导数常见题型归纳

1 导数常见题型归纳 一 常规应用与含参数的单调区间的讨论 一 常规应用与含参数的单调区间的讨论 1 设函数 x e f x x 1 求函数 f x的单调区间 21 世纪教育网 2 若0k 求不等式 1 0fxkx f x 的解集 解 1 22 111 xxx x fxeee xxx 由 0fx 得 1x 因为 当0 x 时 0fx 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 f x的单调增区间是 1 单调减区间是 0 0 1 小结 此问是最基本的单调区间求解问题 2 由 2 2 1 1 x xkxkx fxkx f xe x 2 1 1 0 x xkx e x 得 1 1 0 xkx 故 当 01k 时 解集是 1 1 xx k 当 1k 时 解集是 当 1k 时 解集是 1 1 xx k 21 世纪教育网 2 设函数 3 3 0 f xxaxb a 若曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 求 a b的值 求函数 f x的单调区间与极值点 解析解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考 查综合分析和解决问题的能力 2 33fxxa 曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 203 404 24 86828 faa babf 2 30fxxaa 2 当0a 时 0fx 函数 f x在 上单调递增 此时函数 f x没有极值点 当0a 时 由 0fxxa 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 当 xaa 时 0fx 函数 f x单调递减 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 此时xa 是 f x的极大值点 xa 是 f x的极小值点 小结 此题是针对根的大小讨论单调区间 3 已知函数 a xaxxf 3 13 23 讨论函数的单调性 xf 若曲线上两点 A B 处的切线都与 y 轴垂直 且线段 AB 与 x 轴有公共点 xfy 求实数 a 的取值范围 解解 由题设知 令 2 363 0 2 a xaxxaxxfa a xxxf 2 00 21 得 当 i a 0 时 若 则 所以在区间上是增函数 0 x0 x f xf 2 a 若 则 所以在区间上是减函数 2 0 a x 0 x f xf 2 0 a 若 则 所以在区间上是增函数 2 a x0 x f xf 2 a i i 当 a 0 时 若 则 所以在区间上是减函数 2 a x 0 x f xf 2 a 若 则 所以在区间上是增函数 0 2 a x 0 x f xf 0 2 a 若 则 所以在区间上是减函数 0 x0 x f xf 0 由 的讨论及题设知 曲线上的两点 A B 的纵坐标为函数的极值 xfy 且函数在处分别是取得极值 xfy a xx 2 0 a f 3 1 0 1 34 2 2 a a a f 因为线段 AB 与 x 轴有公共点 所以 即0 2 0 a ff0 3 1 1 34 2 aa a 所以 故 0 4 3 1 2 a aaa 0 0 4 3 1 aaaa且 解得 1 a 0 或 3 a 4 即所求实数 a 的取值范围是 1 0 3 4 答案应为 a 1 或 3 a 4 即所求实数 a 的取值范围是 3 4 1 3 小结 1 此题 1 问是针对根的大小讨论单调区间的 并且要注意参数正负对不等式解 的影响 2 此题 2 问是利用极值点进行问题的转化的 4 已知函数的图像过点 1 6 且函数的 32 2f xxmxnx 6g xfxx 图像关于 y 轴对称 1 求 m n 的值及函数的单调区间 2 若 a 0 求函数 yf x 在区间内的极值 yf x 1 1 aa 解 1 由函数图像过 1 6 得 m n 3 由 得 32 2f xxmxnx 2 32fxxmxn 而图像关于 y 轴对称 所以 即 m 3 所以 2 3 26 g xxmxn 26 0 2 3 m n 0 由得 2 360fxxx 0 2 x 所以 单调递增区间为 递减区间为 0 2 0 2 2 由 得 x 0 x 2 2 360fxxx 所以函数在区间内有 yf x 1 1 aa 当 0 a 1 时 有极大值为 无极小值 f x 0 2f 当 1 a 3 时 有极小值为 无极大值 f x 2 6f 当 a 3 时 无极值 f x 小结 此题第 2 问的解题关键是发现区间的长度刚好等于函数的两个极值点之 1 1 aa 间的距离 从而找到分类讨论的分类标准 二 问题转化型 5 设函数 32 9 6 2 f xxxxa 1 对于任意实数x fxm 恒成立 求m的最大值 2 若方程 0f x 有且仅有一个实根 求a的取值范围 解 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因为 x fxm 即 2 39 6 0 xxm 恒成立 所以 81 12 6 0m 得 3 4 m 即m的最大值为 3 4 2 因为 当1x 时 0fx 当12x 时 0fx 当2x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取极大值 5 1 2 fa 当2x 时 f x取极小值 2 2fa 4 故当 2 0f 或 1 0f 时 方程 0f x 仅有一个实根 解得 2a 或 5 2 a 小结 此题把问题转化成利用函数的极值点进行解决 6 已知函数 32 1 3 f xxaxbx a bR 1 若图象上的点处的切线斜率为 4 求的极大值 yf x 11 1 3 yf x 2 若在区间上是单调减函数 求 a b 的最小值 yf x 1 2 略解 1 易得 a 1 b 3 32 1 3 3 f xxxx 由解得 2 23 3 1 0fxxxxx 12 1 3xx 从而易用导数法求得极大值为 1 1f 2 此问可用根的分布理论解决 由题意知的两根必需分布在区间外 从而由根的分布理论 2 20fxxaxb 1 2 可得 进而由线性规划解得 1 021 2 044 fab fab min 3 2 ab 小结 此题转化为用线性规划求最值 7 设 是函数的两个极值点 且 1 x 2 x 0 23 223 axax b x a xf 12 2xx 1 若函数在点 0 0 处的切线与直线垂直 求a b的值 xf14 xy 2 求的取值范围 2 b 解 1 22 abxaxxf 地的两个极值点 是的两个实根 又 21 xx xf 21 xx 0 x f0 a 0 21 axx a b xx 21 通过分析符号关系进行形式 2 2 12121212 2 44 b xxxxxxx xa a 5 转换是求解此问的关键 2 21 xx 即 44 2 2 a a b 1 444 2322 aaaab 又 函数在点 0 0 处的切线与直线垂直 xf14 xy 解得 4 1 0 2 af 2 1 a0 a 2 1 a 2 2 b 2 由 1 知 可设 322 44 aaagb 0 2 b10 a 32 4128 2 aaaaag 且由得 由得 0 a g 3 2 0 a0 a g1 3 2 a 在上单调递增 在上单调递减 ag 3 2 0 1 3 2 27 16 3 2 max gag 27 16 0 2 b 小结 在第 2 问中使用了导数法求最值 从而求出了范围 8 已知为偶函数 曲线过点 2 f xxbxc yf x 2 5 g xxa f x 若曲线有斜率为 0 的切线 求实数的取值范围 yg x a 若当时函数取得极值 确定的单调区间 1x yg x yg x 解 为偶函数 故即有 2 f xxbxc fxf x 解得 22 xbxcxbxc 0b 又曲线过点 得有 yf x 2 5 2 25 c 1c 从而 曲线 32 g xxa f xxaxxa 2 321g xxax 有斜率为 0 的切线 故有有实数解 即有实数解 此时 yg x 0g x 2 3210 xax 有解得w w w k s 5 u c o m 2 4120a A 6 所以实数的取值范围 33 a a 33 a 因时函数取得极值 故有即 解得1x yg x 1 0g 3210a 2a 又 令 得 2 341 31 1 g xxxxx 0g x 12 1 1 3 xx 当时 故在上为增函数 1 x 0g x g x 1 当时 故在上为减函数 1 1 3 x 0g x g x 1 1 3 当时 故在上为增函数 1 3 x 0g x g x 1 3 9 对于总有成立 则 3 31f xaxx 1 1x 0f x a 答案 4 解法一 本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用 体现了分类讨论的数学思想 要使恒成立 只要在上恒成立 0f x min 0f x 1 1x 22 333 1 fxaxax 当时 所以 不符合题意 舍去 0 10a 31f xx min 20f x 当时 即单调递减 0 20a 22 333 1 0fxaxax f x 舍去 min 1 202f xfaa 当时 0 30a 1 0fxx a 若时在和 上单调递增 1 11a a f x 1 1 a 1 1 a 在上单调递减 11 aa 所以 min 1 min 1 f xff a 1 40 04 11 1 20 fa a f aa 当时在上单调递减 1 11a a f x 1 1x 不符合题意 舍去 综上可知 a 4 min 1 202f xfaa 7 解法二 本小题考查函数单调性的综合运用 若 x 0 则不论取何值 0 显然成立 当 x 0 即时 a f x 1 1x 3 31f xaxx 0 可化为 23 31 a xx 设 则 所以 在区间上单调递增 在区 23 31 g x xx 4 3 1 2x gx x g x 1 0 2 间上单调递减 因此 从而 4 1 1 2 max 1 4 2 g xg a 当 x 0 即时 3 31f xaxx 0 可化为 1 0 a 23 31 xx 4 3 1 2x gx x 0 在区间上单调递增 因此 从而 4 综上 4 g x 1 0 ma 14 n g xg aa 答案 4 三 其它非常规套路题 发散思考型 已知二次函数 xgy 的导函数的图像与直线2yx 平行 且 xgy 在x 1 处取得最 小值 m 1 m0 设函数 x xg xf 1 若曲线 xfy 上的点 P 到点 Q 0 2 的距离的最小值为2 求 m 的值 2 Rkk 如何取值时 函数kxxfy 存在零点 并求出零点 解析 1 设 2 g xaxbxc 则 2gxaxb 又 gx 的图像与直线2yx 平行 22a 1a 又 g x在1x 取极小值 1 2 b 2b 11 21gabccm cm 2 g xm f xx xx 设为上任意一点 00 P xy 0 f x 则 2 22 22 0000 0 2 m PQxyxx x 2 22 0 2 0 222 22 m xm x 2 2 224m 2 2 m 21 世纪教育网 2 由 120 m yf xkx