导数经典习题

导数导数 一 填空题 共一 填空题 共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 每题只需写出结果 分 每题只需写出结果 1 已知函数的递增区间为 则的值分别为 32 61yaxbxx 2 3 a b 2 若函数则的单调递减区间为 22 1 1 f xxg xx f g x 3 函数在区间上的最大值是 来源 学 2cosyxx 0 2 4 函数f x ex sinx cosx 在区间 0 上的值域为 1 2 2 5 已知函数 f x 的导数为 f x 4x3 4x 且 f x 的图象过点 0 5 当函数 f x 取得极大值 5 时 x 6 函数在 0 1 有极小值 则 b 的范围是 3 33f xxbxb 7 已知函数的极大值为 13 则 m 32 6yxxm 8 若的最大值为 3 最小值是 则 32 6 1 2 f xaxaxb x 29 的值分别为 a b 9 若函数在处有极大值 则常数c 2 cxxxf 2 x 10 三次函数在 1 2 内恒为正值 则 b 的取值范围是 3 33f xxbxb 11 关于的方程有三个不等的实根 则实数的取值范围是x03 3 axxa 12 将 8 分为两正数之和 使其立方和最小 则这两个数分别为 13 给出定义 若函数 f x 在 D 上可导 即 f x 存在 且导函数 f x 在 D 上也 可导 则称 f x 在 D 上存在二阶导函数 记 f x f x 若 f x 0 在 D 上恒 成立 则称 f x 在 D 上为凸函数 以下四个函数在 0 上不是凸函数的是 把你认为正确的序号 2 都填上 f x sinx cosx f x lnx 2x f x x3 2x 1 f x xex 14 已知 是三次函数的两个极值 32 11 2 32 f xxaxbx a bR 点 且 则的取值范围是 0 1 1 2 2 1 b a 二 解答题 共二 解答题 共 6 6 小题小题 共计 共计 9090 分 解答时应写出文字说明 证明过程或分 解答时应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 演算步骤 15 本题满分 14 分 设0a 函数 2 x e f x xa 求函数 f x的单 调区间 当 1 2 x 时 函数 f x取得极值 证明 对于任意的 12 1 3 2 2 x x 12 3 3 e f xf xe 16 本题满分 14 分 某商品每件成本 9 元 售价为 30 元 每星期卖出 432 件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品 单价的降低值 单位 元 的平方成正比 已知商品单价x030 x 降低 2 元时 一星期多卖出 24 件 将一个星期的商品销售利润表示 成的函数 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 x 17 本题满分 15 分 已知函数 2 21 lnf xxaxax 当时 求函数的单调增区间 1a f x 求函数在区间上的最小值 f x 1 e 设 若存在 使得成立 求 1 g xa x 0 1 xe e 00 f xg x 实数的取值范围 a 18 本题满分 15 分 设函数在 322 31 f xaxbxa xab R 处取得极值 且 1 xx 2 xx 12 2xx 若 求的值 并求的单调区间 1a b f x 若 求的取值范围 0a b 19 本题满分 16 分 已知函数 ln aexf x 为常数 是上的aR 奇函数 函数xxfxgsin 是区间上的减函数 1 1 求的值 a 若 1 1 1 2 xttxg在 上恒成立 求 的取值范围 t 讨论关于的方程mexx xf x 2 ln 2 的根的个数 x 20 本题满分 16 分 已知函数 bxaxxxf 23 3 1 Rba 若图象上的点 处的切线斜率为 求 xfy 3 11 1 4 的极大值 xfy 若在区间上是单调减函数 求的最小值 xfy 2 1 ba 参考答案参考答案 一 填空题 共一 填空题 共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 每题只需写出结果 分 每题只需写出结果 1 已知函数的递增区间为 则的值分别为 32 61yaxbxx 2 3 a b 2 1 3 1 ba 2 若函数则的单调递减区间为 22 1 1 f xxg xx f g x 2 0 2 3 函数在区间上的最大值是 来源 学 科 2cosyxx 0 2 3 6 4 函数f x ex sinx cosx 在区间 0 上的值域为 1 2 2 2 1 2 1 2 e 5 已知函数 f x 的导数为 f x 4x3 4x 且 f x 的图象过点 0 5 当函数 f x 取得极大值 5 时 x 0 6 函数在 0 1 有极小值 则 b 的范围是 0 1 3 33f xxbxb 7 已知函数的极大值为 13 则 m 19 32 6yxxm 8 若的最大值为 3 最小值是 则 32 6 1 2 f xaxaxb x 29 的值分别为 a 2 b 3 或 a 2 b 29 a b 9 若函数在处有极大值 则常数c 6 2 cxxxf 2 x 10 三次函数在 1 2 内恒为正值 则 b 的取值范围是 3 33f xxbxb 4 9 b 11 关于的方程有三个不等的实根 则实数的取值范围是x03 3 axxa 2 2 12 将 8 分为两正数之和 使其立方和最小 则这两个数分别为 4 4 13 给出定义 若函数 f x 在 D 上可导 即 f x 存在 且导函数 f x 在 D 上也 可导 则称 f x 在 D 上存在二阶导函数 记 f x f x 若 f x 0 在 D 上恒 成立 则称 f x 在 D 上为凸函数 以下四个函数在 0 上不是凸函数的是 把你认为正确的序号都填上 2 f x sinx cosx f x lnx 2x f x x3 2x 1 f x xex 14 已知 是三次函数的两个极值 32 11 2 32 f xxaxbx a bR 点 且 则的取值范围是 0 1 1 2 2 1 b a 1 4 1 二 解答题 共二 解答题 共 6 6 小题小题 共计 共计 9090 分 解答时应写出文字说明 证明过程或分 解答时应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 演算步骤 15 本题满分 14 分 设0a 函数 2 x e f x xa 求函数 f x的单 调区间 当 1 2 x 时 函数 f x取得极值 证明 对于任意的 12 1 3 2 2 x x 12 3 3 e f xf xe 解解 22 2222 2 1 1 xx exaxexa fx xaxa 当1a 时 0fx 恒成立 f x在 上是增函数 当01a 时 令 0fx 即 2 1 10 xa 解得 11 11xaxa 或 因此 函数 f x在区间 11 a 内单调递增 在区间 11 a 内 也单调递增 令 2 0 1 10fxxa 即 解得1111axa 因此 函数 f x在区间 1 11 aa 1内单调递减 当 1 2 x 时 函数 f x取得极值 即 1 0 2 f 2 11 20 22 a 3 4 a 由 f x在 1 2 单调递增 在 3 1 2 单调递减 3 2 单调递增 f x在 1 2 x 时取得极大值 1 2 fe f x在 3 2 x 时取得极小值 3 23 e e f 故在 1 3 2 2 上 f x的最大值是 1 2 fe 最小值是 3 23 e e f 对于任意的 12 1 3 2 2 x x 12 f xf x 3 3 e e 16 本题满分 14 分 某商品每件成本 9 元 售价为 30 元 每星期卖出 432 件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单 价的降低值 单位 元 的平方成正比 已知商品单价降低x030 x 2 元时 一星期多卖出 24 件 将一个星期的商品销售利润表示成的x 函数 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解解 1 设商品降价 元 则多卖的商品数为 若记商品在一个星期的获利x 2 kx 为 则依题意有 f x 22 309 432 21 432 f xxkxxkx 又由已知条件 于是有 2 242k 6k 所以 32 61264329072 0 30 f xxxxx 2 根据 1 我们 有 2 1825243218 2 12 fxxxxx x 0 2 2 212 12 12 30 fx 0 0 f x减极小增极大减 故时 达到极大值 因为 12x f x 0 9072f 12 11264f 所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大 30 1218 17 本题满分 15 分 已知函数 2 21 lnf xxaxax 当时 求函数的单调增区间 1a f x 求函数在区间上的最小值 f x 1 e 设 若存在 使得成立 求 1 g xa x 0 1 xe e 00 f xg x 实数的取值范围 a 解解 1 单调增区间 1 0 1 2 2 当时 当时 1a min 1 2f xfa 1ae 2 min lnf xf aaaaa 当时 ae 2 min 2f xf eeaeea 3 2 2 1 ee a e 18 本题满分 15 分 设函数在 322 31 f xaxbxa xab R 处取得极值 且 1 xx 2 xx 12 2xx 若 求的值 并求的单调区间 1a b f x 若 求的取值范围 0a b 解解 22 323fxaxbxa 当时 1a 2 323fxxbx 由题意知为方程的两根 所以 由 12 xx 2 3230 xbx 2 12 436 3 b xx 得 12 2xx 0b 从而 3 31f xxx 2 333 1 1 fxxxx 当时 当时 11 x 0fx 1 1 x 0fx 故在单调递减 在 单调递增 f x 11 1 1 由 式及题意知为方程的两根 所以 12 xx 22 3230axbxa 23 12 436 3 ba xx a 从而 由上式及题设知 22 12 29 1 xxbaa 01a 设 23 99g aaa 2 2 182727 3 g aaaa a 故在单调递增 在单调递减 从而在的极大值为 g a 2 0 3 2 1 3 g a 01 24 33 g 又在上只有一个极值 所以为在上的最大值 g a 01 24 33 g g a 01 且最小值为 1 0g 所以 即的取值范围为 2 4 0 3 b b 2 3 2 3 33 19 本题满分 16 分 已知函数 ln aexf x 为常数 是上的aR 奇函数 函数xxfxgsin 是区间上的减函数 1 1 求的值 a 若 1 1 1 2 xttxg在 上恒成立 求 的取值范围 t 讨论关于的方程mexx xf x 2 ln 2 的根的个数 x 解解 I ln aexf x 是奇函数 ln ln aeae xx 1 aeae xx 0 11 2 aeeaaaeae xxxx 故 a 0 II 由 I 知 xxxgxxfsin 1 1 在xg 上单调递减 0cos xxg xcos 在 1 1 上恒成立 1 1sin 1 max gxg 11sin 2 tt 只需 01sin 1 2 tt 其中1 恒成立 令 1 011sin 1 2 tth 则 011sin1 01 2 tt t 01sin 01sin 1 2 2 tt tt t 而恒成立1 t III 由 2 ln ln 2 mexx x x xf x 令 2 ln 2 21 mexxxf x x xf ln1 2 1 x x xf 当 0 0 1 xfex时 exf 0 1 在 上为增 函数 当 ex时 0 1 xf 1 exf在为减函数 当 1 1max1 e efxfex 时而 22 2 emexxf 1 1 22 时即当 e em e em 方程无解 当 e em e em 1 1 22 即时 方程有一个根 当 e em e em 1 1 22 时时 方程有两个根 20 本题满分 16 分 已知函数 bxaxxxf 23 3 1 Rba 若图象上的点 处的切线斜率为 求 xfy 3 11 1 4 的极大值 xfy 若在区间上是单调减函数 求的最小值 xfy 2 1 ba 解解 1 k s 5 ubaxxxf 2 2 由题意可知 且 解得4 1 f 3 11 1 f 3 11 3 1 421 ba ba 3 1 b a xxxxf3 3 1 23 3 1 32 2 xxxxxf 令 得 由此可知 0 x f3 1 21 xx x 1 1