必修二--立体几何复习+经典例题

1 一 判定两线平行的方法一 判定两线平行的方法 1 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直 线就和交线平行 4 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 5 在同一平面内的两条直线 可依据平面几何的定理证明 二 二 判定线面平行的方法判定线面平行的方法 1 据定义 如果一条直线和一个平面没有公共点 2 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行 则这条直线和这个 平面平行 3 两面平行 则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面 则另一条也平行于该平面 5 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行 则也平行于另一个平面 三 判定面面平行的方法三 判定面面平行的方法 1 定义 没有公共点 2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4 平行于同一平面的两个平面平行 四 面面平行的性质四 面面平行的性质 1 两平行平面没有公共点 2 两平面平行 则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3 两平行平面被第三个平面所截 则两交线平行 4 垂直于两平行平面中一个平面的直线 必垂直于另一个平面 五 判定线面垂直的方法五 判定线面垂直的方法 1 定义 如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直 则线面垂直 2 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直 则线面垂直 3 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于该平面 4 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 5 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6 如果两个相交平面都垂直于另一个平面 那么它们的交线垂直于另一个平面 六 判定两线垂直的方法六 判定两线垂直的方法 1 定义 成角 90 2 直线和平面垂直 则该线与平面内任一直线垂直 3 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条 斜线垂直 4 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的 射影垂直 5 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直 它也和另一条垂直 七 判定面面垂直的方法七 判定面面垂直的方法 1 定义 两面成直二面角 则两面垂直 2 一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这个平面垂直于另一平面 八 面面垂直的性质八 面面垂直的性质 1 二面角的平面角为 90 2 2 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3 相交平面同垂直于第三个平面 则交线垂直于第三个平面 九 各种角的范围九 各种角的范围 1 异面直线所成的角的取值范围是 900 90 0 2 直线与平面所成的角的取值范围是 900 90 0 3 斜线与平面所成的角的取值范围是 900 90 0 4 二面角的大小用它的平面角来度量 取值范围是 1800 180 0 十 三角形的心十 三角形的心 1 内心 内切圆的圆心 角平分线的交点 2 外心 外接圆的圆心 垂直平分线的交点 3 重心 中线的交点 4 垂心 高的交点 例题分析例题分析 例例 2 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是平行四边形 M N 分别是 AB PC 的中 点 求证 MN 平面 PAD 分析分析 要证明 线面平行 可通过 线线平行 或 面面平行 进行转化 题目中 出现了中点的条件 因此可考虑构造 添加 中位线辅助证明 证明 证明 方法一 取 PD 中点 E 连接 AE NE 底面 ABCD 是平行四边形 M N 分别是 AB PC 的中点 MA CD 2 1 CDMA E 是 PD 的中点 NE CD 2 1 CDNE MA NE 且 MA NE AENM 是平行四边形 MN AE 又 AE平面 PAD MN 平面 PAD MN 平面 PAD 方法二取 CD 中点 F 连接 MF NF 3 MF AD NF PD 平面 MNF 平面 PAD MN 平面 PAD 评述评述 关于直线和平面平行的问题 可归纳如下方法 1 证明线线平行 a c b c a a a b b a b a b a b a b a b 2 证明线面平行 a a b b a a a a a 3 证明面面平行 a b a a a b a b A 例例 3 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 AC AB AC 求证 A1C BC1 分析分析 要证明 线线垂直 可通过 线面垂直 进行转化 因此设法证明 A1C 垂 直于经过 BC1的平面即可 证明 证明 连接 AC1 ABC A1B1C1是直三棱柱 AA1 平面 ABC AB AA1 又 AB AC AB 平面 A1ACC1 A1C AB 又 AA1 AC 侧面 A1ACC1是正方形 A1C AC1 由 得 A1C 平面 ABC1 A1C BC1 评述评述 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以 线面垂直 为核心展开的 如 本题已知条件中出现的 直三棱柱 及 AB AC 都要将其向 线面垂直 进行转化 4 例例 4 在三棱锥 P ABC 中 平面 PAB 平面 ABC AB BC AP PB 求证 平面 PAC 平面 PBC 分析分析 要证明 面面垂直 可通过 线面垂直 进行转化 而 线面垂直 又 可以通过 线线垂直 进行转化 证明 证明 平面 PAB 平面 ABC 平面 PAB 平面 ABC AB 且 AB BC BC 平面 PAB AP BC 又 AP PB AP 平面 PBC 又 AP平面 PAC 平面 PAC 平面 PBC 评述评述 关于直线和平面垂直的问题 可归纳如下方法 1 证明线线垂直 a c b c a b a b a b 1 证明线面垂直 a m a na b b a l m n m n A a a l a a a a 1 证明面面垂直 a a 例例 5 如图 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 侧面 A1ABB1是菱形 且垂直于底面 ABC A1AB 60 E F 分别是 AB1 BC 的中点 求证 直线 EF 平面 A1ACC1 5 在线段 AB 上确定一点 G 使平面 EFG 平面 ABC 并给出证明 证明 证明 连接 A1C A1E 侧面 A1ABB1是菱形 E 是 AB1的中点 E 也是 A1B 的中点 又 F 是 BC 的中点 EF A1C A1C平面 A1ACC1 EF平面 A1ACC1 直线 EF 平面 A1ACC1 2 解 当时 平面 EFG 平面 ABC 证明如下 3 1 GA BG 连接 EG FG 侧面 A1ABB1是菱形 且 A1AB 60 A1AB 是等边三角形 E 是 A1B 的中点 EG AB 3 1 GA BG 平面 A1ABB1 平面 ABC 且平面 A1ABB1 平面 ABC AB EG 平面 ABC 又 EG平面 EFG 平面 EFG 平面 ABC 例例 6 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1中 E 是 AC 的中点 求证 平面 BEC1 平面 ACC1A1 求证 AB1 平面 BEC1 分析分析 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图 这种情况下对空间想象能力提出 了更高的要求 可以根据几何体自身的性质 适当添加辅助线帮助思考 证明 证明 ABC A1B1C1是正三棱柱 AA1 平面 ABC BE AA1 ABC 是正三角形 E 是 AC 的中点 BE AC BE 平面 ACC1A1 又 BE 平面 BEC1 平面 BEC1 平面 ACC1A1 证明 连接 B1C 设 BC1 B1C D BCC1B1是矩形 D 是 B1C 的中点 DE AB1 又 DE平面 BEC1 AB1平面 BEC1 AB1 平面 BEC1 例例 7 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD AB DC PAD 是等边三角 形 已知 BD 2AD 8 542 DCAB 6 设 M 是 PC 上的一点 证明 平面 MBD 平面 PAD 求四棱锥 P ABCD 的体积 分析分析 本题中的数量关系较多 可考虑从 算 的角度入手分析 如从 M 是 PC 上 的动点分析知 MB MD 随点 M 的变动而运动 因此可考虑平面 MBD 内 不动 的直线 BD 是否垂直平面 PAD 证明 证明 在 ABD 中 由于 AD 4 BD 8 54 AB 所以 AD2 BD2 AB2 故 AD BD 又平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD BD平面 ABCD 所以 BD 平面 PAD 又 BD平面 MBD 故平面 MBD 平面 PAD 解 过 P 作 PO AD 交 AD 于 O 由于平面 PAD 平面 ABCD 所以 PO 平面 ABCD 因此 PO 为四棱锥 P ABCD 的高 又 PAD 是边长为 4 的等边三角形 因此 324 2 3 PO 在底面四边形 ABCD 中 AB DC AB 2DC 所以四边形 ABCD 是梯形 在 Rt ADB 中 斜边 AB 边上的高为 即为 5 58 54 84 梯形 ABCD 的高 所以四边形 ABCD 的面积为故 24 5 58 2 5452 S 3163224 3 1 ABCDP V 9 如图 4 在边长为 1 的等边三角形中 分别是边上的点 ABC D E AB ACADAE 是的中点 与交于点 将沿折起 得到如图 5 所示的三棱FBCAFDEGABF AF 锥 其中 ABCF 2 2 BC 1 证明 平面 DEBCF 7 图 5 D G B F C A E 图 4 G E F A B C D 2 证明 平面 CF ABF 3 当时 求三棱锥的体积 2 3 AD FDEG F DEG V 9 答案 1 在等边三角形中 ABCADAE 在折叠后的三棱锥中 ADAE DBEC ABCF 也成立 平面 DEBC DE BCF 平面 平面 BC BCF DE BCF 2 在等边三角形中 是的中点 所以 ABCFBCAFBC 1 2 BFCF 在三棱锥中 ABCF 2 2 BC 222 BCBFCFCFBF BFCFFCFABF 平面 3 由 1 可知 结合 2 可得 GECFGEDFG 平面 1 11 1 11313 3 23 2 3323324 F DEGE DFG VVDG FG GF 4 如图 四棱锥 P ABCD 中 ABCD 为矩形 PAD 为等腰直角三角形 APD 90 面 PAD 面 ABCD 且 AB 1 AD 2 E F 分别为 PC 和 BD 的中点 1 证明 EF 面 PAD 2 证明 面 PDC 面 PAD 3 求四棱锥 P ABCD 的体积 4 如图 连接 AC ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点 AC 必经过 F 1 分 又 E 是 PC 的中点 8 所以 EF AP2 分 EF 在面 PAD 外 PA 在面内 EF 面 PAD 2 面 PAD 面 ABCD CD AD 面 PAD面 ABCD AD CD 面 PAD 又 AP面 PAD AP CD 又 AP PD PD 和 CD 是相交直线 AP 面 PCD 又 AD面 PAD 所以 面 PDC 面 PAD 3 取 AD 中点为 O 连接 PO 因为面 PAD 面 ABCD 及 PAD 为等腰直角三角形 所以 PO 面 ABCD 即 PO 为四棱锥 P ABCD 的高 AD 2 PO 1 所以四棱锥 P ABCD 的体积 12 33 VPO AB AD 1 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 1 2 AA1的中点 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 1 解析 由题设知 BC 1 CC BC