必修二立体几何单元测试题(详细答案)

立体几何单元测试立体几何单元测试 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 下面四个命题 分别在两个平面内的两直线是异面直线 若两个平面平行 则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 则这两个平面平行 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 则这两个平面平行 其中正确的命题是 A B C D 答案 B 2 棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是 A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 不相交 解析 由棱台的定义知 各侧棱的延长线交于一点 所以选 B 答案 B 3 一直线 l 与其外三点 A B C 可确定的平面个数是 A 1 个 B 3 个 C 1 个或 3 个 D 1 个或 3 个或 4 个 解析 当 A B C 共线且与 l 平行或相交时 确定一个平面 当 A B C 共线且与 l 异面时 可确定 3 个平面 当 A B C 三点不共线时 可确定 4 个平面 答案 D 4 若三个平面两两相交 有三条交线 则下列命题中正确的是 A 三条交线为异面直线 B 三条交线两两平行 C 三条交线交于一点 D 三条交线两两平行或交于一点 答案 D 5 如图 在 ABC 中 BAC 90 PA 面 ABC AB AC D 是 BC 的中点 则图 中直角三角形的个数是 A 5 B 8 C 10 D 6 解析 这些直角三角形是 PAB PAD PAC BAC BAD CAD PBD PCD 共 8 个 答案 B 6 下列命题正确的有 若 ABC 在平面 外 它的三条边所在直线分别交 于 P Q R 则 P Q R 三 点共线 若三条平行线 a b c 都与直线 l 相交 则这四条直线共面 三条直线两两相交 则这三条直线共面 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析 易知 与 正确 不正确 答案 C 7 若平面 平面 l 且点 P P l 则下列命题中的假命题是 A 过点 P 且垂直于 的直线平行于 B 过点 P 且垂直于 l 的直线在 内 C 过点 P 且垂直于 的直线在 内 D 过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 答案 B 8 如右图 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是底面 ABCD 的中心 M N 分别是棱 DD1 D1C1的中点 则直线 OM A 与 AC MN 均垂直相交 B 与 AC 垂直 与 MN 不垂直 C 与 MN 垂直 与 AC 不垂直 D 与 AC MN 均不垂直 解析 易证 AC 面 BB1D1D OM 面 BB1D1D AC OM 计算得 OM2 MN2 ON2 5 OM MN 答案 A 9 2010 江西高考 如图 M 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 DD1的中点 给出下列 四个命题 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB B1C1都相交 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB B1C1都垂直 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB B1C1都相交 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB B1C1都平行 其中真命题是 A B C D 解析 将过点 M 的平面 CDD1C1绕直线 DD1旋转任意非零的角度 所得平面与直线 AB B1C1都相交 故 错误 排除 A B D 答案 C 10 已知平面 外不共线的三点 A B C 到 的距离相等 则正确的结论是 A 平面 ABC 必平行于 B 平面 ABC 必不垂直于 C 平面 ABC 必与 相交 D 存在 ABC 的一条中位线平行于 或在 内 解析 排除 A B C 故选 D 答案 D 11 2009 广东高考 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 D 12 2009 海南 宁夏高考 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 线段 B1D1上 有两个动点 E F 且 EF 则下列结论错误的是 1 2 A AC BE B EF 平面 ABCD C 三棱锥 A BEF 的体积为定值 D AEF 的面积与 BEF 的面积相等 解析 易证 AC 平面 BB1D1D AC BE EF 在直线 B1D1上 易知 B1D1 面 ABCD EF 面 ABCD VA BEF 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 24 A B C 选项都正确 由排除法即选 D 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 把答案填在题中横线上 13 已知 A B C D 为空间四个点 且 A B C D 不共面 则直线 AB 与 CD 的 位置关系是 解析 如图所示 由图知 AB 与 CD 为异面直线 答案 异面 14 在空间四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 上分别取点 E F G H 如果 EH FG 相交于一点 M 那么 M 一定在直线 上 答案 BD 15 如下图所示 以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕 使 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面 则 1 BD 与 CD 的关系为 2 BAC 解析 1 AB AC AD BC BD AD CD AD BDC 为二面角的平面角 BDC 90 BD DC 2 设等腰直角三角形的直角边长为 a 则斜边长为a 2 BD CD a 2 2 折叠后 BC a 2 2 a 2 2 2 a 2 折叠后 ABC 为等边三角形 BAC 60 答案 1 BD CD 2 60 16 在正方体 ABCD A B C D 中 过对角线 BD 的一个平面交 AA 于 E 交 CC 于 F 则 四边形 BFD E 一定是平行四边形 四边形 BFD E 有可能是正方形 四边形 BFD E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 平面 BFD E 有可能垂直于平面 BB D 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 解析 如图所示 BE FD ED BF 四边形 BFD E 为平行四边形 正确 不正确 BFD 不可能为直角 正确 其射影是正方形 ABCD 正确 当 E F 分别是 AA CC 中点时正确 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或 演算步骤 17 10 分 如下图 已知 ABCD 是矩形 E 是以 CD 为直径的半圆周上一点 且面 CDE 面 ABCD 求证 CE 平面 ADE 证明 Error Error CE 面 ADE 18 12 分 求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边 形 已知 如图 三棱锥 S ABC SC 截面 EFGH AB 截面 EFGH 求证 截面 EFGH 是平行四边形 证明 SC 截面 EFGH SC 平面 EFGH SC 平面 ASC 且平面 ASC 平面 EFGH GH SC GH 同理可证 SC EF GH EF 同理可证 HE GF 四边形 EFGH 是平行四边形 19 12 分 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a M N 分别为 A1B 和 AC 上的点 A1M AN a 如图 2 3 1 求证 MN 面 BB1C1C 2 求 MN 的长 解 1 证明 作 NP AB 于 P 连接 MP NP BC AP AB AN AC A1M A1B MP AA1 BB1 面 MPN 面 BB1C1C MN 面 MPN MN 面 BB1C1C 2 NP a NP BC AN AC 2 3 a 2a 1 3 1 3 同理 MP a 2 3 又 MP BB1 MP 面 ABCD MP PN 在 Rt MPN 中 MN a 4 9a2 1 9a2 5 3 20 12 分 2009 浙江高考 如图 DC 平面 ABC EB DC AC BC EB 2DC 2 ACB 120 P Q 分别为 AE AB 的中点 1 证明 PQ 平面 ACD 2 求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值 解 1 证明 因为 P Q 分别为 AE AB 的中点 所以 PQ EB 又 DC EB 因此 PQ DC 又 PQ 平面 ACD 从而 PQ 平面 ACD 2 如图 连接 CQ DP 因为 Q 为 AB 的中点 且 AC BC 所以 CQ AB 因为 DC 平面 ABC EB DC 所以 EB 平面 ABC 因此 CQ EB 故 CQ 平面 ABE 由 1 有 PQ DC 又 PQ EB DC 1 2 所以四边形 CQPD 为平行四边形 故 DP CQ 因此 DP 平面 ABE DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角 在 Rt DPA 中 AD DP 1 5 sin DAP 5 5 因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 5 5 21 12 分 如图 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 点 E F 分别是 AB BD 的中点 求证 1 直线 EF 面 ACD 2 平面 EFC 平面 BCD 证明 1 在 ABD 中 E F 分别是 AB BD 的中点 EF AD 又 AD 平面 ACD EF 平面 ACD 直线 EF 面 ACD 2 在 ABD 中 AD BD EF AD EF BD 在 BCD 中 CD CB F 为 BD 的中点 CF BD CF EF F BD 平面 EFC 又 BD 平面 BCD 平面 EFC 平面 BCD 22 12 分 2010 安徽文 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 1 求证 FH 平面 EDB 2 求证 AC 平面 EDB 3 求四面体 B DEF 的体积 解 1 证明 设 AC 与 BD 交于 G 则 G 为 AC 中点 连接 EG GH 由于 H 为 BC 中点 故 GH 綊 AB 1 2 又 EF 綊 AB EF 綊 GH 1 2 四边形 EFHG 为平行四边形 EG FH 而 EG 平面 EDB FH 平面 EDB FH 平面 E