矩阵与伴随矩阵的关系

方阵与其伴随矩阵的关系 A A 摘 要 本文给出了阶方阵的伴随矩阵 A的定义 讨论了 阶方阵与其伴随矩阵 A 之间的关nAnA 系 例如与之间的关系 并且给出了相应的证明过程 A A 关键词 矩阵 伴随矩阵 关系 证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵 伴随矩阵 它们之间有很好的联系 对我们以后的学 习中有很大的用处 1 伴随矩阵的定义 设阶方阵n 令 其中是 nnnn n n nn ij aaa aaa aaa aA 21 22212 12111 nnnn n n nn ij AAA AAA AAA AA 21 22212 12111 ij A 的代数余子式 则称 A 为的伴随矩阵 ij aA 2 矩阵与其伴随矩阵的关系及其证明 A A 2 1 当可逆时 有 即 1 AAAA AIdetA 1 det 1 A A A 1 det AAA 证明 因为 0 det 2211 ji jiA AaAaAa jninjiji 若 若 0 det 2211 ji jiA AaAaAa njnijiji 若 若 所以 AAAA A A A det00 0det0 00det AIdet 当是可逆矩阵时 所以由上式得A0det A det 1 A A AAA A det 1 I 即 1 det 1 A A A 证毕 2 2 显然 T A T A 2 3 若可逆 则 显然 A 1 A 1 A 2 4 设为阶方阵 则 2 An 2 n nArn nAr nAr Ar11 10 引理 1 若矩阵 满足 则 2 nnnAB0 AB nBrAr 证明 因为 所以的列向量是以为系数矩阵的齐次线性方程的解向量 若 则0 ABBA nAr 由克拉默法则知 方程只有零解 从而 进而 0det A0 B 0 Br 若 则方程组的基础解系中含个向量 于是 因此有 nrAr rn rnBr nBrAr 证毕 下面证明 2 4 当时 的每一个阶代数余子式都为零 所以 A 为零阵 所以 1 nArA1 n 0 Ar 当时 由引理 1 知 因为 1 nAr0det A AAAIdet0 Ar nAr 则 知至少有一个阶子式不为零 即 A 至少有 1 nAr 11 nnArA1 n 一行不全为零 所以 因为 从而 1 Ar 1 Ar 1 Ar 当时 可逆 由 1 知 A 也可逆 所以 nAr A nAr 证毕 2 5 1 detdet n AA 当可逆时 A 1 det AAA 所以 1 detdetdet AAA n 1 det n A 当不可逆时 A 1 nAr0det A 1 当时2 n 由 2 4 知 所以 1 nAr 0 Ar0det A 则 1 nAr nAr 1 0det A 0detdet 1 n AA 2 当时 即 则 1 n0det A0 A0det A 0detdet 1 n AA 证毕 2 6 当可逆时 若为的特征值 则是的特征值 当时 的特征值为A 0 A 0 det A A 1 nAr A 零 并是重的 n 引理 2 设可逆 若为的特征值 则是的特征值 A 0 A 0 1 1 A 证明 若 则由得到 于是 这与可逆矛盾 所0 0 0 0 AE 01 AA n 0 AA 以 0 0 同时由还有0 0 AE 1 0 0 1 0 1 00 1 1 110 AEAEEAAEA nnn 因此 即 是的特征值 0 1 1 0 AE 0 1 1 A 引理证毕 下面证明 2 6 不妨设的特征值为 则由有 A AEAAdet 这说明是的特征值 1 1 0 AE A AAAEAE n 0 A A 1 A 由引理 2 知 所以 即是的特征值 0 1 A 0 A 0 A A 若 即 时 所以的特征值且是重的 0 Ar 1 nAr0 A A0 n 2 7 若为可逆矩阵 则也是可逆矩阵 A A 证明 由 2 1 即可得到此结论 2 8 若为对称矩阵 则也是对称矩阵 A A 2 9 ABAB 证明 当 均可逆时 所以AB 1 det AAA 1 det BBB 111 det det ABABABABABAB 当 不都可逆时 则当足够大时 存在使得 均可逆 此时有A Bxx n xIA n xIB 这是关于的恒等式 即取零 nnnn xIAxIBxIBxIA xx 时 该等式也成立 即 ABAB 证毕 2 10 若为正交矩阵 则也是正交矩阵 A A 证明 若为正交矩阵 则且 由 2 2 知 再由 2 9AIAAAA TT 1det A T T AAAA 知 所以也是正交矩阵 IIAAAAAA TT T A 证毕 2 11 其中是阶方阵 AAA n 2 An 2 n 证明 因为 所以EAAAAA 1 当时 则0 A 1 AAA 1 11 1 AAAAAAA AAA A AA A A AA nn n 2 11 1 11 1 1 2 当时 由 2 4 知 0 A 1 Ar 当时 故 2 n 0 Ar AAA n 2 当时 令 则