期权价值敏感性——希腊字母

1 第三章第三章 期权敏感性 希腊字母 期权敏感性 希腊字母 顾名思义 期权敏感性是指期权价格受某些定价参数的变动而变动的敏感 程度 本章主要介绍期权价格对其四个参数 标的资产市场价格 到期时间 波动率和无风险利率 的敏感性指标 这些敏感性指标也称作希腊值 Greeks 每一个希腊值刻画了某个特定风险 如果期权价格对某一参数的敏感性为 零 可以想见 该参数变化时给期权带来的价格风险就为零 实际上 当我们 运用期权给其标的资产或其它期权进行套期保值时 一种较常用的方法就是分 别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量 如标的资产价格 时间 标的资产价格的波动率 无风险利率等 的敏感性 然后建立适当数量 的证券头寸 组成套期保值组合 使组合中的保值工具与保值对象的价格变动 能相互抵消 也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零 这样就 能起到消除相应风险的套期保值的目的 本章将主要介绍 Delta Gamma Vega Theta Rho 五个常用希腊字母 符号风险因素量化公式 Delta 标的证券价格变化权利金变化 标的证券价格变化 Gamma 标的证券价格变化Delta 变化 标的证券价格变化 Vega 波动率变化权利金变化 波动率变化 Theta 到期时间变化权利金变化 到期时间变化 Rho 利率变化权利金变化 利率变化 本章符号释义 为期权到期时间T 为标的证券价格 为标的证券现价 为标的证券行权时价格S 0 S T S 为期权行权价格 为无风险利率Kr 为标的证券波动率 为资产组合在 t 时刻的价值 t 为标准正态分布的累积密度函数 可以查表或用计算机 如 Excel 求得 2 为标准正态分布的密度函数 N 2 2 2 x e N 第一节第一节 Delta 德尔塔 德尔塔 1 1 定义定义 Delta 衡量的是标的证券价格变化对权利金的影响 即标的证券价格变化一 个单位 权利金相应产生的变化 新权利金新权利金 原权利金原权利金 Delta 标的证券价格变化标的证券价格变化 1 2 公式公式 从理论上 Delta 准确的定义为期权价值对于标的证券价格的一阶偏导 S 期权价值 根据 Black Scholes 期权定价公式 欧式看涨期权的 Delta 公式为 1 dN 3 1 看跌期权的 Delta 公式为 1 1 dN 3 2 其中 3 3 2 1 ln 2 S KrT d T 为标准正态分布的累积密度函数 可以查表或用计算机 如 Excel 求得 显然 看涨期权与看跌期权的 Delta 只差为 1 这也正好与平价关系互相呼 案例案例3 1 有一个上证50ETF看涨期权 行权价为1 900元 期权价格为0 073 元 还有6个月到期 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 Delta为0 4255 在其他条件不变的情况下 如果上证50ETF的价格变为1 810 元 即增 加了0 010元 则期权理论价格将变化为 0 0730 4255 1 810 1 800 0 0730 4255 0 0100 077 元 3 应 1 3 性质性质 1 期权的Delta取值介于 1到1之间 也就是说标的证券价格变化的速度快于期 权价值变化的速度 2 看涨期权的Delta是正的 看跌期权的Delta是负的 对于看涨期权 标的证券价格上升使得期权价值上升 对于看跌期权 标的证券价格上升使得期权价值下降 图图 3 13 1 3 随标的价格的变化 对于看涨期权 标的价格越高 标的价格变化对期权价值的影响越大 对于看跌期权 标的价格越低 标的价格变化对期权价值的影响越大 案例案例3 2 有两个行权价为1 900的上证50ETF期权 一个看涨一个看跌 离 期权到期还有6个月 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 波动率为20 则 22 1 ln 2 ln 1 8 1 9 0 0350 20 2 0 5 0 1879 0 20 0 5 S KrT d T 1 0 1879 0 4255DeltaN dN 看涨期权 1 1 0 1879 1 0 5745DeltaN dN 看跌期权 4 也就是说越是价内的期权 标的价格变化对期权价值的影响越大 越是价外 的期权 标的价格变化对期权价值的影响越小 图图 3 23 2 4 Delta 随到期时间的变化 看涨期权 价内看涨期权 标的价格 行权价 Delta收敛于1 平价看涨期权 标的价格 行权价 Delta收敛于0 5 价外看涨期权 标的价格 行权价 Delta收敛于0 看跌期权 价内看跌期权 标的价格行权价 Delta收敛于0 5 图图 3 33 3 第二节第二节 Gamma 伽马 伽马 2 1 定义定义 在第一节里我们用Delta度量了标的证券价格变化对权利金的影响 当标的 证券价格变化不大时 这种估计是有效的 然而当标的证券价格变化较大时 仅仅使用Delta会产生较大的估计误差 此时需要引入另一个希腊字母Gamma Gamma 衡量的是标的证券价格变化对 Delta 的影响 即标的证券价格变化 一个单位 期权 Delta 相应产生的变化 新新 Delta 原原 Delta Gamma 标的证券价格变化标的证券价格变化 Gamma 同时也间接度量了标的证券价格变化对权利金的二阶影响 新权利金新权利金 原权利金原权利金 Delta 标的价格变化标的价格变化 1 2 Gamma 标的价格变化标的价格变化2 2 2 公式公式 从理论上 Gamma 的定义为期权价值对于标的证券价格的二阶偏导 2 2 Gamma S 期权价值 Gamma 衡量了 Delta 关于标的资产价格的敏感程度 当 Gamma 比较小时 案例案例3 3 有一个上证50ETF看涨期权 行权价为1 900元 期权价格为0 073 元 还有6个月到期 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 Delta为0 4255 Gamma为1 540 在其他条件不变的情况下 如果上证50ETF的价格变为1 850 元 即增 加了0 050元 则 Delta将变化为 0 4255 1 540 1 850 1 800 0 4255 1 540 0 050 5025 期权价格将变化为 2 1 0 0730 4255 0 051 540 0 050 096 2 元 6 Delta 变化缓慢 这时为了保证 Delta 中性所做的交易调整并不需要太频繁 但 是当 Gamma 的绝对值很大时 Delta 对标的资产变动就很敏感 为了保证 Delta 中性 就需要频繁的调整 根据 Black Scholes 公式 对于无股息的欧式看涨与看跌期权的 Gamma 公 式如下 3 4 TS dN 1 其中 由式 3 3 给出 为标准正态分布的密度函数 1 d N 在参数相同时 看涨期权 看跌期权的 Gamma 是相同的 2 32 3 性质性质 1 期权的Gamma是正的 标的证券价格上涨 总是使期权的Delta变大 案例案例3 4 有两个行权价为1 900元的上证50ETF期权 一个看涨一个看跌 离期权到期还有6个月 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为 3 5 上证50ETF波动率为20 则 22 1 ln 2 ln 1 8 1 9 0 0350 20 2 0 5 0 1879 0 20 0 5 S KrT d T 22 1 1 2 0 1879 2 0 1 540 21 800 0 2020 5 d N d GammaGamma ST ee ST 看涨期权看跌期权 7 图图 3 4 2 Gamma随标的价格的变化 当时 Gamma取得最大值 2 32 rT SKe 2 1 2 rT KeT 图图 3 5 3 Gamma随到期时间的变化 平价期权 标的价格等于行权价 的Gamma是单调递增至无穷大的 非平 价期权的Gamma先变大后变小 随着接近到期收敛至0 8 图图 3 6 4 Gamma随波动率的变化 波动率和Gamma最大值呈反比 波动率增加将使行权价附近的Gamma减 小 远离行权价的Gamma增加 图图 3 7 第三节第三节Vega 维嘉维嘉 3 1 定义定义 Vega衡量的是标的证券波动率变化对权利金的影响 即波动率变化一个单 位 权利金应该产生的变化 新权利金新权利金 原权利金原权利金 Vega 波动率变化波动率变化 3 2 公式公式 案例案例3 5 有一个上证50ETF看涨期权 行权价为1 900元 期权价格为0 073 元 还有6个月到期 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 Vega为0 4989 在其他条件不变的情况下 如果上证50ETF的波动率变为21 即增加了 1 则期权理论价格将变化为 0 0730 4989 0 21 0 20 0 0730 4989 0 010 078 元 9 从理论上 Vega准确的定义为期权价值对于标的证券波动率的一阶偏导 Vega 期权价值 根据Black Scholes理论进行定价 则 3 5 1 VegaS TN d 其中 由式 3 3 给出 为正态分布的密度函数 1 d N 在参数相同时 看涨期权 看跌期权的 Vega 是相同的 3 3 性质性质 1 期权的 Vega 是正的 波动率增加将使得期权价值更高 波动率减少将降低期权的价值 案例案例3 6 有两个行权价为1 900元的上证50ETF期权 一个看涨一个看跌 离 期权到期还有6个月 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 则 22 1 ln 2 ln 1 8 1 9 0 0350 20 2 0 5 0 1879 0 20 0 5 S KrT d T 22 1 1 2 0 1879 2 1 8 0 5 0 4989 22 d VegaVegaS TN d S Tee 看涨期权看跌期权 10 图图 3 8 2 Vega 随标的价格的变化 当时 Vega 取得最大值 2 2 rT SKe 2 rT KeT 在行权价附近 波动率对期权价值的影响最大 图图 3 9 3 Vega 随到期时间的变化 Vega 随期权到期变小 期权越接近到期 波动率对期权价值的影响越小 11 图图 3 10 第四节第四节 Theta 西塔 西塔 4 1 定义定义 Theta 衡量的是到期时间变化对权利金的影响 即到期时间过去一个单位 权利金应该产生的变化 新权利金新权利金 原权利金原权利金 Theta 流逝的时间流逝的时间 4 2 公式公式 从理论上 Theta 的定义为期权价值对于到期时间变化的一阶偏导 T Theta 期权价值 根据 Black Sholes 理论进行定价 则 案例案例3 7 有一个上证50ETF看涨期权 行权价为1 900元 期权价格为0 073 元 还有6个月到期 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 Theta为 0 1240 在其他条件不变的情况下 如果离行权日只有5个半月了 即流逝了半个 月的时间 0 0833 则期权理论价格将变化为 0 0730 1240 0 0833 0 0730 0100 063 元 12 1 2 2 rT SN d ThetarKeN d T 看涨期权 3 6 1 2 2 rT SN d ThetarKeNd T 看跌期权 3 7 其中 为标准正态 2 1 ln 2 S KrT d T 2 2 ln 2 S KrT d T N 分布的累积密度函数 为标准正态分布的密度函数 N 4 3 性质性质 1 看涨期权的 Theta 是负的 看跌期权的 Theta 一般为负的 但在价外严重的 情况下可能为正 因此通常情况下 越接近到期的期权 Theta 值越小 案例案例3 8 有两个行权价为1 900元的上证50ETF期权 一个看涨一个看跌 离 期权到期还有6个月 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 则 22 1 ln 2 ln 1 8 1 9 0 0350 20 2 0 5 0 1879 0 20 0 5 S KrT d T 22 2 ln 2 ln 1 8 1 9 0 035 0 20 2 0 5 0 3293 0 20 0 5 S KrT d T 0 035 0 5 1 8 0 1879 0 2 0 035 1 9 0 3293 2 0 5 0 1240 N ThetaeN 看涨期权 0 035 0 5 1 8 0 1879 0 2 0 035 1 9 0 3293 2 0 5 0 0587 N ThetaeN 看跌期权 13 图图 3 11 2 随标的价格的变化 在行权价附近 Theta的绝对值最大 也就是说在行权价附近 到期时间 变化对期权价值的影响最大 图图 3 12 3 Theta随到期时间的变化 平价期权 标的价格等于行权价 的Theta是单调递减至负无穷大 非平价 期权的Theta将先变小后变大 随着接近到期收敛至0 因此随着期权接近到 14 期 平价期权受到的影响越来越大 而非平价期权受到的影响越来越小 图图 3 13 第五节第五节 Rho 柔 柔 5 1 定义定义 Rho衡量的是利率变化对权利金的影响 即利率变化一个单位 权利金 相应产生的变化 新权利金新权利金 原权利金原权利金 Rho 利率变化利率变化 5 2 公式公式 从理论上 Rho 的定义为期权价值对于利率的一阶偏导 案例案例3 9 有一个上证50ETF看涨期权 行权价为1 900元 期权价格为0 073 元 还有6个月到期 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 Rho为0 3463 在其他条件不变的情况下 如果利率变为4 00 即利率增加了0 50 则期权理论价格将变化为 0 0730 3463 0 005 0 0730 001730 075 元 15 Rho r 期权价值 根据 Black Sholes 理论进行定价 则 3 8 3 9 2 rT RhoKTeNd 看跌期权 其中 为标准正态分布的累积密度函数 2 2 ln 2 S KrT d T N 5 3 性质性质 1 看涨期权的 Rho 是正的 看跌期权的 Rho 是负的 对于看涨期权 利 率上升使得期权价值上升 对于看跌期权 利率上升使得期权价值下降 2 rT hoKTeN d 看涨期权 案例案例3 10 有两个行权价为1 900元的上证50ETF期权 一个看涨一个看跌 离期权到期还有6个月 此时上证50ETF价格为1 800元 无风险利率为 3 5 上证50ETF波动率为20 则 22 2 ln 2 ln 1 8 1 9 0 035 0 20 2 0 5 0 3293 0 20 0 5 S KrT d T 0 035 0 5 2 1 9 0 5 0 3293 0 3463 rT hoKTeN deN 看涨期权 0 035 0 5 2 1 9 0 5 0 3293 0 5872 rT hoKTeNdeN 看跌期权 16 图图 3 14 2 随标的价格的变化 Rho 随标的证券价格单调递增 对于看涨期权 标 的价格越高 利率对期权价值的影响越大 对于看跌期权 标的价格越低 利 率对期权价值的影响越大 越是价内 标的价格 行权价 的期权 利率变化对 期权价值的影响越大 越是价外 标的价格 行权价 的期权 利率变化对期权 价值的影响越小 图图 3 15 3 Rho 随时间的变化 Rho 随着期权到期 单调收敛到 0 也就是说 期 权越接近到期 利率变化对期权价值的影响越小 17 图图 3 16 第六节第六节 希腊字母应用希腊字母应用 6 1 期权的希腊字母期权的希腊字母 前文中分别介绍了五个最常用的希腊字母 Delta Gamma Vega Theta Rho 影响因素看涨期权多头看跌期权多头买入标的证券 Delta标的证券价格 1 N d 1 1N d 1 Gamma标的证券价格 1 N d ST 1 N d ST 0 Vega波动率 1 S TN d 1 S TN d0 Theta到期时间 1 2 2 rT SN d T rKeN d 1 2 2 rT SN d T rKeNd 0 Rho利率 2 rT KTeN d 2 rT KTeNd 0 由于期权空头的价值为期权多头的负数 因此融券 期权空头的希腊字母 也为股票 期权多头的负数 影响因素看涨期权空头看跌期权空头融入标的证券 Delta标的证券价格 1 N d 1 1N d 1 Gamma标的证券价格 1 N d ST 1 N d ST 0 Vega波动率 1 S TN d 1 S TN d 0 Theta到期时间 1 2 2 rT SN d T rKeN d 1 2 2 rT SN d T rKeNd 0 Rho利率 2 rT KTeN d 2 rT KTeNd 0 18 6 2 资产组合的希腊字母资产组合的希腊字母 一个同标的资产组合的希腊字母为其各个部分的希腊字母之和 当一个资 产组合的希腊字母为0 组合将不受相应市场因素的影响 损益是被锁定的 可以认为组合在这个因素上是无风险的 案例案例3 11 上证50ETF现价为1 800元 行权价为1 900元 六个月后到期的看 涨期权 权利金为0 073元 行权价格为1 900元 六个月后到期的看跌期 权 权利金为0 140元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 构建资产组合A 买入一手看跌期权 卖空一手看涨期权 买入10000股 上证50ETF 则组合A的希腊字母如下 组合组合A一手看涨期权一手看涨期权 一手看跌期权一手看跌期权10000股股ETF Delta0 4255 574510000 Gamma0Vega0 498949890 Theta6531240 5870 Rho 9335 3463 58720 组合A的成本由看涨期权多头 看跌期权空头 ETF构成 成本 10000 0 073 0 140 1 8 18670元 组合A的到期收益由看涨期权多头 看跌期权空头 ETF构成 10000 max 0 max 0 1000019000 TTT SKKSS K 到期收益 元 组合A的价值为到期收益现值 3 5 0 5 100001900018670 rT Kee 价值元 和上面计算的希腊字母结果一致 组合A的价值不受50ETF的价格的影 响 也不受波动率的影响 单受利率和到期时间的影响 利率上升 组合A的 价值将下降 到期时间越近 组合A的价值越高 19 6 3 风险管理风险管理 五个希腊字母分别度量了标的证券的价格 标的证券波动率 期权到期 时间 市场利率对期权价格的影响 是管理期权风险的主要指标 一个资产组合在 时刻的价值 可以用下面这个公式来近似 1 t 1010101010 2 10 1 2 tttttttttt SSSSvttrr 其中主要需要考虑的是Delta Gamma及Vega三个字母 只要管理好这些 希腊字母就能有效的控制资产组合的风险 在目前的国内市场 缺乏合适的 工 具来对冲Gamma和Vega 但可以利用标的现货来管理Delta 案例案例3 12 上证50ETF现价为1 800元 行权价为1 900元 六个月后到期的看 跌期权 权利金为0 140元 无风险利率为3 5 上证50ETF波动率为20 现在投资者手中持有一手看跌期权 则可计算期权的Delta为 5745 如果投资者希望能够避免资产受上证50ETF价格变化的影响 则可以通 过买入50ETF现货来中和Delta 构建投资组合B 一手看跌期权 买入5700股上证50ETF 股票一手为 100股 则组合B的希腊字母如下 组合组合B一手看跌期权一手看跌期权5700股股ETF Delta 45 57455700 GammVega498949890 Theta 587 5870 Rho 5872 58720 组合B的Delta为 45 组合B的成本由看跌期权多头 ETF构成 成本 140 5700 1 800 11660元 20 案例中提到的对冲Delta的方法成为Delta中性策略 是最常用的对冲资产 组合风险的方法 模拟上证50ETF价格变化时 组合价值的变化 上证上证50ETF价格变化价格变化组合组合B价值变化价值变化不对冲不对冲Delta的情况的情况 0 200 291 850 0 100 75 490 0 100 83 650 0 200 300 1440 对冲了Delta后 组合B受标的价格影响大大减少 21 本章问题 本章问题 期权行情中能看到希腊字母吗 能在交易软件上看到吗 答 由于希腊字母是对于期权价格变化的一种估计 没有一定的参数和计算 公式 交易所不会提供相关数据 至于在交易软件上能否看到 取决于投资者使用的软件 某些软件可能 采用某种模型来计算期权的希腊字母 为什么用书中的公式计算希腊字母 发现效果不好 答 首先 希腊字母是对期权价值变化的一个度量 由于价格是有市场多空 双方的供需决定的 不一定准确反映了期权价值的变化 其二 文中使用的 是 Black Scholes模型 此模型对市场有诸多修正 如无交易成本 股价符合 对数正态分布等 即使 Black Scholes公式 也不能完全准确刻画期权的价 值 因此利用文中公式计算的希腊字母 可能与实际市场中的期权价格敏感 度存在差距 希腊字母是不是绝对值越小越好 答 希腊字母可以理解为期权在某一个市场因素下的风险 诚然希腊字母绝 对值越小 投资者承担的相应风险越小 但是可能的收益也越小 收益总是 伴随着风险 通过希腊字母 投资者可以把各个方面的风险进行分解 然后通过资产 组合管理希腊字母 承受愿意承担的风险部分 对冲不愿承担的风险部分 例如投资者判断未来股价将发生较大的变化 但不知道股价是涨或是 跌 则投资者可以把资产组合的Delta和Gamma调整至0 而把Vega调高 则 投资者把自己对市场的判断体现在了投资组合上 同时回避了其他可能的风 险 22 希腊字母的正负号 绝对值的大小分别有什么含义 答 希腊字母的正负号意味着对应风险因素与期权价值变化是正相关或是负 相关 如正的Delta意味着标的价格上升会导致期权价格上升 负的Delta意味 着标的价格上升会导致期权价格下降 希腊字母的绝对值意味着期权价值对于相应风险因素的敏感度 如Delta 是1 则股价增加1元 期权价值也增加1元 如果Delta是 0 5 则股价增加1 元 期权价格减少0 5元 一个欧式看涨期权Delta为0 3意味着什么 如果一个投资者做空了100 份看涨期权 假设一份期权对应一份股票 为了保持Delta中性 他需要买 多少股票 答 Delta为0 3 意味着股票价格微小变动 会导致期权价格变动相应的0 3 倍 比如说 当前股价10元 股价微涨千分之一 即股价上涨了1分钱 则这 时对应的期权上涨0 3分钱 同样如果股价下跌1分钱 期权下跌0 3分钱 如 果投资者做空了100份期权 那他的Delta为 0 3乘以100 及 30 由于标的股 票的Delta为1 这时他需要买入30份股票 才能保证组合的Delta为0 假如一个投资者做空了1份欧式看涨期权 他能用股票来对冲掉 Gamma风险吗 如果不能 可以采用什么办法来使Gamma中性 答 投资者不能用股票来对冲Gamma 因为股票的Gamma总是0 关于对冲 Gamma 最简单的办法 他可以买入相同执行价格 相同到期日 相同标的 资产的看跌期权来对冲Gamma风险 当然也可以用相同标的资产 不同其他 条款 如执行价格不同或者到期日不同 的期权 但是必须要计算出两个期 权的Gamma 假设原来看涨期权的Gamma等于G0 现在用来对冲的期权的 Gamma为G1 则为了是Gamma中性 他需要买入G0 G1份期权来保证Gamma 中性 为什么期权的希腊值是重要的 23 答 期权的希腊值刻画了期权价值与市场参数的敏感程度 期权投资者通过 希腊值可以了解当市场参数变化时 期权价格的变化方向和程度 对于进行 对冲交易的投资者 可以通过希腊值确定用于对冲的期权数量 并且动态的 管理对冲组合的风险 为什么当标的资产价格在行权价附近时看涨期权Delta大约是0 5 答 看涨期权Delta的数学公式是 若直观地解释 此为最后标的资产价 1 dN 格在行权价之上的概率 如果标的资产价格在行权价附近 如果假设标的资 产价格随机变动 粗略的看最后有一半的概率落在行权价之上 所以其Delta 大约是0 5 为什么当标的资产价格在行权价附近时期权Delta变化最快 即Gamma 最大 答 由上述Delta的概率解释 当标的资产价格在行权价附近时 有一半左右 的概率最后价格落在行权价之上 但是当资产价格大于行权价时 由于标的 资产价格的随机变动的假设 最后落在行权价之上的概率会显著大于0 5 同 理当资产价格小于行权价时 最后落在行权价之上的概率会显著小于0 5 因 此当标的资产价格与行权价很接近时 此概率变化最为敏感 所以Delta的变 化最快 为何需要研究Delta的变化速率Gamma 答 对于进行Delta对冲的投资者或套利者 Gamma衡量了对冲的误差 每次 进行动态对冲 买入 卖空Delta份标的资产时 一般需要持有一小段时间到下 一次动态调整1 这期间Delta可能变化 变化速率是Gamma 因此Gamma的大 小就刻画了这期间对冲的误差 因此整个对冲过程的误差就是把每一小段的 对冲误差合在一起 也是受Gamma值所影响的 对于平价期权为何Gamma越到期就越大 而价外和价内期权就无此现 1 由于交易