表示乙丙合作 1 1 小时的工作量小时的工作量 1 4 1 51 4 1 5 2 2 9 109 10 表示甲做了表示甲做了 2 2 小时 乙做了小时 乙做了 4 4 小时 丙做了小时 丙做了 2 2 小时的工作量 小时的工作量 根据根据 甲 丙合做甲 丙合做 2 2 小时后 余下的乙还需做小时后 余下的乙还需做 6 6 小时完成小时完成 可知甲做可知甲做 2 2 小时 乙做小时 乙做 6 6 小时 丙做小时 丙做 2 2 小时一共的工作量为小时一共的工作量为 1 1 所以所以 1 1 9 109 10 1 101 10 表示乙做表示乙做 6 46 4 2 2 小时的工作量 小时的工作量 1 10 21 10 2 1 201 20 表示乙的工作效率 表示乙的工作效率 1 1 201 1 20 2020 小时表示乙单独完成需要小时表示乙单独完成需要 2020 小时 小时 答 乙单独完成需要答 乙单独完成需要 2020 小时 小时 4 4 解 由题意可知 解 由题意可知 1 1 甲甲 1 1 乙乙 1 1 甲甲 1 1 乙乙 1 1 甲 甲 1 1 1 1 乙乙 1 1 甲甲 1 1 乙乙 1 1 甲甲 1 1 乙乙 1 1 甲甲 0 5 0 5 1 1 1 1 甲表示甲的工作效率 甲表示甲的工作效率 1 1 乙表示乙的工作效率 最后结束必须如上所示 否则第乙表示乙的工作效率 最后结束必须如上所示 否则第 二种做法就不比第一种多二种做法就不比第一种多 0 50 5 天 天 1 1 甲 甲 1 1 乙乙 1 1 甲甲 0 5 0 5 因为前面的工作量都相等 因为前面的工作量都相等 得到得到 1 1 甲 甲 1 1 乙乙 2 2 又因为又因为 1 1 乙 乙 1 171 17 所以所以 1 1 甲 甲 2 172 17 甲等于 甲等于 17 217 2 8 58 5 天天 5 5 答案为 答案为 300300 个个 120 120 4 5 24 5 2 300300 个个 可以这样想 师傅第一次完成了可以这样想 师傅第一次完成了 1 21 2 第二次也是 第二次也是 1 21 2 两次一共全部完工 那么徒 两次一共全部完工 那么徒 弟第二次后共完成了弟第二次后共完成了 4 54 5 可以推算出第一次完成了 可以推算出第一次完成了 4 54 5 的一半是的一半是 2 52 5 刚好是 刚好是 120120 个 个 6 6 答案是 答案是 1515 棵棵 算式 算式 1 1 1 6 1 101 6 1 10 1515 棵棵 7 7 答案 答案 4545 分钟 分钟 1 1 1 20 1 301 20 1 30 1212 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数 1 12 1 12 18 1218 12 1 12 61 12 6 1 21 2 表示乙丙合作将漫池水放完后 还多放了表示乙丙合作将漫池水放完后 还多放了 6 6 分钟的水 分钟的水 也就是甲也就是甲 1818 分钟进的水 分钟进的水 1 2 181 2 18 1 361 36 表示甲每分钟进水表示甲每分钟进水 最后就是最后就是 1 1 1 20 1 361 20 1 36 4545 分钟 分钟 8 8 答案为 答案为 6 6 天天 解 由解 由 若乙队去做 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单若乙队去做 要超过规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单 独做 恰好如期完成 独做 恰好如期完成 可知 可知 乙做乙做 3 3 天的工作量 甲天的工作量 甲 2 2 天的工作量天的工作量 即 甲乙的工作效率比是即 甲乙的工作效率比是 3 3 2 2 甲 乙分别做全部的的工作时间比是甲 乙分别做全部的的工作时间比是 2 2 3 3 时间比的差是时间比的差是 1 1 份份 实际时间的差是实际时间的差是 3 3 天天 所以所以 3 3 3 23 2 2 2 6 6 天 就是甲的时间 也就是规定日期天 就是甲的时间 也就是规定日期 方程方法 方程方法 1 x 1 1 x 1 x 2x 2 2 1 2 1 x 2x 2 x 2x 2 1 1 解得解得 x x 6 6 9 9 答案为 答案为 4040 分钟 分钟 解 设停电了解 设停电了 x x 分钟分钟 根据题意列方程根据题意列方程 1 1 120 x1 1 120 x 1 1 60 x1 1 60 x 2 2 解得解得 x x 4040 二 鸡兔同笼问题二 鸡兔同笼问题 1 1 解 解 4 1004 100 400400 400 0400 0 400400 假设都是兔子 一共有假设都是兔子 一共有 400400 只兔子的脚 那么鸡的只兔子的脚 那么鸡的 脚为脚为 0 0 只 鸡的脚比兔子的脚少只 鸡的脚比兔子的脚少 400400 只 只 400 28400 28 372372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 2828 只 相差只 相差 372372 只 这是为什么 只 这是为什么 4 24 2 6 6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡 兔子的总脚数就会减少这是因为只要将一只兔子换成一只鸡 兔子的总脚数就会减少 4 4 只 从只 从 400400 只变为只变为 396396 只 鸡的总脚数就会增加只 鸡的总脚数就会增加 2 2 只 从只 从 0 0 只到只到 2 2 只 它们的相差数就会少只 它们的相差数就会少 4 24 2 6 6 只 也就是原来的相差数是只 也就是原来的相差数是 400 0400 0 400400 现在的相差数为 现在的相差数为 396 2396 2 394394 相差 相差 数少了数少了 400 394400 394 6 6 372 6372 6 6262 表示鸡的只数 也就是说因为假设中的表示鸡的只数 也就是说因为假设中的 100100 只兔子中有只兔子中有 6262 只改为了鸡 只改为了鸡 所以脚的相差数从所以脚的相差数从 400400 改为改为 2828 一共改了 一共改了 372372 只只 100 62100 62 3838 表示兔的只数表示兔的只数 三 数字数位问题三 数字数位问题 1 1 解 首先研究能被 解 首先研究能被 9 9 整除的数的特点 如果各个数位上的数字之和能被整除的数的特点 如果各个数位上的数字之和能被 9 9 整除 整除 那么这个数也能被那么这个数也能被 9 9 整除 如果各个位数字之和不能被整除 如果各个位数字之和不能被 9 9 整除 那么得的余数就是这整除 那么得的余数就是这 个数除以个数除以 9 9 得的余数 得的余数 解题 解题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 451 2 3 4 5 6 7 8 9 45 4545 能被能被 9 9 整除整除 依次类推 依次类推 1 19991 1999 这些数的个位上的数字之和可以被这些数的个位上的数字之和可以被 9 9 整除整除 10 1910 19 20 29 90 9920 29 90 99 这些数中十位上的数字都出现了这些数中十位上的数字都出现了 1010 次 那么十位上的数字之次 那么十位上的数字之 和就是和就是 10 20 30 90 45010 20 30 90 450 它有能被它有能被 9 9 整除整除 同样的道理 同样的道理 100 900100 900 百位上的数字之和为百位上的数字之和为 45004500 同样被同样被 9 9 整除整除 也就是说也就是说 1 9991 999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9 9 整除 整除 同样的道理 同样的道理 1000 19991000 1999 这些连续的自然数中百位 十位 个位这些连续的自然数中百位 十位 个位 上的数字之和可以被上的数字之和可以被 9 9 整除 这里千位上的整除 这里千位上的 1 1 还没考虑 同时这里我们少还没考虑 同时这里我们少 0505 从从 1000 19991000 1999 千位上一共千位上一共 999999 个个 1 1 的和是的和是 999999 也能整除 也能整除 0505 的各位数字之和是的各位数字之和是 2727 也刚好整除 也刚好整除 最后答案为余数为最后答案为余数为 0 0 2 2 解 解 A B A B A B A B A B A B 2B A B 2B A B 1 1 2 2 B A B B A B 前面的前面的 1 1 不会变了 只需求后面的最小值 此时不会变了 只需求后面的最小值 此时 A B A B A B A B 最大 最大 对于对于 B B A B A B 取最小时 取最小时 A B B A B B 取最大 取最大 问题转化为求问题转化为求 A B B A B B 的最大值 的最大值 A B B A B B 1 1 A BA B 最大的可能性是 最大的可能性是 A BA B 99 199 1 A B B A B B 100100 A B A B A B A B 的最大值是 的最大值是 9898 100100 3 3 解 因为 解 因为 A 2A 2 B 4B 4 C 16C 16 8A 4B C 16 6 48A 4B C 16 6 4 所以所以 8A 4B C 102 48A 4B C 102 4 由于 由于 A A B B C C 为非为非 0 0 自然数 因此自然数 因此 8A 4B C8A 4B C 为一个整数 可能为一个整数 可能 是是 102102 也有可能是 也有可能是 103103 当是当是 102102 时 时 102 16102 16 6 3756 375 当是当是 103103 时 时 103 16103 16 6 43756 4375 4 4 解 设原数个位为 解 设原数个位为 a a 则十位为 则十位为 a 1a 1 百位为 百位为 16 2a16 2a 根据题意列方程根据题意列方程 100a 10a 16 2a100a 10a 16 2a 100100 16 2a16 2a 10a a 10a a 198198 解得解得 a a 6 6 则 则 a 1a 1 7 7 16 2a16 2a 4 4 答 原数为答 原数为 476476 5 5 解 设该两位数为 解 设该两位数为 a a 则该三位数为 则该三位数为 300 a300 a 7a 247a 24 300 a300 a a a 2424 答 该两位数为答 该两位数为 2424 6 6 解 设原两位数为 解 设原两位数为 10a b10a b 则新两位数为 则新两位数为 10b a10b a 它们的和就是它们的和就是 10a b 10b a10a b 10b a 1111 a ba b 因为这个和是一个平方数 可以确定因为这个和是一个平方数 可以确定 a ba b 1111 因此这个和就是因此这个和就是 11 1111 11 121121 答 它们的和为答 它们的和为 121121 7 7 解 设原六位数为 解 设原六位数为 abcde2abcde2 则新六位数为 则新六位数为 2abcde2abcde 字母上无法加横线 请将整个 字母上无法加横线 请将整个 看成一个六位数 看成一个六位数 再设再设 abcdeabcde 五位数 为 五位数 为 x x 则原六位数就是 则原六位数就是 10 x 210 x 2 新六位数就是 新六位数就是 x x 根据题意得 根据题意得 x x 3 3 10 x 210 x 2 解得解得 x x 8571485714 所以原数就是所以原数就是 8 8 答案为 答案为 39633963 解 设原四位数为解 设原四位数为 abcdabcd 则新数为 则新数为 cdabcdab 且 且 d bd b 1212 a ca c 9 9 根据根据 新数就比原数增加新数就比原数增加 2376 2376 可知可知 abcd 2376 cdab abcd 2376 cdab 列竖式便于观察列竖式便于观察 abcdabcd 23762376 cdabcdab 根据根据 d bd b 1212 可知 可知 d d b b 可能是可能是 3 3 9 9 4 4 8 8 5 5 7 7 6 6 6 6 再观察竖式中的个位 便可以知道只有当再观察竖式中的个位 便可以知道只有当 d d 3 3 b b 9 9 或 或 d d 8 8 b b 4 4 时成立 时成立 先取先取 d d 3 3 b b 9 9 代入竖式的百位 可以确定十位上有进位 代入竖式的百位 可以确定十位上有进位 根据根据 a ca c 9 9 可知 可知 a a c c 可能是可能是 1 1 8 8 2 2 7 7 3 3 6 6 4 4 5 5 再观察竖式中的十位 便可知只有当再观察竖式中的十位 便可知只有当 c c 6 6 a a 3 3 时成立 时成立 再代入竖式的千位 成立 再代入竖式的千位 成立 得到 得到 abcdabcd 39633963 再取再取 d d 8 8 b b 4 4 代入竖式的十位 无法找到竖式的十位合适的数 所以不成立 代入竖式的十位 无法找到竖式的十位合适的数 所以不成立 9 9 解 设这个两位数为 解 设这个两位数为 abab 10a b10a b 9b 69b 6 10a b10a b 5 5 a ba b 3 3 化简得到一样 化简得到一样 5a 4b5a 4b 3 3 由于由于 a a b b 均为一位整数均为一位整数 得到得到 a a 3 3 或或 7 7 b b 3 3 或或 8 8 原数为原数为 3333 或或 7878 均可以均可以 1010 解 解 28799 928799 9 2020 个个 9 9 1 1 60 24 60 24 整除 表示正好过了整数天 时间仍然整除 表示正好过了整数天 时间仍然 还是还是 10 2110 21 因为事先计算时加了 因为事先计算时加了 1 1 分钟 所以现在时间是分钟 所以现在时间是 10 2010 20 四 排列组合问题四 排列组合问题 1 1 解 根据乘法原理 分两步 解 根据乘法原理 分两步 第一步是把第一步是把 5 5 对夫妻看作对夫妻看作 5 5 个整体 进行排列有个整体 进行排列有 5 4 3 2 15 4 3 2 1 120120 种不同的排法 种不同的排法 但是因为是围成一个首尾相接的圈 就会产生但是因为是围成一个首尾相接的圈 就会产生 5 5 个个 5 5 个重复 因此实际排法只有个重复 因此实际排法只有 120 5120 5 2424 种 种 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置 也就是说每一对夫妻均有第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置 也就是说每一对夫妻均有 2 2 种排法 总共种排法 总共 又又 2 2 2 2 22 2 2 2 2 3232 种种 综合两步 就有综合两步 就有 24 3224 32 768768 种 种 2 2 解 解 5 5 全排列全排列 5 4 3 2 1 1205 4 3 2 1 120 有两个有两个 l l 所以所以 120 2 60120 2 60 原来有一种正确的所以原来有一种正确的所以 60 1 5960 1 59 五 容斥原理问题五 容斥原理问题 1 1 解 根据容斥原理最小值 解 根据容斥原理最小值 68 43 10068 43 100 1111 最大值就是含铁的有最大值就是含铁的有 4343 种种 2 2 解 根据 解 根据 每个人至少答出三题中的一道题每个人至少答出三题中的一道题 可知答题情况分为可知答题情况分为 7 7 类 只答第类 只答第 1 1 题 只答第题 只答第 2 2 题 只答第题 只答第 3 3 题 只答第题 只答第 1 1 2 2 题 只答第题 只答第 1 1 3 3 题 只答题 只答 2 2 3 3 题 答题 答 1 1 2 2 3 3 题 题 分别设各类的人数为分别设各类的人数为 a1a1 a2a2 a3a3 a12a12 a13a13 a23a23 a123a123 由 由 1 1 知 知 a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123 25 25 由 由 2 2 知 知 a2 a23a2 a23 a3 a3 a23a23 2 2 由 由 3 3 知 知 a12 a13 a123a12 a13 a123 a1a1 1 1 由 由 4 4 知 知 a1a1 a2 a3 a2 a3 再由再由 得得 a23a23 a2a2 a3 2 a3 2 再由再由 得得 a12 a13 a123a12 a13 a123 a2 a3a2 a3 1 1 然后将然后将 代入代入 中 整理得到中 整理得到 a2 4 a3a2 4 a3 2626 由于由于 a2a2 a3a3 均表示人数 可以求出它们的整数解 均表示人数 可以求出它们的整数解 当当 a2a2 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 时 时 a3a3 2 2 6 6 1010 1414 1818 2222 又根据又根据 a23a23 a2a2 a3 2 a3 2 可知 可知 a2 a3a2 a3 因此 符合条件的只有因此 符合条件的只有 a2a2 6 6 a3a3 2 2 然后可以推出然后可以推出 a1a1 8 8 a12 a13 a123a12 a13 a123 7 7 a23a23 2 2 总人数 总人数 8 6 2 7 28 6 2 7 2 2525 检验所 检验所 有条件均符 有条件均符 故只解出第二题的学生人数故只解出第二题的学生人数 a2a2 6 6 人 人 3 3 答案 及格率至少为 答案 及格率至少为 7171 假设一共有假设一共有 100100 人考试人考试 100 95100 95 5 5 100 80100 80 2020 100 79100 79 2121 100 74100 74 2626 100 85100 85 1515 5 20 21 26 155 20 21 26 15 8787 表示 表示 5 5 题中有题中有 1 1 题做错的最多人数 题做错的最多人数 87 387 3 2929 表示 表示 5 5 题中有题中有 3 3 题做错的最多人数 即不及格的人数最多为题做错的最多人数 即不及格的人数最多为 2929 人 人 100 29100 29 7171 及格的最少人数 其实都是全对的 及格的最少人数 其实都是全对的 及格率至少为及格率至少为 7171 六 抽屉原理 奇偶性问题六 抽屉原理 奇偶性问题 1 1 解 可以把四种不同的颜色看成是 解 可以把四种不同的颜色看成是 4 4 个抽屉 把手套看成是元素 要保证有一副个抽屉 把手套看成是元素 要保证有一副 同色的 就是同色的 就是 1 1 个抽屉里至少有个抽屉里至少有 2 2 只手套 根据抽屉原理 最少要摸出只手套 根据抽屉原理 最少要摸出 5 5 只手套 这只手套 这 时拿出时拿出 1 1 副同色的后副同色的后 4 4 个抽屉中还剩个抽屉中还剩 3 3 只手套 再根据抽屉原理 只要再摸出只手套 再根据抽屉原理 只要再摸出 2 2 只手只手 套 又能保证有一副手套是同色的 以此类推 套 又能保证有一副手套是同色的 以此类推 把四种颜色看做把四种颜色看做 4 4 个抽屉 要保证有个抽屉 要保证有 3 3 副同色的 先考虑保证有副同色的 先考虑保证有 1 1 副就要摸出副就要摸出 5 5 只手只手 套 这时拿出套 这时拿出 1 1 副同色的后 副同色的后 4 4 个抽屉中还剩下个抽屉中还剩下 3 3 只手套 根据抽屉原理 只要再摸只手套 根据抽屉原理 只要再摸 出出 2 2 只手套 又能保证有只手套 又能保证有 1 1 副是同色的 以此类推 要保证有副是同色的 以此类推 要保证有 3 3 副同色的 共摸出的副同色的 共摸出的 手套有 手套有 5 2 2 95 2 2 9 只 只 答 最少要摸出答 最少要摸出 9 9 只手套 才能保证有只手套 才能保证有 3 3 副同色的 副同色的 2 2 解 每人取 解 每人取 1 1 件时有件时有 4 4 种不同的取法种不同的取法 每人取每人取 2 2 件时件时 有有 6 6 种不同的取法种不同的取法 当有当有 1111 人时人时 能保证至少有能保证至少有 2 2 人取得完全一样人取得完全一样 当有当有 2121 人时人时 才能保证到少有才能保证到少有 3 3 人取得完全一样人取得完全一样 3 3 解 需要分情况讨论 因为无法确定其中黑球与白球的个数 解 需要分情况讨论 因为无法确定其中黑球与白球的个数 当黑球或白球其中没有大于或等于当黑球或白球其中没有大于或等于 7 7 个的 那么就是 个的 那么就是 6 4 10 1 35 6 4 10 1 35 个个 如果黑球或白球其中有等于如果黑球或白球其中有等于 7 7 个的 那么就是 个的 那么就是 6 5 3 16 5 3 1 3434 个 个 如果黑球或白球其中有等于如果黑球或白球其中有等于 8 8 个的 那么就是 个的 那么就是 6 5 2 16 5 2 1 3333 如果黑球或白球其中有等于如果黑球或白球其中有等于 9 9 个的 那么就是 个的 那么就是 6 5 1 16 5 1 1 3232 4 4 解 不可能 解 不可能 因为总数为因为总数为 1 9 15 311 9 15 31 5656 56 456 4 141