平行四边形讲义新打印版

1 平边四边形知识点平边四边形知识点 一 知识框架一 知识框架 二 知识概念二 知识概念 平行四边的定义 两线对边分别平行的四边形叫做平行四边的定义 两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点 平行四边形不相邻的两顶点 连成的线段叫做它的对角线 连成的线段叫做它的对角线 平行四边形的性质 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的判别方法 平行四边形的判别方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 三角形的中位线平行于三角形的第三边 且等于第三边的一半 矩形的定义 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形是特殊的平行四边形 矩形的性质 具有平行四边形的性质 且对角线相等 四个角都是直角 矩形是轴对称图形 有两条对称轴 矩形的判定 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 根据定义 对角线相等的平行四边形是矩形 四个角都相等的四边形是矩形 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 菱形的定义 菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 具有平行四边形的性质 且四条边都相等 两条对角线互相垂直平分 每一条对角 线平分一组对角 菱形是轴对称图形 每条对角线所在的直线都是对称轴 菱形的判别方法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 S 菱形 1 2 ab a b 为两条对角线 或底 高 正方形的定义 正方形的定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形的性质 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形是轴对称图形 有 四条对称轴 正方形常用的判定 有一个内角是直角的菱形是正方形 邻边相等的矩形是正方形 2 对角线互相垂直的矩形 对角线相等的菱形 梯形的定义 一组对边平行 另一组对边不平行的四边形叫做梯形 直角梯形的定义 有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义 两腰相等的梯形 等腰梯形的性质 等腰梯形同一底边上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定定理 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 梯形常用辅助线 梯形常用辅助线 3 平行四边形的判定及性质巩固练习题平行四边形的判定及性质巩固练习题 1 如图 已知在四边形 ABCD 中 AD BC D DCE 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 2 如图 在 ABCD 中 E F 分别是 BC AD 上的点 且 AE CF AE 与 CF 相等吗 说明理由 3 有一个四边形的四边长分别是 a b c d 且有 a2 b2 c2 d2 2 ac bd 求证 此四边形是平行四边 形 4 ABCD 中 AC BD 交于点 O AE CF 求证 BE DF 5 变式练习 2 ABCD 中 AC BD 交于点 O AE CF BM DN 求证 四边形 MFNE 是平行四边形 6 变式练习 3 如图 平行四边形 ABCD 中 E F 是 AC 上两点 且 AE CF 又点 M N 分别在 AB CD 上 且 MF EN MN 交 AC 于 O 求证 EF 与 MN 互相平分 F E O D A CB N M F E O D A CB 4 7 变式练习 4 如图所示 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O EF 过点 O 交 AD 于 E 交 BC 于 F G 是 OA 的中点 H 是 OC 的中点 四边形 EGFH 是平行四边形 说明理由 8 变式练习 ABCD 中 DE 平分 ADC 交 BC 的延长线于 E BF 平 分 ABC 交 AB 的延长线于 F 求证 四边形 DEBF 是平行四边形 9 变式练习 1 如图所示 平行四边形 ABCD 中 M N 分别为 AD BC 的中点 连结 AN DN BM CM 且 AN BM 交于点 P CM DN 交于点 Q 四边形 MGNP 是平行四边形吗 为什么 10 变式练习 2 如图 E F 分别为口ABCD 的边 AD BC 的中点 求证 1 BE DF 2 O 为 GH 的中点 11 ABCD 中 E 在 AB 上 F 在 CD 上 且 AE CF M 为 DE 中点 N 为 FB 中点 求证 FM NE ME NF F E CD B A A B C F D G H E O N M E F C D BA 5 12 已知如图 在ABCD 中 延长 AB 到 E 延长 CD 到 F 使 BE DF 则线段 AC 与 EF 是否互相平分 说明理由 13 如图所示 已知点 D 是 ABC 的边 AB 上的中点 点 E 是 AC 上的一点 DF BE EF AB 证明 AE DF 互相平分 14 如图 已知 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线 BME 是 AMD 绕点 M 按顺时针方向旋转 180 得到的 连 结 AE 求证 DE AC 15 如图 在 ABCD 中 DAB 60 点 E F 分别在 CD AB 的延长线上 且 AE AD CF CB 求证 四边形 AFCE 是平行四边形 16 如图所示 某城市部分街道示意图 AF BC EC BC BA DE BD AE EF FC 甲 乙两人 同时从 B 站乘车到 F 站 甲乘 1 路车 路线是 B A E F 乙乘 2 路 路线是 B D C F 假设两车 速度相同 途中耽误时间相同 那么谁先到达 F 站 请说明理由 F D BC A E 6 A DF C B E 17 在平行四边形 ABCD 中 BN DM BE DF 求证 四边形 MENF 是平行四边形 18 如图 在ABCD 中 AB 2AD 延长 AD 到 F 使 DF AD 再延长 DA 到 E 使 AE AD 求证 BF CE 19 如图 19 1 30 分别以 ABC 的三边为边长 在 BC 的同侧作等边三角形 ABD 等边三角形 BCE 等边三角形 ACF 连接 DE EF 求证 四边形 ADEF 是平行四边形 20 如图 3 在中 是边的中点 分别是及其延长线上的点 连ABC DBCFE ADCFBE 结 试判断四边形是何种特殊四边形 并说明理由 BFCE BECF 21 如图 2 平行四边形 ABCD 中 E G F H 分别是四条边上的点 且 AE CF BG DH 试说明 EF 与 GH 相互平分 图 3 7 矩形拓展题矩形拓展题 1 如图 四边形 ABCD 的对角线互相平分 要使它成为矩形 那么需要添加的条件是 A AB CD B AD BC C AB BC D AC BD A B O C D 第 1 题 2 如图 矩形 ABCD AB 12cm AD 16cm 现将其按下列步骤折叠 1 将 BAD 对折 使 AB 落在 AD 上 得到折痕 AF 如图 2 将 AFB 沿 BF 折叠 AF 与 DC 交点 G 如图 则所得梯形 BDGF 的周长等于 A 12 2 B 24 2 C 24 4 D 12 42222 3 如图 边长为 m 3 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后 剩余部分又剪拼成一个矩形 不重 叠无缝隙 若拼成的矩形一边长为 3 则另一边长是 A 2m 3 B 2m 6 C m 3D m 6 4 如图 矩形 ABCD 中 AB AD AB a AN 平分 DAB DM AN 于 点 M CN AN 于点 N 则 DM CN 的值为 用含 a 的代数式表示 A a B C D a 5 4 a 2 2 a 2 3 5 如图 已知矩形纸片ABCD 点E是AB的中点 点G是BC上的一点 60BEG 现沿直线 EG将纸片折叠 使点B落在纸片上的点H处 连接AH 则与BEG 相等的角的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 6 矩形纸片 ABCD 中 AB 3 AD 4 将纸片折叠 使点 B 落在边 CD 上的 B 处 折痕为 AE 在折痕 AE 上存在一点 P 到边 CD 的距离与到点 B 的距离相等 则此相等距离为 第 3 题 m 3m 3 a N M C D AB 第 4 题 8 A BC F E A 第 11 题图 BD 7 小明尝试着将矩形纸片 ABCD 如图 AD CD 沿过 A 点的直线折叠 使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处 折痕为 AE 如图 再沿过 D 点的直线折叠 使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处 E 点落在 AE 边 上的点 M 处 折痕为 DG 如图 如果第二次折叠后 M 点正好在 NDG 的平分线上 那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 8 如右上图 将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠 使 D 点与 BC 边的中点 D 重合 若 BC 8 CD 6 则 CF 9 如图 2 在矩形ABCD中 AD 4 DC 3 将 ADC按逆时针方向绕点A旋转到 AEF 点A B E在同 一直线上 连结CF 则CF 10 如图矩形纸片 ABCD AB 5cm BC 10cm CD 上有一点 E ED 2cm AD 上有一点 P PD 3cm 过 P 作 PF AD 交 BC 于 F 将纸片折叠 使 P 点与 E 点重合 折痕与 PF 交于 Q 点 则 PQ 的长是 cm 11 把一张矩形纸片 矩形ABCD 按如图方式折叠 使顶点B和点D重合 折痕为EF 若AB 3 cm BC 5 cm 则重叠部分 DEF的面积是 cm2 12 如图所示 已知平行四边形 ABCD AC BD 相交于点 O P 是平行四边形 ABCD 外一点 且 APC BPD 90 求证 平行四边形 ABCD 是矩形 13 如图自矩形 ABCD 的顶点 C 作 CE BD E 为垂足 延长 CE 至 F 使 CF BD 连接 AF 求 BAF 的大小 A BC DA B C D E F A BC D E G M N 9 菱形的性质及判定巩固练习题菱形的性质及判定巩固练习题 1 下列四边形中不一定为菱形的是 A 对角线相等的平行四边形 B 每条对角线平分一组对角的四边形 C 对角线互相垂直的平行四边形 D 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误的是 平行四边形的对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 矩形的对角线相等 对角线相等的四边形是矩形 3 如图 下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为 ACBD 90BAD ABBC ACBD A B C D 4 菱形的周长为 32cm 一个内角的度数是 60 则两条对角线的长分别是 A 8cm 和 4cm B 4cm 和 8cm C 8cm 和 8cm D 4cm 和 4cm3333 5 如图 菱形 ABCD 中 B 60 AB 2 E F 分别是 BC CD 的中点 连接 AE EF AF 则 AEF 的周长为 A B C D 3233343 6 如右图 四边形是菱形 过点作的平行线交ABCDABD 的延长线于点 则下列式子不成立的是 CDE A B C D DEDA CEBD 90 EACEABC 2 7 如右图 在菱形中 对角线相交于点为的中点 且 ABCDACBD OE ABOEa 则菱形的周长为 ABCD A B C D 16a12a8a4a 8 如图 菱形中 垂直平分 垂足为 那么 菱形ABCDAEBCE4cmAB 的面积是 对角线的长是 ABCDBD 9 已知菱形的面积是 对角线cm 则菱形的边长是 ABCD 2 12cm4AC cm 10 如图 矩形 ABCD 中 AB 2 BC 3 对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD BC 于点 E F 连接 CE 则 CE 的长 A B C D F A D E B C A BC D E O D C B O A E A D C E B F AD O E BC 10 11 如图所示 两个全等菱形的边长为 1 厘米 一只蚂蚁由点开始按 的顺序沿菱形的AABCDEFCGA 边循环运动 行走 2008 厘米后停下 则这只蚂蚁停在 点 12 如图 菱形中 是对角线的交点 ABCDOACBD 5cmAB 则 cm 4cmAO BD 13 如图所示 已知 ABCD AC BD 相交于点 O 添加一个条件使平行四边形为菱形 添加的条件为 只写出符合要求的一个即可 13 题图 14 题图 12 题图 14 如图所示 D E F 分别是 ABC 的边 BC CA AB 上的点 且 DE AB DF CA 要使四边形 AFDE 是菱形 则要增加的条件是 只写出符合要求的一个即可 15 菱形 ABCD 的周长为 48cm BAD ABC 1 2 则 BD 菱形的面积是 16 在菱形 ABCD 中 AB 4 AB 边上的高 DE 垂直平分边 AB 则 BD AC 17 如图 四边形 ABCD 是菱形 DE AB 交 BA 的延长线于 E DF BC 交 BC 的延长线于 F 请你猜 想 DE 与 DF 的大小有什么关系 并证明你的猜想 18 已知 如图 AD 平分 BAC DE AC 交 AB 于 E DF AB 交 AC 于 F 求证 四边形 AEDF 是菱形 19 如图 四边形中 平分 交于 ABCDABCD ACBAD CEAD ABE 1 求证 四边形是菱形 AECD 2 若点是的中点 试判断的形状 并说明理由 EABABC 3 2 1 A B C D E F 11 20 如图 8 在平行四边形 ABCD 中 分别为边的中点 连接 EF ABCD DEBFBD 1 求证 ADECBF 2 若 则四边形是什么特殊四边形 请证明你的结论 ADBD BFDE A B CD E F 21 如图 在 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D CE 平分 ACB 交 AD 于 G 交 AB 于 E EF BC 于 F 四边形 AEFG 是菱形吗 22 如图 三角形 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 E 是 AC 上一点 AE AB EF BC 交 AD 于 F BE 与 AD 交与 G 求证 四边形 BDEF 是菱形 G BC A D E F A B C EF D 12 23 如图 在三角形 ABC 中 A 90 B 的平分线交 AC 于 D 交高 AH 于 E DF BC F 为垂足 求证 四边形 AEFD 为菱形 24 如图 菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 过点 A 作 AH BC 交 BD 于 E 垂足为 H 已知 CH 4 AH 8 1 求菱形的周长 2 求 OE 的长度 25 如图 在 Rt ABC 中 B 90 BC 5 C 30 点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位3 长的速度向点 A 匀速运动 同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 当 其中一个点到达终点时 另一个点也随之停止运动 设点 D E 运动的时间是 t 秒 t 0 过点 D 作 DF BC 于点 F 连接 DE EF 1 求证 AE DF 2 四边形 AEFD 能够成为菱形吗 如果能 求出相应的 t 值 如果不能 说明理由 3 当 t 为何值时 DEF 为直角三角形 请说明理由 A H D E 13 A B D C F E A B D C M F E A B DC E F B C ADP E F B C A D E P C B D D A C B 正方形练习题正方形练习题 1 正方形 ABCD 的边长为 1 它的两条对角线相交于点 O 则 ABO 的周长为 面积为 2 如图 E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点 EC AC AE 交 CD 于 F 则 AFC F A B D C E 2 题图 3 题图 6 题图 3 如图 在正方形 ABCD 中 AB 8 AE 2 EF 点 E 在 AB 上 点 F 在 AD 上 则 CF 2 5 4 在正方形 ABCD 中 E 是 BC 上一点 AE 把正方形分成两部分 且 AB 6 1 5 ABEAECD SS 梯形 则 AE 5 若正方形面积缩小为原来的 则它的边长是原来边长的 1 3 6 如图 ABCD 是正方形 M 是 BC 中点 将正方形折起 使点 A 与点 M 重合 设折痕为 EF 若正方形 面积为 64 那么 AEM 的面积是 7 如图 以正方形 ABCD 的对角线 BD 为边作正三角形 BDE 过 E 作 EF AD 交 DA 的延长线于 F 则 AEF 若正三角形 BDE 的周长是 正方形面积为 12 2 7 题图 8 题图 10 题图 8 如图 在正方形 ABCD 中 P 是 AD 上任一点 PE AC PF BD 点 E F 分别是垂足 BD AC 14 则 PE PF 9 正方形 ABCD 边长为 8 M 在 DC 上 且 DM 2 N 是 AC 上的一动点 则 DN MN 的最小值为 10 如图 已知边长为 1 的正方形 ABCD E 为 AD 中点 P 为 CE 的中点 则 BPD S 11 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 中点 DE AB DF AC 垂足分别为 E F 只添加 一个条 件 使四边形 AEDF 为正方形 写出一个条件即可 12 如图 将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60 至正方形 14 N B C AD M B C A D G E F A B DC P Q 则旋转后两个正方形重叠部分的面积是 ABC D 13 如图 在正方形 ABCD 中 M 为 BC 上任一点 N 是 CD 的中点 且 AM DC CM 求证 AN 平分 DAM 14 已知正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 E 是 AB 延长线上一点 MN DM 且交 CBE 的平分线于 N 求证 MD MN 若 M 是 AB 上任意一点 MD MN 还成立吗 若成立 请证明之 若不成立 请说明理由 15 如图 在正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上一点 过点 E 作 AE 的垂线分别交 CD AB 的延长线于点 F G 求证 BE BG CF 16 如图 在正方形 ABCD 中 PAQ 是正三角形 设 AB 10 求 PB 的长 15 A B DC F E 17 如图 在正方形 ABCD 中 F 是对角线 AC 上任一点 BF EF 求证 BF EF 18 如图 正方形 ABCD 边长为 1 E 是 CD 的中点 点 F 在 BC 边上移动 试判断当点 F 移到什么位置时 AE 是 DAF 的平分线 B C A D E F 19 如图 在正方形 ABCD 中 E 是 DB 延长线上的一点 且 ECB 15 求证 EC BD G A B D C E 16 M F E O D CB A M F E O D C B A 四边形综合培优题四边形综合培优题 1 以 ABC 的边 AB AC BC 为边作等边 ABD 等边 ACE 和等边 BCF 1 求证四边形 ADFE 是平行四边形 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADFE 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 平行四边形 ADFE 不存在 4 当 ABC 分别满足什么条件时 平行四边形是菱形 正方形 2 如图 正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E 是 AC 上的一点 连接 EB 过点 A 作 AM BE 垂足 M AM 交 BD 于点 F 求证 OE OF 如图 2 所示 若点 E 在 AC 的延长线上 AM EB 的延长线于点 M 交 DB 的延长 线于点 F 其他条件都不变 则结论 OE OF 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果 不成立 请说明理由 17 3 如图 在梯形 ABCD 中 A B 90 AB CD M N 分别是 AB CD 的中点 求证 MN 1 2 ABCD 4 已知 如图 在 ABC 中 AB AC AD BC 垂足为点 D AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线 CE AN 垂足为点 E 1 求证 四边形 ADCE 为矩形 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADCE 是一个正方形 并给出证明 5 在 ABCD中 BAD的平分线交直线BC于点E 交直线DC于点F 1 在图 1 中证明CE CF 2 若 ABC 90 G是EF的中点 如图 2 求 BDG的度数 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连结DB DG 如图 3 求 BDG的度数 图 3 AD B C E F G 图 2 A B C F D E G 图 1 A B C F D E A BCD M N E 18 6 已知正方形ABCD 点P是对角线AC所在直线上的动点 点E在DC边所在直线上 且始终保持 PE PD 1 如图 1 当点P在对角线AC上时 观察 猜想PE与PB有怎样的关 并证明你的结论 2 如图 2 当点P运动到CA的延长线上时 1 中猜想的结论是否成立 如果成立 请给出证明 如 果不成立 请说明理由 3 如图 3 当点P运动到CA的反向延长线上时 请你利用图 3 画出满足条件的图形 并判断此时PE与PB有怎样的关系 并证明你的结论 7 如图 梯形ABCD中 AD BC DCB 45 CD 2 BD CD 过点C作CE AB于E 交对角线BD于 F 点G为BC中点 连结EG AF 1 求EG的长 2 求证 CF AB AF 用两种方法证明 AB P DC E 图 1 AB P D C 图 3 A B P D C E 图 2 A BC D G E F 19 8 以四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形 直角顶点分别为 E F G H 顺次连结这四个点 得四边形 EFGH 1 如图 1 当四边形 ABCD 为正方形时 我们发现四边形 EFGH 是正方形 如图 2 当四边形 ABCD 为矩形时 请判断 四边形 EFGH 的形状并说明理由 2 如图 3 当四边形 ABCD 为一般平行四边形时 设 ADC 0 90 试用含的代数式表示 HAE 求证 HE HG 四边形 EFGH 是什么四边形 并说明理由 9 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 AB DC 边的中点 AB 4 B 60 1 求点 E 到 BC 边的距离 2 点 P 为线段 EF 上的一个动点 过 P 作 PM BC 垂足为 M 过点 M 作 MN AB 交线段 AD 于点 N 连接 PN 探究 当点 P 在线段 EF 上运动时 PMN 的形状是否发生变化 若不变 请求出 PMN 的面积和周长 若变化 请说明理由 A BC D G E F 20 D A C B 备用图 D A C B 第 10 题 10 将一副三角尺如图拼接 含 30 角的三角尺 ABC 的长直角边与含 45 角的三角尺 ACD 的 斜边恰好重合 已知AB 2 P是AC上的一个动点 3 1 当点P运动到 ABC的平分线上时 连接DP 求DP的长 2 当点P在运动过程中出现PD BC时 求此时