数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案数学物理方程期末考试试题及答案 一 求解方程 15 分 0 0 0 2 xu xu uau atx atx xxtt 其中 0 0 解 设则方程变为 atx atx 8 由边值条件可得 0 u atxGatxFu 0 2 2 0 xGxFxxGF 由即得 0 0 0 2 2 atxatx txu 二 利用变量分离法求解方程 15 分 0 0 0 00 0 2 xuxu tuu Qtxuau ttt lxx xxtt 其中 为常数lx 00 a 解 设代于方程得 tTxXu 8 0 XX 0 2 TaT xCxCX sincos 21 atCatCT sincos 21 由边值条件得 2 1 0 l n C l xn atAatBu n n n sin sincos 1 l n dx l xn x l B 0 sin 2 l n dx l xn x an A 0 sin 2 三 证明方程具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与0 2 cuuau xxt 0 c 稳定性 15 分 证明 设代入方程 uev ct 0 0 21 0 2 tgtlvtgtv xv vav t xxt 设都是方程的解设代入方程得 21 v v 21 vvv 0 0 0 0 0 2 tlvtv v vav t xxt 由极值原理得唯一性得证 8 由0 v 稳定性得证由知的唯一性稳定性 21 vv 21 vvuev ct u 得证 四 求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题 15 分 0 0 zuuuu zzyyxx 0 xfu z 解 设是上半平面内一点 在该点放置单位点电荷 其对称点 p 格林函数 p 222 1 4 1 zyx yxG 222 1 4 1 zyx 2 3222 0 2 yxz G n G z 方程的解 dx yx yx u R 2 2 3222 2 五 证明下列初边值问题解的唯一性 20 分 2 tyxfuuau yyxxtt 0 yxu t 0 yxu tt tyxgu 其中为的边界 0 yxt 解 设都是方程的解设代入方程得 21 u u 21 uuu 0 2 yyxxtt uuau 0 0 t u 0 0 tt u 0 u 设 2 1 tEdxdyuuau yxt 22 2 2 dt tdE 2dxdyuuuuauu ytyxtxttt 2 2dxdyuuauu yyxxttt 2 10 0 由边值条件得 20 0 0 EtECu 0 u 六 考察边值问题 n i xi fuxcuxbu i 1 0 n u 试证当充分负时 其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性 20 分 xc 证明 在原方程两边同乘以然后在上积分 u uu n i xi dxfudxuxcuuxb i 1 2 由格林公式dxuu ds n u dxDu 2 dxDu 2 由不等式Young dxuu n i xi 1 dxu n i xi 2 1 2 dxu n 2 2 又故得估计 dxudxffudx 22 2 1 2 1 10 dxfCdxuu n i xi