基于matlab的最小二乘法应用

基于基于 matlab 非线性曲线最小二乘拟非线性曲线最小二乘拟 摘要 在工程计算与科学研究中 常常需要从一组测量数据出发 寻找变量 x 与 y 的函 数关系式 有时很难找出他们之间精确地函数表达式 这时就要观察所给数据值 xfy 利用最小二乘曲线拟合来构造一个近似的解析式 利用这种方法拟合出 xxfy 的曲线虽然不能保证通过所有的数据点 但是很好的逼近它们 从而充分反映已知数据间 内在的数量关系 因此这种方法在科学实验和生产实践中具有广泛的应用前景 一般构造 的方法有很多 本文先介绍了最小二乘法的原理 并通过实例用 matlab 实现了曲 xy 线的拟合以得到函数关系的方法和步骤 通过不同的经验公式得到不同的的拟合结果 并分析其结果 关键字 最小二乘法 matlab 曲线拟合 1 前言前言 在现代科学研究中 物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的 有些 函数关系是由经典理论分析推导得出的 这些函数关系不仅为我们进一步的分 析研究工作提供了物理的理论基础 也使我们可以十分方便的运用丰富的数学知 识来解决物理问题 在现实的物理研究过程中 有一些问题很难由经典物理理 论推导出物理量的函数表达式 或者推导出的表达式十分复杂 不利于进一步 的分析 但由于研究需要 又很希望能得到这些量之间的函数关系 这时就可 以利用曲线拟合的方法 用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似函数表 达式 2 最小二乘法原理最小二乘法原理 在函数的最佳平方逼近中 如果只在一组离散数据点集 baxf xf 上给出 这就是科学实验中经常见到的实验数据 i xmi 1 0 ii yx 的曲线拟合 这里 要求一个函数mi 1 0 ii xfy mi 1 0 与所给数据 拟合 若误差 xy s ii yx mi 1 0 ii yx s 设上线性无关mi 1 0 T m 10 baCxxx n 10 是 函数族 在 使得误差平方和 xxxxspan s n 中找一函数 10 2 min 2 0 2 00 2 2 2 m i ii xS m i ii m i i yxSyx s 1 这里 n m 2 2 xaxaxaxS nn 1100 这就是一般的最小二乘逼近 用几何语言说 就称为曲线拟合的最小二乘 法 1 用最小二乘法求拟合曲线时 首先要确定 S x 的形式 这不单纯是数学问 题 还与所研究问题的运动规律及所得观测数据 有关 通常要从问题 ii yx 的运动规律及给定数据描图 确定 S x 的形式 并通过实际计算选出较好的结 果 S x 的一般表达式为线性形式 若是 k 次多项式 S x 就是 n 次多项 x k 式 为了使问题的提法更有一般性 通常在最小二乘法中都考虑为加权平 2 2 方和 2 m i iii xfxSx 0 2 2 2 3 这里是 a b 上的权函数 它表示不同点处的数据比重不0 x ii xfx 同一般取值为 1 用最小二乘法求拟合曲线的问题 就是求形如 S x 的一个函数 xSy 使取得最小 它转化为求多元函数 m i iii xfxSx 0 2 2 2 2 2 00 10 i n j ijj m i in xfxaxaaaI 4 的极小点问题 再由求多元函数极值的必要条件 有 1 0n aaa k 0 1 n m i ik n j iijji k xxfxax a I 00 0 2 若记 0 ikij m i ikj xxx 2 5 kiki m i ik dxxfxf 0 上式可改写成 2 1 0 nkda kj n oj jk 6 这个方程成为法方程 可写成距阵形式 2 dGa 7 其中 1010 T n T n ddddaaaa 2 10 11101 01000 nnnn n n G 8 它的均方误差为 2 9 2 0 2 2ii m i i xfxSx 最大偏差为 2 yfEw 10 3 问题描述问题描述 在化学反应中 由实验测得分解物浓度与时间的关系如下表 2 所示 表 2 浓度 y 与时间 x 的关系实验数据表 x0510152025 y01 272 162 863 443 87 x303540455055 y4 154 374 514 584 624 64 1 试画出以上数据的散点图 2 根据数据的变化趋势 使用合适的经验公式拟合以上数据 求出 tf 偏差和均方误差 并说明优劣 4 问题求解及分析过程问题求解及分析过程 由所给的实验数据点通过 orgin 软件做出如图 1 所示的散点图 从图中可 以 01020304050 0 1 2 3 4 5 x y 图 1 分解物浓度与时间的散点图 及问题的物理背景可以看出 拟合曲线应具有如下特点 曲线随时 xy 间的增加而上升 但上升速度由快到慢 当 x 0 时反应尚未开始 即 y 0 当 x时 y 趋于某一常数 故曲线应通过原点 且有一水平渐近线 具有这两 种特点的曲线有很多 悬着不同的数学模型可以后的不同的拟合曲线和经验公 式本文提供如下两种方案 方案一 设想具有指数形式 xy 4 0 0 exp baxbay 1 在求解参数 a 和 b 时 为了避免求解一个非线性方程组 对上式两边取对 数方程变为 4 x b ay lnln 2 引入新的变量 并记上式变为 此时的xXyY 1 ln bBaA lnBXAY 问题就转化为求形如的最小二乘解 运用 matlab 语言编写计算和画BXAY 图程序 程序一见附录部分 2 运算的结果 a 5 2151 b 7 4962 最大偏差 均方误差 故拟合的曲线为 3044 0 w E5811 0 2 E 4 xy 4962 7 exp2151 5 3 拟合的曲线图形如图 2 所示 0102030405060 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 x y 合 合 合 xi yi 合 合 合 合 合 y f x 合 合 合 合 合 合 xi yi 合 合 合 合 y f x 图 2 方案二 设想是双曲线型的 具有下面的形式 xy 4 bax x y 4 此时如直接按最小二乘原则来确定参数 a 和 b 的值 问题则归结为求二元函数 的极小点 这将导致要求解非线性方程组 从而给计算带来麻烦 我们可以通 过变量替换将其转化为关于求解待定参数的线性函数 为此将 4 3 式转化为 4 x b a y 1 5 引入新变量 方程变为 x X y Y 1 1 4 6 bXaY 问题同样转变为求解形如的最小二乘解 同样运用 matlab 语言来编写bxay 其计算和作图的程序 其程序见附录第二部分 计算结果 此种方案的拟合曲线方程为1074 4 0110 3 2063 3 1413 0 2 EEba w 4 2063 3 1413 0 x x y 7 拟合曲线图形见图 3 所示 0102030405060 0 1 2 3 4 5 6 x y 合 合 合 xi yi 合 合 合 合 合 y f x 合 合 合 合 合 合 xi yi 合 合 合 合 y f x 图 3 把两种方案的所得到的经验方程 4 3 和 4 7 进行比较见表 4 1 从最 大偏差和均方误差这两个角度来看前者优于后者 表 4 1 经验公式最大偏差均方误差 式 4 3 0 30440 5811 式 4 7 3 01104 1074 因此在解决实际问题时 常常要经过反复的分析 多次选择 计算与比较 最终才能得到较好的数学模型 5 参考文献参考文献 1 李庆扬 王能超 易大义 数值分析 M 北京 清华大学出版社 2008 2 郑阿奇 曹戈 Matlab 实用教程 M 北京 电子工业出版社 2007 6 附录附录 程序 1 x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y 1 27 2 16 2 86 3 44 3 87 4 15 4 37 4 51 4 58 4 62 4 64 Y log y X 1 x a polyfit X Y 1 B a 1 A a 2 b B a exp A X 0 1 55 Y a exp b X f a exp b x plot x y r X Y b xlabel x ylabel y legend 数据点 xi yi 拟合曲线 y f x title 数据点 xi yi 和拟合曲线 y f x 的图形 fy abs f y fy2 fy 2 Ew max fy E1 sum fy E2 sqrt sum fy2 程序 2 x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y 1 27 2 16 2 86 3 44 3 87 4 15 4 37 4 51 4 58 4 62 4 64 Y 1 y X 1 x a polyfit X Y 1 B a 1 A