2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§1

知识点一 命题的概念 在数学中 把用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真 的语句叫做真命题 判断为假的语句叫做假命题 知识点二 四种命题的关系 知识点三 四种命题的真假性关系 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 结论 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 结论 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 知识点四 充分条件与必要条件 1 若 p q 则 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 2 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的充要条件 3 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的充分不必要条件 4 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的必要不充分条件 5 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 题型一 命题及其关系 例 1 1 已知 a b c R 命题 a b c 3 则 a2 b2 c2 3 的否命题是 A 若 a b c 3 则 a2 b2 c2 3 B 若 a b c 3 则 a2 b2 c2 3 C 若 a b c 3 则 a2 b2 c2 3 D 若 a2 b2 c2 3 则 a b c 3 2 命题 若 x 3 则 x2 2x 3 0 的逆否命题是 A 若 x 3 则 x2 2x 3 0 B 若 x 3 则 x2 2x 3 0 C 若 x2 2x 3 0 则 x 3 D 若 x2 2x 3 0 则 x 3 答案 1 A 2 C 解析 1 根据四种命题的定义可得 感悟与点拨 1 熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键 2 根据 原命 题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进 行时 可转化为判断其等价命题的真假 3 判断一个命题为假命题可举反例 跟踪训练 1 1 命题 若 则 cos 的逆命题是 3 1 2 A 若 则 cos 3 1 2 B 若 则 cos 3 1 2 C 若 cos 则 1 2 3 D 若 cos 则 1 2 3 2 下列命题 若 a b 则 a 是 a2 的 1 a2 1 a A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 2016 年 10 月学考 已知非零向量 a b 则 a b 是 a b a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 1 A 2 B 解析 1 由 a 知 a 0 1 a2 a2 1 a a 是 a2 的充分条件 1 a2 1 a 由 a2 不能确定 a 0 还是 a 1 a2 a 不是 a2 的必要条件 1 a2 1 a 2 由 a b 显然推不出 a b a b 比如 a 0 且 a 1 则 a 1 是 loga b 则 a b 0 是 a b 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件 答案 1 A 2 C 3 C 解析 1 当 a 1 时 有 loga logaa 1 1 2 所以充分性成立 当 loga 1 时 即 loga1 时 上式恒成立 当 0 a 1 时 解得 0 a1 或 0 a b 得 a2 b2 0 即 a b a b 0 由Error 得 a b 0 又Error 得 a b 0 a b 0 是 a b 0 的充要条件 题型三 根据充要条件求参数范围 例 3 1 已知 x a 1 是 x2 6x 0 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围是 答案 1 5 解析 x a 1 a 1 x a 1 x2 6x 0 0 x 6 又 x a 1 是 x2 6x 0 的充分不必要条件 Error 或Error 1 a 5 2 已知集合 A Error B x x m2 1 若 x A 是 x B 的充分条件 求实数 m 的取值范围 解 y x2 x 1 2 3 2 x 3 4 7 16 因为 x 所以 y 2 3 4 2 7 16 所以 A Error 由 x m2 1 得 x 1 m2 所以 B x x 1 m2 因为 x A 是 x B 的充分条件 所以 A B 所以 1 m2 7 16 解得 m 或 m 3 4 3 4 故实数 m 的取值范围是 3 4 3 4 感悟与点拨 集合与充要条件综合问题 一般先化简集合 然后根据充要条件建立等式或者 不等式 进而求出参数的取值范围 跟踪训练 3 已知 p x a 5 q x2 6x 8 0 若 x p 是 x q 的必要不充分条件 求实 数 a 的取值范围 解 对于 p 不等式 x a 5 的解集为 5 a x 5 a 对于 q 不等式 x2 6x 8 0 的解集为 2 x 4 x p 是 x q 的必要不充分条件 x 2 x 4 x 5 a x 5 a 即Error 或Error 可得 1 a 7 实数 a 的取值范围是 1 7 一 选择题 1 已知 a b R 命题 若 a b 1 则 a2 b2 的否命题是 1 2 A 若 a2 b2 则 a b 1 1 2 B 若 a b 1 则 a2 b2 1 2 C 若 a b 1 则 a2 b2 1 2 D 若 a2 b2 则 a b 1 1 2 答案 C 解析 a b 1 a2 b2 的否定分别是 a b 1 a2 b2 1 2 1 2 故否命题为 若 a b 1 则 a2 b22 则不等式 x2 2x m 0 的解集为 R 其中真命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 对于 原命题为假 所以逆否命题为假 对于 逆命题为 菱形是正方形 是假命题 所以否命题为假命题 对于 4 4m 当 m 2 时 0 的解集为 R 为真命题 故选 B 4 已知 p x2 x 0 那么 p 的一个必要不充分条件是 A 0 x 1 B 1 x 1 C x D x 2 1 2 2 3 1 2 答案 B 解析 p 0 x 1 0 x 1 1 x 1 1 x 1D 0 x0 且 a 1 则 logab 0 是 a 1 b 1 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为 logab 0 等价于Error 或Error 而 a 1 b 1 0 等价于Error 或Error 故选 A 6 m 2 018 是 直线 mx m 2 017 y 2 0 和直线 x my 5 0 垂直 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 7 2017 年 11 月学考 已知 a b 是实数 则 a 1 且 b 1 是 a2 b2 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 8 2018 年 6 月学考 已知直线 l m 和平面 m 则 l m 是 l 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 9 a 1 是 函数 f x x a 在区间 1 上为增函数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 a 1 得 f x Error 所以 f x 在 1 上为增函数 由 f x 在 1 上为增函数 得 a 1 10 2016 年 4 月学考 设 n N 则 数列 an 为等比数列 是 数列为等比数列 的 1 a2 n A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 an 是等比数列 设公比为 q 则 q an 1 an 由 1 a 2n 1 1 a2 n a2 n a 2n 1 2 an an 1 1 q2 为等比数列 1 a2 n 则 数列 an 为等比数列 是 数列为等比数列 的充分条件 1 a2 n 若数列 an 的通项公式为 an Error 数列 an 不是等比数列 而 1 故是等比数列 1 a2 n 1 a2 n 数列 an 为等比数列 是 数列为等比数列 的不必要条件 1 a2 n 数列 an 为等比数列 是 数列为等比数列 的充分不必要条件 1 a2 n 二 填空题 11 命题 若 ab 0 则 a b 中至少有一个为零 的逆否命题是 答案 若 a b 都不为零 则 ab 0 12 若不等式 x m 1 成立的充分不必要条件是 x 则实数 m 的取值范围是 1 3 1 2 答案 1 2 4 3 解析 设 A Error B x m 1 x m 1 则 A 是 B 的真子集 Error 等号不同时成立 解得 m 1 2 4 3 13 若集合 A x x2 x 2 0 B x 2 x 1 解析 A x 1 x 2 B x 2 x 1 14 下列四个结论中 0 是 a 0 的充分不必要条件 在 ABC 中 AB2 AC2 BC2 是 ABC 为直角三角形 的充要条件 若 a b R 则 a2 b2 0 是 a b 全不为零 的充要条件 若 a b R 则 a2 b2 0 是 a b 不全为零 的充要条件 正确的是 填序号 答案 解析 由 0 可以推出 a 0 但是由 a 0 不一定能推出 0 成立 所以 正确 由 AB2 AC2 BC2可以推出 ABC 是直角三角形 但是由 ABC 是直角三角形不能确定哪 个角是直角 所以 不正确 由 a2 b2 0 可以推出 a b 不全为零 反之 由 a b 不全为零可以推出 a2 b2 0 所以 不 正确 正确 三 解答题 15 已知集合 A x x 3 或 x 2 B x x a 或 x 2a a 1 又 a 0 1 a 0 16 已知集合 A x x2 4x 5 0 x R B x