小升初奥数讲义

1 小学六年级奥数的基本分类小学六年级奥数的基本分类 一 工程问题一 工程问题 跟知识握握手跟知识握握手 1 顾名思义 工程问题指的是与工程建造有关的数学问题 其实 这类题目的内容已不仅 仅是工程方面的问题 也括行路 水管注水等许多内容 2 在分析解答工程问题时 一般常用的数量关系式是 工作总量工作总量 工作效率工作效率 工作时间 工作时间 工作时间工作时间 工作总量工作总量 工作效率 工作效率 工作效率工作效率 工作总量工作总量 工作时间 工作时间 工作总量指的是工作的多少 它可以是全部工作量 一般用数 1 表示 也可以是部分工 作量 常用分数表示 例如工程的一半表示成 2 1 工作效率指的是干工作的快慢 其意义是单位时间里所干的工作量 单位时间的选取 根 据题目需要 可以是天 也可以是时 分 秒等 工作效率的单位是一个复合单位 表示成 工作量 天 或 工作量 时 等 但在不引 起误会的情况下 一般不写工作效率的单位 小试牛刀小试牛刀 1 甲乙两个水管单独开 注满一池水 分别需要 20 小时 16 小时 丙水管单独开 排一 池水要 10 小时 若水池没水 同时打开甲乙两水管 5 小时后 再打开排水管丙 问水池 注满还是要多少小时 2 修一条水渠 单独修 甲队需要 20 天完成 乙队需要 30 天完成 如果两队合作 由于 彼此施工有影响 他们的工作效率就要降低 甲队的工作效率是原来的五分之四 乙队工 作效率只有原来的十分之九 现在计划 16 天修完这条水渠 且要求两队合作的天数尽可能 少 那么两队要合作几天 3 一件工作 甲 乙合做需 4 小时完成 乙 丙合做需 5 小时完成 现在先请甲 丙合做 2 小时后 余下的乙还需做 6 小时完成 乙单独做完这件工作要多少小时 4 一项工程 第一天甲做 第二天乙做 第三天甲做 第四天乙做 这样交替轮流做 那 么恰好用整数天完工 如果第一天乙做 第二天甲做 第三天乙做 第四天甲做 这样交 替轮流做 那么完工时间要比前一种多半天 已知乙单独做这项工程需 17 天完成 甲单独 做这项工程要多少天完成 5 师徒俩人加工同样多的零件 当师傅完成了 1 2 时 徒弟完成了 120 个 当师傅完成了 任务时 徒弟完成了 4 5 这批零件共有多少个 2 7 一个池上装有 3 根水管 甲管为进水管 乙管为出水管 20 分钟可将满池水放完 丙 管也是出水管 30 分钟可将满池水放完 现在先打开甲管 当水池水刚溢出时 打开乙 丙两管用了 18 分钟放完 当打开甲管注满水是 再打开乙管 而不开丙管 多少分钟将水 放完 8 某工程队需要在规定日期内完成 若由甲队去做 恰好如期完成 若乙队去做 要超过 规定日期三天完成 若先由甲乙合作二天 再由乙队单独做 恰好如期完成 问规定日期 为几天 9 两根同样长的蜡烛 点完一根粗蜡烛要 2 小时 而点完一根细蜡烛要 1 小时 一天晚上 停电 小芳同时点燃了这两根蜡烛看书 若干分钟后来点了 小芳将两支蜡烛同时熄灭 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍 问 停电多少分钟 二 鸡兔同笼问题二 鸡兔同笼问题 跟知识握握手跟知识握握手 1 1 基本概念 基本概念 鸡兔同笼问题又称为置换问题 假设问题 就是把假设错的那部分置换出来 2 2 基本思路 基本思路 假设 即假设某种现象存在 甲和乙一样或者乙和甲一样 假设后 发生了和题目条件不同的差 找出这个差是多少 每个事物造成的差是固定的 从而找出出现这个差的原因 再根据这两个差作适当的调整 消去出现的差 3 3 基本公式 基本公式 把所有鸡假设成兔子 鸡数 兔脚数 总头数 总脚数 兔脚数 鸡脚数 把所有兔子假设成鸡 兔数 总脚数一鸡脚数 总头数 兔脚数一鸡脚数 4 4 关键问题 关键问题 找出总量的差与单位量的差 5 5 解 鸡兔同笼问题 的常用方法是 替换法 转换法 置换法 等 通常把其 中一个未知数暂时当作另一个未知数 然后根据已知条件进行假设性的运算 直到求出结 果 概括起来 解 鸡兔同笼问题 的基本公式是 鸡数 每只兔脚数 鸡兔总数 实际脚数 每只兔子脚数 每只鸡的脚数 兔数 鸡兔总数 鸡数 小试牛刀小试牛刀 1 有若干只鸡和兔子 它们共有 88 个头 244 只脚 问鸡 兔各多少只 2 蜘蛛有 8 条腿 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀 蝉有 6 条腿和 1 对翅膀 现在这三种小虫 共 18 只 有 118 条腿和 20 对翅膀 问每种小虫各多少只 3 每一辆货车运输 2000 只玻璃瓶 运费按到达时完好的瓶子数计算 每只 2 角 如有破 损 破损的不给运费 还要每只赔偿 1 元 结果得到运费 379 6 元 问这次搬运中玻璃瓶 破损了几只 3 4 六年级甲班有 50 个同学向汶川灾区捐款共计 2010 元 其中捐 50 元的人有 30 人 其 他同学捐 20 元或者 30 元 问捐 20 元和 30 元的同学各多少人 5 学校组织新年文艺晚会 用作奖品的铅笔 圆珠笔 钢笔共 232 支 共花了 300 元 其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍 已知铅笔每支 0 6 元 圆珠笔每支 2 7 元 钢笔每支 6 3 元 问三种笔个多少支 6 从甲到乙全长 45 千米 有上坡路 平路 下坡路 李强上坡速度是每小时 3 千米 平 路上速度是每小时 5 千米 下坡速度是每小时 6 千米 从甲到乙 李强走了 10 小时 从乙 到甲李强走了 11 小时 问甲到乙上坡 平路 下坡路各有多少千米 7 有堆硬币 面值为 1 分 2 分和 5 分三种 其中 1 分硬币是 2 分硬币的 11 倍 已知这 堆硬币的币值总和是 1 元 问 5 分有多少枚 8 有 50 名同学外出游玩 乘电车前往每人 1 2 元 乘小巴前往每人 4 元 乘地铁前往每 人 6 元 这些同学共有车费 110 元 问其中乘小巴的共有多少人 9 鸡与兔共 100 只 鸡的腿数比兔的腿数少 28 条 问鸡与兔各有几只 三 数字数位问题三 数字数位问题 1 把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789 2005 这个多 位数除以 9 余数是多少 2 A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数 求 A B 分之 A B 的最小值 3 已知 A B C 都是非 0 自然数 A 2 B 4 C 16 的近似值市 6 4 那么它的准确值是多少 4 一个三位数的各位数字 之和是 17 其中十位数字比个位数字大 1 如果把这个三位数的 百位数字与个位数字对调 得到一个新的三位数 则新的三位数比原三位数大 198 求原数 5 一个两位数 在它的前面写上 3 所组成的三位数比原两位数的 7 倍多 24 求原来的两位 数 6 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数 它与原数相加 和恰好是某自 然数的平方 这个和是多少 7 一个六位数的末位数字是 2 如果把 2 移到首位 原数就是新数的 3 倍 求原数 答案为 85714 8 有一个四位数 个位数字与百位数字的和是 12 十位数字与千位数字的和是 9 如果个位 数字与百位数字互换 千位数字与十位数字互换 新数就比原数增加 2376 求原数 4 9 有一个两位数 如果用它去除以个位数字 商为 9 余数为 6 如果用这个两位数除以个位 数字与十位数字之和 则商为 5 余数为 3 求这个两位数 10 如果现在是上午的 10 点 21 分 那么在经过 28799 99 一共有 20 个 9 分钟之后的时 间将是几点几分 四 排列组合问题四 排列组合问题 跟知识握握手跟知识握握手 1 1 排列 排列 一般地 从个不同的元素中取出 个元素 按照一定的顺序排成一列 nmmn 叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 nm 根据排列的定义 两个排列相同 指的是两个排列的元素完全相同 并且元素的排 列顺序也相同 如果两个排列中 元素不完全相同 它们是不同的排列 如果两个排列中 虽然元素完全相同 但元素的排列顺序不同 它们也是不同的排列 2 2 排列的基本问题是计算排列的总个数 排列的基本问题是计算排列的总个数 从个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数 叫做从个不同的元素nmmn n 的排列中取出个元素的排列数 我们把它记做 m m n P 根据排列的定义 做一个元素的排列由个步骤完成 mm 步骤 从个不同的元素中任取一个元素排在第一位 有种方法 1nn 步骤 从剩下的 个元素中任取一个元素排在第二位 有 种方法 21n 1n 步骤 从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置 有m 1 nm m 种 方法 11nmnm 3 3 由乘法原理 从个不同元素中取出个元素的排列数是nm 即 这里 且等121nnnnm 12 1 m n Pn nnnm mn 号右边从开始 后面每个因数比前一个因数小 共有个因数相乘 n1m 4 4 组合 组合 一般地 从个不同元素中取出个 元素组成一组不计较组内各元素的nmmn 次序 叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 nm 从排列和组合的定义可以知道 排列与元素的顺序有关 而组合与顺序无关 如果两个 组合中的元素完全相同 那么不管元素的顺序如何 都是相同的组合 只有当两个组合中 的元素不完全相同时 才是不同的组合 5 5 从个不同元素中取出个元素 的所有组合的个数 叫做从个不同元素中取nmmn n 出个不同元素的组合数 记作 m m n C 6 6 一般地 求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步 nm n m P 第一步 从个不同元素中取出个元素组成一组 共有种方法 nm m n C 第二步 将每一个组合中的个元素进行全排列 共有种排法 m m m P 根据乘法原理 得到 因此 组合数 mmm nnm PCP 12 1 123 2 1 m mn n m m Pnnnnm C Pmmm 这个公式就是组合数公式 5 小试牛刀小试牛刀 1 有五对夫妇围成一圈 使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 2 若把英语单词 hello 的字母写错了 则可能出现的错误共有 A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 3 小新 阿呆等七个同学照像 分别求出在下列条件下有多少种站法 1 七个人排成一排 2 七个人排成一排 小新必须站在中间 3 七个人排成一排 小新 阿呆必须有一人站在中间 4 七个人排成一排 小新 阿呆必须都站在两边 5 七个人排成一排 小新 阿呆都没有站在边上 6 七个人战成两排 前排三人 后排四人 7 七个人战成两排 前排三人 后排四人 小新 阿呆不在同一排 4 用 1 2 3 4 5 6 可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数 5 用 1 2 3 4 5 这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是 的无重复数字200003 的五位数 6 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数 若将这些四位数按从小到大的顺序排列 则 5687 是第几个数 7 用 这五个数字 不许重复 位数不限 能写出多少个 3 的倍数 12345 8 用 1 2 3 4 5 6 六张数字卡片 每次取三张卡片组成三位数 一共可以组成多少 个不同的偶数 9 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字 只记得是由四个非数码组成 且四个数码0 之和是 那么确保打开保险柜至少要试几次 9 10 两对三胞胎喜相逢 他们围坐在桌子旁 要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻 同 一位置上坐不同的人算不同的坐法 那么共有多少种不同的坐法 11 已知在由甲 乙 丙 丁 戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中 决出了第一至第五 名的名次 甲 乙两名参赛者去询问成绩 回答者对甲说 很遗憾 你和乙都未拿到冠 军 对乙说 你当然不会是最差的 从这个回答分析 5 人的名次排列共有多少种不 同的情况 12 名男生 名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 45 1 甲不在中间也不在两端 2 甲 乙两人必须排在两端 3 男 女生分别排在一起 6 4 男女相间一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目 64 求 1 当个舞蹈节目要排在一起时 有多少不同的安排节目的顺序 4 2 当要求每个舞蹈节目之间至少安排 个演唱节目时 一共有多少不同的安排节目21 的顺序 13 1 从 1 2 8 中任取 3 个数组成无重复数字的三位数 共有多少个 只要求 列式 2 从 8 位候选人中任选三位分别任团支书 组织委员 宣传委员 共有多少种不同 的选法 3 3 位同学坐 8 个座位 每个座位坐 1 人 共有几种坐法 4 8 个人坐 3 个座位 每个座位坐 1 人 共有多少种坐法 5 一火车站有 8 股车道 停放 3 列火车 有多少种不同的停放方法 6 8 种不同的菜籽 任选 3 种种在不同土质的三块土地上 有多少种不同的种法 14 某校举行男生乒乓球比赛 比赛分成 3 个阶段进行 第一阶段 将参加比赛的 48 名选 手分成 8 个小组 每组 6 人 分别进行单循环赛 第二阶段 将 8 个小组产生的前 2 名共 16 人再分成个小组 每组人 分别进行单循环赛 第三阶段 由 4 个小组产生的个444 第 名进行场半决赛和场决赛 确定 至名的名次 问 整个赛程一共需要进行多少12214 场比赛 16 由数字 1 2 3 组成五位数 要求这五位数中 1 2 3 至少各出现一次 那么这样的 五位数共有 个 2007 年 迎春杯 高年级组决赛 17 个人围成一圈 从中选出两个不相邻的人 共有多少种不同选法 10 18 8 个人站队 冬冬必须站在小悦和阿奇的中间 不一定相邻 小慧和大智不能相邻 小光和大亮必须相邻 满足要求的站法一共有多少种 19 小明有 10 块大白兔奶糖 从今天起 每天至少吃一块 那么他一共有多少种不同的吃法 20 某池塘中有三只游船 船可乘坐 人 船可乘坐人 船可乘坐 人 ABC A3B2C1 今有 个成人和个儿童要分乘这些游船 为安全起见 有儿童乘坐的游船上必须至少有32 个成人陪同 那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种 5 21 从名男生 名女生中选出 人参加游泳比赛 在下列条件下 分别有多少种选法 1088 1 恰有 名女生入选 3 2 至少有两名女生入选 3 某两名女生 某两名男生必须入选 4 某两名女生 某两名男生不能同时入选 某两名女生 某两名男生最多入选两人 22 在 6 名内科医生和 4 名外科医生中 内科主任和外科主任各一名 现要组成 5 人医疗 小组送医下乡 按照下列条件各有多少种选派方法 1 有 3 名内科医生和 2 名外科医生 2 既有内科医生 又有外科医生 3 至少有一名主任参加 4 既有主任 又有外科医生 7 23 在 10 名学生中 有 5 人会装电脑 有 3 人会安装音响设备 其余 2 人既会安装电脑 又会安装音响设备 今选派由人组成的安装小组 组内安装电脑要 人 安装音响设备63 要 人 共有多少种不同的选人方案 3 24 有 11 名外语翻译人员 其中名是英语翻译员 名是日语翻译员 另外两名英语 54 日语都精通 从中找出 人 使他们组成两个翻译小组 其中人翻译英文 另人翻译日844 文 这两个小组能同时工作 问这样的分配名单共可以开出多少张 五 容斥原理问题五 容斥原理问题 跟知识握握手跟知识握握手 1 容斥原理的概念 容斥原理的概念 在计数时 为了使重叠部分不被重复计算 人们研究出一种新的计数 方法 这种方法的基本思想是 先不考虑重叠的情况 把包含于某内容中的所有对象的数 目先计算出来 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去 使得计算的结果既无遗漏又无 重复 这种计数的方法称为容斥原理 2 2 有关容斥原理的公式 有关容斥原理的公式 公式公式 1 1 如果被计数的事物有 A B 两类 那么 A 类或 B 类元素个数 A 类元素个数 B 类 元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 公式公式 2 2 如果被计数的事物有 A B C 三类 那么 A 类或 B 类或 C 类元素个数 A 类元素 个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的 元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数 小试牛刀小试牛刀 1 有 100 种赤贫 其中含钙的有 68 种 含铁的有 43 种 那么 同时含钙和铁的食品种类的 最大值和最小值分别是 A 43 25 B 32 25 C32 15 D 43 11 2 在多元智能大赛的决赛中只有三道题 已知 1 某校 25 名学生参加竞赛 每个学生至少 解出一道题 2 在所有没有解出第一题的学生中 解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍 3 只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人 4 只解出一道题 的学生中 有一半没有解出第一题 那么只解出第二题的学生人数是 A 5 B 6 C 7 D 8 3 一次考试共有 5 道试题 做对第 1 2 3 4 5 题的分别占参加考试人数的 95 80 79 74 85 如果做对三道或三道以上为合格 那么这次考试的合格率至少 是多少 4 某大楼里有 125 盏灯 按 1 2 3 125 编号 每盏灯有一个拉线开关 拉一次灯亮 再拉一次灯熄 工程师做实验 他先把所有号码是 4 的倍数的灯的开关拉 1 次 再把所有 号码是 6 的倍数的灯的开关拉 1 次 同时再拉 1 次号码是 4 的倍数 但不是 6 的倍数的灯 开关 问 现在有多少盏灯是亮的 8 5 A B C 三位质检员对流水线上的书包进行检查 A 每 3 个书包抽查 1 个 B 每 5 个书 包抽查 1 个 C 每 7 个书包抽查 1 个 一共有 250 个书包通过流水线 假定 A B C 首个 抽查到的书包分别是第三个 第五个和第七个 试求 1 没被抽查到的书包数 2 在 A 或 B 抽查到的书包中 没被 C 抽查到的书包数 6 校举行趣味运动会 班里的同学有 20 人报名 参加障碍过河比赛的有 10 人 参加自行 车慢骑的有 13 人 参加 袋鼠跳 比赛的有 15 人 障碍过河 袋鼠跳 都参加的有 9 人 障碍过河 自行车慢骑都参加的有 6 人 自行车慢骑 袋鼠跳 都参加的有 8 人 你能画出参加比赛的人数文氏图吗 7 某体育学校的运动员中 会游泳的有 15 人 会跳高的有 12 人 会跳远的有 9 人 以上 三个项目只会其中两种的有 13 人 会三种的有 5 人 则只会其中两种的人分别有多少可能 8 在一所中学的实验班里 60 个学生参加过竞赛 其中参加过数学竞赛的有 30 人 参加 过英语竞赛的有 25 人 参加过作文比赛的有 17 人 参加过数学竞赛和英语竞赛的有 12 人 参加过英语竞赛和作文比赛的有 10 人 参加过数学竞赛和作文比赛的有 7 人 则三种竞赛 都参加过的学生有 人 请写出过程 六 抽屉原理 奇偶性问题六 抽屉原理 奇偶性问题 跟知识握握手跟知识握握手 1 1 第一抽屉原理 第一抽屉原理 原理原理 1 1 把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里 则至少有一个抽屉里的东西不少于两件 证明 反证法 如果每个抽屉至多只能放进一个物体 那么物体的总数至多是 n 而 不是题设的 n k k 1 这不可能 原理原理 2 2 把多于 mn m 乘以 n 个的物体放到 n 个抽屉里 则至少有一个抽屉里有不少于 m 1 的物体 证明 反证法 若每个抽屉至多放进 m 个物体 那么 n 个抽屉至多放进 mn 个物体 与 题设不符 故不可能 原理原理 3 3 把无穷多件物体放入 n 个抽屉 则至少有一个抽屉里 有无穷个物体 证明 根据原理 1 2 即可证明 原理 1 2 3 都是第一抽屉原理的表述 2 2 第二抽屉原理 第二抽屉原理 把 mn 1 个物体放入 n 个抽屉中 其中必有一个抽屉中至多有 m 1 个物体 证明 反证法 若每个抽屉都有不少于 m 个物体 则总共至少有 mn 个物体 与题设 矛盾 故不可能 9 3 3 抽抽屉屉原原理理的的一一般般表表述述 把多于 kn 1个东西任意分放进 n 个空抽屉 k 是正整数 那么一定有一个抽屉中放进了至少 k 1个东西 奇数和偶数 奇数和偶数 整数可以分成奇数和偶数两大类 能被 2 整除的数叫做偶数 不能被 2 整除的数叫做奇数 偶数通常可以用 2k k 为整数 表示 奇数则可以用 2k 1 k 为整数 表示 特别注意 因为 0 能被 2 整除 所以 0 是偶数 5 5 奇数与偶数的运算性质 奇数与偶数的运算性质 性质 1 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数 性质 2 偶数 奇数 奇数 性质 3 偶数个奇数相加得偶数 性质 4 奇数个奇数相加得奇数 性质 5 偶数 奇数 偶数 奇数 奇数 奇数 经典例题经典例题 表述 在第二抽屉原理中 抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加 当元素总 数达到抽屉数的若干倍后 可用抽屉数除元素总数 写成下面的等式 元素总数元素总数 商商 抽屉数抽屉数 余数余数 如果余数不是 0 则最小数 商 1 如果余数正好是 0 则最小数 商 例题例题 1 1 幼儿园里有 120 个小朋友 各种玩具有 364 件 把这些玩具分给小朋友 是否有 人会得到 4 件或 4 件以上的玩具 解析 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉 把玩具件数看做是元素 则 364 120 3 4 4 120 根据抽屉原理的第 2 条规则 如果把 m x k x k 1 个 元素放到 x 个抽屉里 那么至少有一个抽屉里含有 m 1 个或更多个元素 可知至少有一个 抽屉里有 3 1 4 个元素 即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具 练习练习 1 1 1 一个幼儿园大班有 40 个小朋友 班里有各种玩具 125 件 把这些玩具分给小朋友 是 否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具 2 把 16 枝铅笔放入三个笔盒里 至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝 这是为什么 3 把 25 个球最多放在几个盒子里 才能至少有一个盒子里有 7 个球 例题例题 2 2 布袋里有 4 种不同颜色的球 每种都有 10 个 最少取出多少个球 才能保证其中 一定有 3 个球的颜色一样 解析 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉 把布袋中的球看做元素 根据抽屉原理 第 2 条 要使其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球 那么取出的球的个数应比抽屉 10 个数的 2 倍多 1 即 2 4 1 9 个 球 列算式为 3 1 4 1 9 个 练习练习 2 2 1 布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球 最少取出多少个球才能保证其中一定有 3 个颜色 一样的球 2 一个容器里放有 10 块红木块 10 块白木块 10 块蓝木块 它们的形状 大小都一样 当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时 为确保取出的木块中至少有 4 块颜色相同 应至少 取出多少块木块 3 一副扑克牌共 54 张 其中 1 13 点各有 4 张 还有两张王的扑克牌 至少要取出几张 牌 才能保证其中必有 4 张牌的点数相同 例题例题 3 3 某班共有 46 名学生 他们都参加了课外兴趣小组 活动内容有数学 美术 书法 和英语 每人可参加 1 个 2 个 3 个或 4 个兴趣小组 问班级中至少有几名学生参加的项 目完全相同 解析 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况 只参加一个组的有 4 种类型 只 参加两个小组的有 6 个类型 只参加三个组的有 4 种类型 参加四个组的有 1 种类型 把 4 6 4 1 15 种 类型看做 15 个抽屉 把 46 个学生放入这些抽屉 因为 46 3 15 1 所 以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同 练习练习 3 3 1 某班有 37 个学生 他们都订阅了 小主人报 少年文艺 小学生优秀作文 三种 报刊中的一 二 三种 其中至少有几位同学订的报刊相同 2 学校开办了绘画 笛子 足球和电脑四个课外学习班 每个学生最多可以参加两个 可 以不参加 某班有 52 名同学 问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同 3 库房里有一批篮球 排球 足球和铅球 每人任意搬运两个 问 在 31 个 搬运者中至 少有几人搬运的球完全相同 例题例题 4 4 从 1 至 30 中 3 的倍数有 30 3 10 个 不是 3 的倍数的数有 30 10 20 个 至少 要取出 20 1 21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数 练习练习 4 4 1 在 1 2 3 49 50 中 至少要取出多少个不同的数 才能保证其中一定有一个数 能被 5 整除 2 从 1 至 120 中 至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数 3 从 1 至 36 中 最多可以取出几个数 使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数 例题例题 5 5 将 400 张卡片分给若干名同学 每人都能分到 但都不能超过 11 张 试证明 找 少有七名同学得到的卡片的张数相同 证明 这题需要灵活运用抽屉原理 将分得 1 2 3 11 张可片看做 11 个 抽屉 把同学人数看做元素 如果每个抽屉都有一个元素 则需 1 2 3 10 11 66 张 卡片 而 400 66 6 4 张 即每个周体都有 6 个元素 还余下 4 张卡片没分掉 而这 4 张卡片无论怎么分 都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素 所以至少有 7 名同学得到的卡片的张数相同 练习练习 5 5 1 把 280 个桃分给若干只猴子 每只猴子不超过 10 个 证明 无论怎样分 至少有 6 只 猴子得到的桃一样多 2 把 61 颗棋子放在若干个格子里 每个格子最多可以放 5 颗棋子 证明 至少有 5 个格 11 子中的棋子数目相同 3 汽车 8 小时行了 310 千米 已知汽车第一小时行了 25 千米 最后一小时行了 45 千米 证明 一定存在连续的两小时 在这两小时内汽车至少行了 80 千米 例题例题 6 6 1 2 3 1993 的和是奇数 还是偶数 例题例题 7 7 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘 所得的两个积相差 150 这个数是多少 例题例题 8 8 元旦前夕 同学们相互送贺年卡 每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡 那 么送了奇数张贺年卡的人数是奇数 还是偶数 为什么 例题例题9 9 已知 a b c 中有一个是5 一个是6 一个是7 求证 a 1 b 2 c 3的乘积一定是 偶数 例题例题1010 如下页图 从起点始 隔一米种一棵树 如果把三块 爱护树木 的小牌分别挂 在三棵树上 那么不管怎样挂 至少有两棵挂牌的树 它们之间的距离是偶数 以米为单 位 这是为什么 小试牛刀小试牛刀 1 木箱里装有红色球 3 个 黄色球 5 个 蓝色球 7 个 若蒙眼去摸 为保证取出的球中有 两个球的颜色相同 则最少要取出多少个球 2 一幅扑克牌有 54 张 最少要抽取几张牌 方能保证其中至少有 3 张牌有相同的点数 3 有 11 名学生到老师家借书 老师的书房中有 四类书 每名学生最多可 借两本不同类的书 最少借一本 试证明 必有两个学生所借的书的类型相同 4 有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛 如果没有平局 也没有全胜 试证明 一定 有两个运动员积分相同 5 体育用品仓库里有许多足球 排球和篮球 某班 50 名同学来仓库拿球 规定每个人至 少拿 1 个球 至多拿 2 个球 问至少有几名同学所拿的球种类是一致的 6 某校有 55 个同学参加数学竞赛 已知将参赛人任意分成四组 则必有一组的女生多于 2 人 又知参赛者中任何 10 人中必有男生 则参赛男生的人数为多少人 7 有黑色 白色 蓝色手套各 5 只 不分左右手 至少要拿出多少只 拿的时候不许看 颜色 才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的 8 一些苹果和梨混放在一个筐里 小明把这筐水果分成了若干堆 后来发现无论怎么分 总能从这若干堆里找到两堆 把这两堆水果合并在一起后 苹果和梨的个数是偶数 那么 小明至少把这些水果分成了多少堆 9 从 1 3 5 99 中 至少选出多少个数 其中必有两个数的和是 100 10 某旅游车上有 47 名乘客 每位乘客都只带有一种水果 如果乘客中有人带梨 并且其 中任何两位乘客中至少有一个人带苹果 那么乘客中有多少人带苹果 11 某个年级有 202 人参加考试 满分为 100 分 且得分都为整数 总得分为 10101 分 则至少有多少人得分相同 12 2006 名营员去游览长城 颐和园 天坛 规定每人最少去一处 最多去两处游览 至 12 少有几个人游览的地方完全相同 13 某校派出学生 204 人上山植树 15301 株 其中最少一人植树 50 株 最多一人植树 100 株 则至少有多少人植树的株数相同 14 有 100 个自然数 它们的和是偶数 在这 100 个自然数中 奇数的个数比偶数的个数多 问 这些数中至多有多少个偶数 15 有一串数 最前面的四个数依次是 1 9 8 7 从第五个数起 每一个数都是它前面 相邻四个数之和的个位数字 问 在这一串数中 会依次出现 1 9 8 8 这四个数吗 16 求证 四个连续奇数的和一定是 8 的倍数 17 把任意 6 个整数分别填入右图中的 6 个小方格内 试说明一定有一个矩形 它的四个 角上四个小方格中的四个数之和为偶数 18 如果两个人通一次电话 每人都记通话一次 在 24 小时以内 全世界通话次数是奇数 的那些人的总数为 A 必为奇数 B 必为偶数 C 可能是奇数 也可能是偶数 请选择并写出过程 19 一次宴会上 客人们相互握手 问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数 20 有 12 张卡片 其中有 3 张上面写着 1 有 3 张上面写着 3 有 3 张上面写着 5 有 3 张上面写着 7 你能否从中选出五张 使它们上面的数字和为 20 为什么 21 有 10 只杯子全部口朝下放在盘子里 你能否每次翻动 4 只杯子 经过若干次翻动后将 杯子全部翻成口朝上 22 电影厅每排有 19 个座位 共 23 排 要求每一观众都仅和它邻近 即前 后 左 右 一人交换位置 问 这种交换方法是否可行 23 由 14 个大小相同的方格组成下列图形 右图 请证明 不论怎样剪法 总不能把它 剪成 7 个由两个相邻方格组成的长方形 13 七 行程问题七 行程问题 跟知识握握手跟知识握握手 1 发车问题发车问题 1 一般间隔发车问题 用 3 个公式迅速作答 汽车间距 汽车速度 行人速度 相遇事件时间间隔 汽车间距 汽车速度 行人速度 追及事件时间间隔 汽车间距 汽车速度 汽车发车时间间隔 2 求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数 标准方法是 画图 尽可能多的列 3 个好使公式 结合s全程 v t 结合植树问题 数数 3 当出现多次相遇和追及问题 柳卡 2 2 火车过桥 火车过桥 火车过桥问题常用方法 1 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间 因此火车的路程是桥长 与车身长度之和 2 火车与人错身时 忽略人本身的长度 两者路程和为火车本身长度 火车与火车错身 时 两者路程和则为两车身长度之和 3 火车与火车上的人错身时 只要认为人具备所在火车的速度 而忽略本身的长度 那 么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度 对于火车过桥 火车和人相遇 火车追及人 以及火车和火车之间的相遇 追及等 等这几种类型的题目 在分析题目的时候一定得结合着图来进行 3 3 接送问题 接送问题 根据校车速度 来回不同 班级速度 不同班不同速 班数是否 变化分类为四种常见题型 1 车速不变 班速不变 班数 2 个 最常见 2 车速不变 班速不变 班数多个 3 车速不变 班速变 班数 2 个 4 车速变 班速不变 班数 2 个 标准解法 画图 列 3 个式子 1 总时间 一个队伍坐车的时间 这个队伍步行的时间 2 班车走的总路程 3 一个队伍步行的时间 班车同时出发后回来接它的时间 4 4 时钟问题 时钟问题 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及问题 不过这里的两个 人 分别是时钟的分针和时针 14 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒 或者千米每小时 而是 2 个指针 每分钟走多少角度 或者 每分钟走多少小格 5 5 流水行船问题中的相遇与追及流水行船问题中的相遇与追及 1 两只船在河流中相遇问题 当甲 乙两船 甲在上游 乙在下游 在江河里相向开出 甲船顺水速度 乙船逆水速度 甲船速 水速 乙船速 水速 甲船船速 乙船船速 2 同样道理 如果两只船 同向运动 一只船追上另一只船所用的时间 与水速无关 甲船顺水速度 乙船顺水速度 甲船速 水速 乙船速 水速 甲船速 乙船速 也有 甲船逆水速度 乙船逆水速度 甲船速 水速 乙船速 水速 甲船速 乙船速 说明 说明 两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样 与水速没有关系 6 6 比例与行程问题综合问题 比例与行程问题综合问题 比例的知识是小学数学最后一个重要内容 从某种意义上 讲仿佛扮演着一个小学 压轴知识点 的角色 从一个工具性的知识点而言 比例在解很多应用题时有着 得天独厚 的优势 往往 体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上 使得一道看似很难的题目变得简单明了 比例的 技巧不仅可用于解行程问题 对于工程问题 分数百分数应用题也有广泛的应用 我们常常会应用比例的工具分析我们常常会应用比例的工具分析 2 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况 我们将甲 个物体在某一段相同路线上的运动情况 我们将甲 乙的速度 时间 路程分别用乙的速度 时间 路程分别用来表示 大体可分为以下两种情况 来表示 大体可分为以下两种情况 vvtts s 乙乙乙甲甲甲 1 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时 经过同一段时间后 他们走 过的路程之比就等于他们的速度之比 这里因为时间相同 即 所以由 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 ttt 乙甲 ss tt vv 甲乙 乙甲 乙甲 得到 甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 ss t vv 甲乙 乙甲 sv sv 甲甲 乙乙 2 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时 走过相同的路程时 2 个物 体所用的时间之比等于他们速度的反比 这里因为路程相同 即 由 svt svt 甲甲甲 乙乙乙 sss 乙甲 svtsvt 乙乙乙甲甲甲 15 得 甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度svtvt 乙乙甲甲 vt vt 甲乙 乙甲 比的反比 7 7 行程问题常用的解题方法有行程问题常用的解题方法有 1 1 公式法公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解 这种方法看似简单 其实也有很多技巧 使 用公式不仅包括公式的原形 也包括公式的各种变形形式 有时条件不是直接给出的 这 就需要对公式非常熟悉 可以推知需要的条件 2 2 图示法图示法 在一些复杂的行程问题中 为了明确过程 常用示意图作为辅助工具 示意图包括线 段图和折线图 图示法即画出行程的大概过程 重点在折返 相遇 追及的地点 另外在 多次相遇 追及问题中 画图分析往往也是最有效的解题方法 3 3 比例法比例法 行程问题中有很多比例关系 在只知道和差 比例时 用比例法可求得具体数值 更 重要的是 在一些较复杂的题目中 有些条件 如路程 速度 时间等 往往是不确定的 在没有具体数值的情况下 只能用比例解题 4 4 分段法分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中 公式不能直接适用 这时通常把不匀速的运动分 为匀速的几段 在每一段中用匀速问题的方法去分析 然后再把结果结合起来 5 5 方程法方程法 在关系复杂 条件分散的题目中 直接用公式或比例都很难求解时 设条件关系最多 的未知量为未知数 抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解 小试牛刀小试牛刀 1 某停车场有 10 辆出租汽车 第一辆出租汽车出发后 每隔 4 分钟 有一辆出租汽车开 出 在第一辆出租汽车开出 2 分钟后 有一辆出租汽车进场 以后每隔 6 分钟有一辆出租汽 车回场 回场的出租汽车 在原有的 10 辆出租汽车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆 问 从第一辆出租汽车开出后 经过多少时间 停车场就没有出租汽车了 2 小峰骑自行车去小宝家聚会 一路上小峰注意到 每隔 9 分钟就有一辆公交车从后方超 越小峰 小峰骑车到半路 车坏了 小峰只好打的去小宝家 这时小峰又发现出租车也是 每隔 9 分钟超越一辆公交车 已知出租车的速度是小峰骑车速度的 5 倍 那么如果公交车 的发车时间间隔和行驶速度固定的话 公交车的发车时间间隔为多少分钟 3 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长 他们拿了两块跑表 小英用一块表记 下了火车从她面前通过所花的时间是 15 秒 小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆 到车尾过第二根电线杆所花的时间是 20 秒 已知两电线杆之间的距离是 100 米 你能帮助小 英和小敏算出火车的全长和时速吗 4 一条单线铁路上有A B C D E 5 个车站 它们之间的路程如图所示 单位 千米 两列火 车同时从A E两站相对开出 从A站开出的每小时行 60 千米 从E站开出的每小时行 50 千 米 由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道 要使对面开来的列车通过 必须在车站停车 才 能让开行车轨道 因此 应安排哪个站相遇 才能使停车等候的时间最短 先到这一站的那一 列火车至少需要停车多少分钟 5 乙船顺水航行 2 小时 行了 120 千米 返回原地用了 4 小时 甲船顺水航行同一段水路 用了 3 小时 甲船返回原地比去时多用了几小时 6 一条小河流过A B C三镇 A B两镇之间有汽船来往 汽船在静水中的速度为每小时 11 千米 B C两镇之间有木船摆渡 木船在静水中的速度为每小时 3 5 千米 已知A C两镇水路 16 相距 50 千米 水流速度为每小时 1 5 千米 某人从A镇上船顺流而下到B镇 吃午饭用去 1 小时 接着乘木船又顺流而下到C镇 共用 8 小时 那么A B两镇间的距离是多少千米 7 现在是 10 点 再过多长时间 时针与分针将第一次在一条直线上 8 有一座时钟现在显示 10 时整 那么 经过多少分钟 分针与时针第一次重合 再经过 多少分钟 分针与时针第二次重合 9 某科学家设计了只怪钟 这只怪钟每昼夜 10 时 每时 100 分 如右图所示 当 这只钟显示 5 点时 实际上是中午 12 点 当这只钟显示 6 点 75 分时 实际上是什么 时间 10 手表比闹钟每时快 60 秒 闹钟比标准时间每时慢 60 秒 8 点整将手表对准 12 点整手表显示的时间是几点几分几秒 11 甲 乙二人分别从 A B 两地同时出发 相向而行 甲 乙的速度之比是 4 3 二 人相遇后继续行进 甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回 已知二人第二次相 遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米 则 A B 两地相距多少千米 12 B 地在 A C 两地之间 甲从 B 地到 A 地去送信 甲出发 10 分后 乙从 B 地出发到 C 地去送另一封信 乙出发后 10 分 丙发现甲 乙刚好把两封信拿颠倒了 于是他从 B 地出 发骑车去追赶甲和乙 以便把信调过来 已知甲 乙的速度相等 丙的速度是甲 乙速度 的 3 倍 丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间 13 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而行 出发时 甲 乙的速度之比是 5 4 相遇后甲的速度减少 20 乙的速度增加 20 这样当甲到达 B 地时 乙离 A 地还有 10 千米 那么 A B 两地相距多少千米 13 在一圆形跑道上 甲从 A 点 乙从 B 点同时出发反向而行 6 分后两人相遇 再过 4 分甲到达 B 点 又过 8 分两人再次相遇 甲 乙环行一周各需要多少分 14 一辆汽车从甲地开往乙地 每分钟行 750 米 预计 50 分钟到达 但汽车行驶到路程的 时 出了故障 用 5 分钟修理完毕 如果仍需在预定时间内到达乙地 汽车行驶余下的 3 5 路程时 每分钟必须比原来快多少米 15 狗跑 5 步的时间马跑 3 步 马跑 4 步的距离狗跑 7 步 现在狗已跑出 30 米 马开始追 它 问 狗再跑多远 马可以追上它 17 16 甲乙辆车同时从 a b 两地相对开出 几小时后再距中点 40 千米处相遇 已知 甲车行 完全程要 8 小时 乙车行完全程要 10 小时 求 a b 两地相距多少千米 17 在一个 600 米的环形跑道上 兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步 两人每隔 12 分钟相遇一次 若两个人速度不变 还是在原来出发点同时出发 哥哥改为按逆时针方 向跑 则两人每隔 4 分钟相遇一次 两人跑一圈各要多少分钟 18 慢车车长 125 米 车速每秒行 17 米 快车车长 140 米 车速每秒行 22 米 慢车在前 面行驶 快车从后面追上来 那么 快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间 19 在 300 米长的环形跑道上 甲乙两个人同时同向并排起跑 甲平均速度是每秒 5 米 乙平均速度是每秒 4 4 米 两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米 20 一个人在铁道边 听见远处传来的火车汽笛声后 在经过 57 秒火车经过她前面 已知 火车鸣笛时离他 1360 米 轨道是直的 声音每秒传 340 米 求火车的速度 得出保留整 数 21 猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔 马上紧追上去 猎犬的步子大 它跑 5 步的路程 兔子要跑 9 步 但是兔子的动作快 猎犬跑 2 步的时间 兔子却能跑 3 步 问猎犬至少跑多少米才能追上兔子 正确的答案是猎犬至少跑 60 米才能追上 22 AB 两地 甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4 5 如果甲乙二人分别同时从 AB 两地相对行使 40 分钟后两人相遇 相遇后各自继续前行 这样 乙到达 A 地比甲到达 B 地 要晚多少分钟 23 甲乙两车同时从 AB 两地相对开出 第一次相遇后两车继续行驶 各自到达对方出发点 后立即返回 第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 1 5 已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米 AB 两地相距多少千米 24 一船以同样速度往返于两地之间 它顺流需要 6 小时 逆流 8 小时 如果水流速度是每 小时 2 千米 求两地间的距离 25 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 快车每小时行 33 千米 相遇是已行了全程的七 分之四 已知慢车行完全程需要 8 小时 求甲乙两地的路程 26 小华从甲地到乙地 3 分之 1 骑车 3 分之 2 乘车 从乙地返回甲地 5 分之 3 骑车 5 分之 2 乘车 结果慢了半小时 已知 骑车每小时 12 千米 乘车每小时 30 千米 问 甲乙两地相距 多少千米 八 比例问题八 比例问题 跟知识握握手跟知识握握手 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用 这一 部分内容也是小升初考试的重要内容 故学生应该掌握的知识有 1 1 比和比例的性质 比和比例的性质 性质 1 若a b c d 则 a c b d a b c d 性质 2 若a b c d 则 a c b d a b c d 性质 3 若a b