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函数的单调性与极值函数的单调性与极值 教学目标 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理 掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点 利用导数判断函数单调性 教学难点 利用导数判断函数单调性 教学过程 一 引入 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设 x1 x2 的前提下 比较 f x1 0 时 函数 y f x 在区间 2 内为增函数 在区间 2 内 切线的斜率为负 函数 y f x 的值随着 x 的增大而减小 即 y 0 时 函 数 y f x 在区间 2 内为减函数 定义 一般地 设函数 y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内 y 0 那么函数 y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 y 1 xf o aX0 b x y 0 x f 0 x f 0 x f o aX0 b x y 0 x f 0 x f 0 x f x o y 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最 大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 由上图可以看出 在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有 0 x f 但反过来不一定 如函数 3 xy 在 0 x 处 曲线的切线是水平的 但这点的 函数值既不比它附近的点的函数值大 也不比它附近的点的函数值小 假设 0 x 使 0 0 x f 那么 0 x 在什么情况下是的极值点呢 如上左图所示 若 0 x 是 xf 的极大值点 则 0 x 两侧附近点的函数值必须小于 0 xf 因此 0 x 的左侧附近 xf 只能是增函数 即 0 x f 0 x 的右侧附近 xf 只能是减函数 即 0 x f 同理 如上右图所示 若 0 x 是极小值点 则在 0 x 的左侧附近 xf 只能是减函数 即 0 x f 在 0 x 的右侧附近 xf 只能是增函数 即 0 x f 从而我们得出结论 若 0 x 满足 0 0 x f 且在 0 x 的两侧 xf 的导数异号 则 0 x 是 xf 的极值点 0 xf 是极 值 并且如果 x f 在 0 x 两侧满足 左正右负 则 0 x 是 xf 的极大值点 0 xf 是极大 值 如果 x f 在 0 x 两侧满足 左负右正 则 0 x 是 xf 的极小值点 0 xf 是极小值 例 3 求函数 44 3 1 3 xxy 的极值 三 小结 1 求极值常按如下步骤 确定函数的定义域 求导数 求方程 y 0 的根 这些根也称为可能极值点 检查在方程的根的左右两侧的符号 确定极值点 最好通过列表法 四 巩固练习 1 确定下列函数的单调区间 1 752 2 xxy 2 3 3xxy 2 求下列函数的极值 1 67 2 xxy 2 xxy52 2 3 xxy27 3 4 32 3xxy 五 课堂作业 1 确定下列函数的单调区间 1 24 xy 2 2 1 xy 3 52 2 xxy 4 xxxy 23 2 求下列函数的极值 1 10
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