小学数学中的行程问题

小学数学中的行程问题小学数学中的行程问题 基本公式 基本概念 行程问题是研究物体运动的 它研究的是物体速度 时 间 行程三者之间的关系 基本公式 路程 速度 时间 路程 时间 速度 路程 速 度 时间 关键问题 确定行程过程中的位置 相遇问题 速度和 相遇时间 相遇路程 请写出其他公式 追击问题 追击时间 路程差 速度差 写出其他公式 流水问题 顺水行程 船速 水速 顺水时间 逆水行程 船速 水速 逆水时间 顺水速度 船速 水速 逆水速度 船速 水速 静水速度 顺水速度 逆水速度 2 水 速 顺水速度 逆水速度 2 流水问题 关键是确定物体所运动的速度 参照以上公式 过桥问题 关键是确定物体所运动的路程 参照以上公式 一般行程问题公式 平均速度 时间 路程 路程 时间 平均速度 路程 平均速度 时间 反向行程问题公式 反向行程问题可以分为 相遇问题 二人从两地出发 相向 而行 和 相离问题 两人背向而行 两种 这两种题 都可用 下面的公式解答 速度和 相遇 离 时间 相遇 离 路程 相遇 离 路程 速度和 相遇 离 时间 相遇 离 路程 相遇 离 时间 速度和 同向行程问题公式 追及 拉开 路程 速度差 追及 拉开 时间 追及 拉开 路程 追及 拉开 时间 速度差 速度差 追及 拉开 时间 追及 拉开 路程 列车过桥问题公式 桥长 列车长 速度 过桥时间 桥长 列车长 过桥时间 速度 速度 过桥时间 桥 车长度之和 行船问题公式 1 一般公式 静水速度 船速 水流速度 水速 顺水速度 船速 水速 逆水速度 顺水速度 逆水速度 2 船速 顺水速度 逆水速度 2 水速 2 两船相向航行的公式 甲船顺水速度 乙船逆水速度 甲船静水速度 乙船静水速度 3 两船同向航行的公式 后 前 船静水速度 前 后 船静水速度 两船距离缩小 拉 大 速度 求出两船距离缩小或拉大速度后 再按上面有关的公式去解 答题目 例题精讲 例 1 小王骑车到城里开会 以每小时 12 千米的速度行驶 2 小时 可以到达 车行了 15 分钟后 发现忘记带文件 以原速返回原地 这时他每小时行多少千米才能按时到达 解答 要求小王返回原地后到城里的速度 就必须知道从家到城里的路程 和剩下的时间 根据题意 这两个条件都可以求出 15 分钟 小时 从家到城里的路程 12 2 24 千米 返回后还剩的时间 2 2 1 小时 返回后去城里的速度 24 1 16 千米 时 答 他每小时行 16 千米才能按时到达 2 相遇问题 距离 速度和 相遇时间 相遇时间 距离 速度和 速度和 距离 相遇时间 例 2 如图 从 A 到 B 是 1 千米下坡路 从 B 到 C 是 3 千米平路 从 C 到 D 是 2 5 千米上坡路 小张和小王步行 下坡的速度都是 6 千 米 小时 平路速度都是 4 千米 小时 上坡速度都是 2 千米 小时 问 1 小张和小王分别从 A D 同时出发 相向而行 问多少时 间后他们相遇 2 相遇后 两人继续向前走 当某一个人达到终点时 另一人 离终点还有多少千米 解答 1 小张从 A 到 B 需要 1 6 60 10 分钟 小王从 D 到 C 也是下坡 需要 2 5 6 60 25 分钟 当小王到达 C 点时 小张已在平路上走了 25 10 15 分钟 走了 4 1 千米 因此在 B 与 C 之间平路上留下 3 1 2 千米 由小张和小王共同相向而行 直到相遇 所需时间是 2 4 4 60 15 分钟 从出发到相遇的时间是 25 15 40 分钟 2 相遇后 小王再走 30 分钟平路 到达 B 点 从 B 点到 A 点需 要走 1 2 60 30 分钟 即他再走 60 分钟到达终点 小张走 15 分钟平路到达 D 点 45 分钟可走 2 1 5 千米 小张离终点还有 2 5 1 5 1 千米 答 40 分钟后小张和小王相遇 小王到达终点时 小张离终点 还有 1 千米 3 追及问题 追及距离 速度差 追及时间 追及时间 追及距离 速度差 速度差 追及距离 追及时间 例 3 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米 小轿车和面包 车同时从学校开出 沿着同一路线行驶 小轿车比面包车早 10 分钟 到达城门 当面包车到达城门时 小轿车已离城门 9 千米 问学校 到城门的距离是多少千米 解答 先计算 从学校开出 到面包车到达城门用了多少时间 此时 小轿车比面包车多走了 9 千米 而小轿车与面包车的速 度差是 6 千米 小时 因此所用时间 9 6 1 5 小时 小轿车比面包车早 10 分钟到达城门 面包车到达时 小轿车离 城门 9 千米 说明小轿车的速度是 9 54 千米 小时 面包车速度是 54 6 48 千米 小时 城门离学校的距离是 48 1 5 72 千米 答 学校到城门的距离是 72 千米 4 火车过桥问题 我们在研究一般的行程问题时 是不考虑汽车等物体的本身长度的 因为这类物体的长度很小 可以忽略不计 可是如果研究火车行程 问题 因为车身有一定的长度 一般一百多米 就不能忽略不计了 火车行程问题中的距离 一般是要考虑火车长度的 火车通过一个 固定的点所用的时间就是火车行驶车身长度所需要的时间 火车长度 桥的长度 通过时间 火车速度 例 4 一条隧道长 360 米 某列火车从车头入洞到全车进洞用了 8 秒钟 从车头入洞到全车出洞共用了 20 秒钟 这列火车长多少米 解答 分析画出示意图 如图 火车 8 秒钟行的路程是火车的全长 20 秒钟行的路程是隧道 长加火车长 因此 火车行隧道长 360 米 所用的时间是 20 8 12 秒钟 即可求出火车的速度 火车的速度是 360 20 8 30 米 秒 火车长 30 8 240 米 答 这列火车长 240 米 5 火车相遇 追及问题 错车时间 甲车身长 乙车身长 甲车速度 乙车速度 超车时间 甲车身长 乙车身长 甲车速度 乙车速度 例 5 客车长 182 米 每秒行 36 米 货车长 148 米 每秒行 30 米 两车在平行的轨道上相向而行 从相遇到错车而过需多少时间 解答 两列火车相向而行 从车头相遇一直到车尾离开 迎面错车而过 两列火车所行的路程是两列火车车身长度之和 速度是两列火车的 速度之和 时间是 182 148 36 30 5 秒 答 从相遇到错车而过需 5 秒 6 环形行程问题 封闭环形上的相遇问题 环形周长 速度和 相遇时间 封闭环形上的追及问题 环形周长 速度差 追及时间 例 6 小张和小王各以一定速度 在周长为 500 米的环形跑道上跑 步 小王的速度是 180 米 分 1 小张和小王同时从同一地点出发 反向跑步 75 秒后两人第 一次相遇 小张的速度是多少米 分 2 小张和小王同时从同一点出发 同一方向跑步 小张跑多少圈 后才能第一次追上小王 解答 1 两人相遇 也就是合起来跑了一个周长的行程 75 秒 1 25 分 小张的速度是 500 1 25 180 220 米 分 2 在环形的跑道上 小张要追上小王 就是小张比小王多跑一圈 一个周长 因此需要的时间是 500 220 180 12 5 分 220 12 5 500 5 5 圈 答 1 小张的速度是 220 米 分 2 小张跑 5 5 圈后才能追上 小王 7 流水行船问题 流水行船问题比一般的行程问题多了一个水流的影响 因此它 有一些特殊的数量关系 顺水速度 船速 水速 逆水速度 船速 水速 水速 顺水速度 船速 船速 顺水速度 水速 水速 船速 逆水速度 船速 逆水速度 水速 船速 顺水速度 逆水速度 2 水速 顺水速度 逆水速度 2 例 7 甲 乙两港间的水路长 208 千米 一只船从甲港开往乙港 顺水 8 小时到达 从乙港返回甲港 逆水 13 小时到达 求船在静水 中的速度和水流速度 解答 顺水速度 208 8 26 千米 小时 逆水速度 208 13 16 千米 小时 船速 26 16 2 21 千米 小时 水速 26 16 2 5 千米 小时 答 船在静水中的速度为每小时 21 千米 水流速度每小时 5 千米 8 重复相遇问题 例 8 两列火车从 A 城 B 城相向而行 第一次相遇在离 A 地 500 公 里处 相遇后 两列车继续前进 各自到达目的地后 又折回 第 二次相遇在离 B 城 300 公里处 问 A 城 B 城相距多远 解答 如图 两列火车从出发到第二次相遇一共行了三个全程 分别为 第一列火车从 A 城到 B 城 第二列火车从 B 城到 A 城 第二列火车 从 A 城出发与从 B 城出发的第一列火车在途中相遇 而这三个全程 还可以从另外一个角度考察 第一列火车行 500 公里时 两列火车 共行了一个全程 相遇后 两车速度依然不变 所以第一列火车行 驶第二个 500 公里时 两列火车同样又共行了一个全程 当第一列 火车行了第三个 500 公里 即第一列火车行驶 500 3 1500 公里时 两列火车正好共行了三个全程 而这时 两列火车第二次相遇 由 图观察可得 这时第一列火车又折回了 300 公里 即第一列火车行 驶的 1500 公里比全程多了 300 公里 于是 全程即为 3 500 300 1200 公里 3 500 300 1200 答 A 城 B 城相距 1200 公里 习题 1 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟 小王骑自行车从乙地到甲 地需要 12 分钟 他们同时出发 几分钟后两人相遇 解答 走同样长的距离 小张花费的时间是小王花费时间的 36 12 3 倍 因此自行车的速度是步行速度的 3 倍 也可以说 在同一时间内 小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3 倍 如 果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4 段 小王走了 3 段 小张走 了 1 段 小张花费的时间是 36 3 1 9 分钟 答 两人在 9 分钟后相遇 2 小张从家到公园 原打算每分种走 50 米 为了提早 10 分钟到 他把速度加快 每分钟走 75 米 问家到公园多远 解答 方法 1 可以作为 追及问题 处理 假设另有一人 比小张早 10 分钟出发 考虑小张以 75 米 分钟 速度去追赶 追上所需时间是 50 10 75 50 20 分钟 因此 小张走的距离是 75 20 1500 米 答 从家到公园的距离是 1500 米 方法 2 小张加快速度后 每走 1 米 可节约时间 分钟 因此家到公园的距离是 10 1500 米 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进 有一辆汽车要去追赶 如果速度是 30 千米 小时 要 1 小时才能追上 如果速度是 35 千 米 小时 要 40 分钟才能追上 问自行车的速度是多少 解答 解法 1 自行车 1 小时走了 30 1 已超前距离 自行车 40 分钟走了 35 已超前距离 自行车多走 20 分钟 走了 30 35 因此 自行车的速度是 30 35 30 3 90 70 20 千米 小时 答 自行车速度是 20 千米 小时 方法 2 因为追上所需时间 追上距离 速度差 1 小时与 40 分钟是 3 2 所以两者的速度差之比是 2 3 请看 下面示意图 马上可看出前一速度差是 15 自行车速度是 35 15 20 千米 小时 4 上午 8 点 8 分 小明骑自行车从家里出发 8 分钟后 爸爸骑摩 托车去追他 在离家 4 千米的地方追上了他 然后爸爸立即回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上小明的时候 离家恰好是 8 千 米 这时是几点几分 解答 画一张简单的示意图 图上可以看出 从爸爸第一次追上到第二次追上 小明走了 8 4 4 千米 而爸爸骑的距离是 4 8 12 千米 这就知道 爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12 4 3 倍 按照这个倍数计算 小明骑 8 千米 爸爸可以骑行 8 3 24 千米 但事实上 爸爸少用了 8 分钟 骑行了 4 12 16 千米 少骑行 24 16 8 千米 摩托车的速度是 1 千米 分 爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟 8 8 16 32 答 这时是 8 点 32 分 5 小张从甲地到乙地 每小时步行 5 千米 小王从乙地到甲地 每 小时步行 4 千米 两人同时出发 然后在离甲 乙两地的中点 1 千 米的地方相遇 求甲 乙两地间的距离 解答 画一张示意图 离中点 1 千米的地方是 A 点 从图上可以看出 小张走了两地距离 的一半多 1 千米 小王走了两地距离的一半少 1 千米 从出发到相 遇 小张比小王多走了 2 千米 小张比小王每小时多走 5 4 千米 从出发到相遇所用的时间是 2 5 4 2 小时 因此 甲 乙两地的距离是 5 4 2 18 千米 6 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而行 6 小时后相 遇于 C 点 如果甲车速度不变 乙车每小时多行 5 千米 且两车还 从 A B 两地同时出发相向而行 则相遇地点距 C 点 12 千米 如果 乙车速度不变 甲车每小时多行 5 千米 且两车还从 A B 两地同时 出发相向而行 则相遇地点距 C 点 16 千米 求 A B 两地距离 解答 先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于 D 点 甲加速后与乙相遇于 E 点 同时出发 后的相遇时间 是由速度和决定的 不论甲加速 还是乙加速 它 们的速度和比原来都增加 5 千米 因此 不论在 D 点相遇 还是在 E 点相遇 所用时间是一样的 这是解决本题的关键 下面的考虑重点转向速度差 在同样的时间内 甲如果加速 就到 E 点 而不加速 只能到 D 点 这两点距离是 12 16 28 千米 加速与不加速所形成的 速度差是 5 千米 小时 因此 在 D 点 或 E 点 相遇所用时间是 28 5 5 6 小时 比 C 点相遇少用 6 5 6 0 4 小时 甲到达 D 和到达 C 点速度是一样的 少用 0 4 小时 少走 12 千米 因此甲的速度是 12 0 4 30 千米 小时 同样道理 乙的速度是 16 0 4 40 千米 小时 A 到 B 距离是 30 40 6 420 千米 答 A B 两地距离是 420 千米 7 如图 A B 是圆的直径的两端 小张在 A 点 小王在 B 点同时 出发反向行走 他们在 C 点第一次相遇 C 离 A 点 80 米 在 D 点第 二次相遇 D 点离 B 点 6O 米 求这个圆的周长 解答 第一次相遇 两人合起来走了半个周长 第二次相遇 两个人合起 来又走了一圈 从出发开始算 两个人合起来走了一周半 因此 第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的 行程的 3 倍 那么从 A 到 D 的距离 应该是从 A 到 C 距离的 3 倍 即 A 到 D 是 80 3 240 米 240 60 180 米 180 2 360 米 答 这个圆的周长是 360 米 8 甲村 乙村相距 6 千米 小张与小王分别从甲 乙两村同时出发 在两村之间往返行走 到达另一村后就马上返回 在出发后 40 分 钟两人第一次相遇 小王到达甲村后返回 在离甲村 2 千米的地方 两人第二次相遇 问小张和小王的速度各是多少 解答 画示意图如下 如图 第一次相遇两人共同走了甲 乙两村间距离 第二次相遇两 人已共同走了甲 乙两村间距离的 3 倍 因此所需时间是 40 3 60 2 小时 从图上可以看出从出发至第二次相遇 小张已走了 6 2 2 10 千 米 小王已走了 6 2 8 千米 因此 他们的速度分别是 小张 10 2 5 千米 小时 小王 8 2 4 千米 小时 答 小张和小王的速度分别是 5 千米 小时和 4 千米 小时 小张与小王分别从甲 乙两村同时出发 在两村之间往返行走 到达另一村后就马上返回 他们在离甲村 3 5 千米处第一次相 遇 在离乙村 2 千米处第二次相遇 问他们两人第四次相遇的地点 离乙村多远 相遇指迎面相遇 解答 画示意图如下 第二次相遇两人已共同走了甲 乙两村距离的 3 倍 因此张走 了 3 5 3 10 5 千米 从图上可看出 第二次相遇处离乙村 2 千米 因此 甲 乙两 村距离是 10 5 2 8 5 千米 每次要再相遇 两人就要共同再走甲 乙两村距离 2 倍的路程 第四次相遇时 两人已共同走了两村距离 3 2 2 倍的行程 其中张走了 3 5 7 24 5 千米 24 5 8 5 8 5 7 5 千 米 就知道第四次相遇处 离乙村 8 5 7 5 1 千米 答 第四次相遇地点离乙村 1 千米 10 绕湖一周是 24 千米 小张和小王从湖边某一地点同时出发反向 而行 小王以 4 千米 小时速度每走 1 小时后休息 5 分钟 小张以 6 千米 小时速度每走 50 分钟后休息 10 分钟 问 两人出发多少时间 第一次相遇 解答 小张的速度是 6 千米 小时 50 分钟走 5 千米 我们可以把他们出 发后时间与行程列出下表 12 15 27 比 24 大 从表上可以看出 他们相遇在出发后 2 小时 10 分至 3 小时 15 分之间 出发后 2 小时 10 分小张已走了 10 6 11 千米 此时两人相距 24 8 11 5 千米 由于从此时到相遇已不会再休息 因此共同走完这 5 千米所需 时间是 5 4 6 0 5 小时 2 小时 10 分再加上半小时是 2 小时 40 分 答 他们相遇时是出发后 2 小时 40 分 11 一个圆周长 90 厘米 3 个点把这个圆周分成三等分 3 只爬虫 A B C 分别在这 3 个点上 它们同时出发 按顺时针方向沿着圆 周爬行 A 的速度是 10 厘米 秒 B 的速度是 5 厘米 秒 C 的速度 是 3 厘米 秒 3 只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置 解答 先考虑 B 与 C 这两只爬虫 什么时候能到达同一位置 开始时 它们相差 30 厘米 每秒钟 B 能追上 C 5 3 厘米 30 5 3 15 秒 因此 15 秒后 B 与 C 到达同一位置 以后再要到达同一位置 B 要追上 C 一圈 也就是追上 90 厘米 需要 90 5 3 45 秒 B 与 C 到达同一位置 出发后的秒数是 15 60 105 150 195 再看看 A 与 B 什么时候到达同一位置 第一次是出发后 30 10 5 6 秒 以后再要到达同一位置是 A 追上 B 一圈 需要 90 10 5 18 秒 A 与 B 到达同一位置 出发后的秒数是 6 24 42 60 78 96 对照两行列出的秒数 就知道出发后 60 秒 3 只爬虫到达同一