圆锥曲线.05圆锥曲线中点弦-垂直平分线.知识讲解教师版

高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 1 of 11 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 2014 年一轮复习 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 2 of 11 中点弦 垂直平分线 2014 年高考怎么考 要求层次 内容明细内容 了解理解掌握 椭圆的定义与标准方程 椭圆的简单几何意义 抛物线的定义及其标准方程 抛物线的简单几何意义 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系 自检自查必考点 弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维 首先弄清楚哪个是弦 哪个是对称轴 用到的知识 是 垂直 两直线的斜率之积为 1 和平分 中点坐标公式 1 垂直问题 一般是利用斜率公式及韦达定理求解 设 是直线与曲线的两个交点 11 A x y 22 B xy 为坐标原点 O 1 则 OAOB 1 212 0 x xy y 2 若 则 00 P xyAPBP 01020102 0 xxxxyyyy 2 弦中点问题 除利用韦达定理外 也可以运用 代点作差法 但必须以直线与圆锥曲线相交为前 提 否则不宜用此法 1 设椭圆或双曲线方程 上两点 的中点为 则 22 1 xy mn 11 A x y 22 B xyAB 00 P xy 0 0 2 2 AB yn k xm 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 3 of 11 2 掌握抛物线上两点连线的斜率公式 2 0 xmy m 1122 A x yB xy 12 AB xx k m 3 解析几何的运算中 常设一些量而并不解解出这些量 利用这些量过渡使问题得以解决 这种方 法称为 设而不求法 设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题 常用 点差法 即设弦的两个端点 弦中点为 将点坐标代入圆锥曲线方程 作 1122 A x yB xyAB 00 M xyAB 差后 产生弦中点与弦斜率的关系 这是一种常见的 设而不求 法 具体有 1 与直线相交于 A B 设弦 AB 中点为 M x0 y0 则有 22 22 1 0 xy ab ab 00 22 0 xy k ab 2 与直线 l 相交于 A B 设弦 AB 中点为 M x0 y0 则有 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 22 0 xy k ab 3 y2 2px p 0 与直线 l 相交于 A B 设弦 AB 中点为 M x0 y0 则有 2y0k 2p 即 y0k p 中点弦常考题型 P Q B A O y x 1 1 PQ AB PBPAPQABk k 设 注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为的 其它点不要随便设为 1122 A x yB xy 12 x x 为弦的中点 1122 A x yB xyQAB 设直线方程为 不要设为 因为在椭圆标准方程中会出现 ykxm ykxb b 联立直线与椭圆方程 消去 得 即 22 22 1 ykxm xy ab y 22 22 1 xkxm ab 22 2 2222 12 10 kkmm xx abbb 设 则 1122 A x yB xy 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 4 of 11 2222 2 22222222 2 12 2 22 2 2 1 2 2 22 211 4 1 4 0 2 1 1 1 kmkmmk babba bab km b xx k ab m b x x k ab 中的高次项是可消去的 2 12 2 22 21 Q km xx b x k ab 222 22222 222 222222 111 QQ k mk mmk mm bbaba ykxmm kkk ababab 由求分子是可消去的 Q x Q y 故中点的坐标为Q 22 22 2222 11 kmm ba kk abab 定点设为 则 P s t 2 22 22222 2 2 222 2 22 11 1 1 Q PQ Q m a t kmk t yt abaab k km xskmk s b bab s k ab 故 2 222 2 222 1 1 1 mk t aab kkmk s bab 22 222222 11 kmkkmk kts aabbab 2 2222 111 k kmkts abab 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 5 of 11 y x Q O P B A 2 以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上 OA OB P 1212 22 QQ xxyy xy 易知点坐标P 2 12 2 22 2 2 1 PQ km b xxxx k ab 2 2 121212 2 22 2 2 22 1 PQ k m b yyyykxmkxmk xxmm k ab 22 2222 22 2222 2222 11 k mmk mm baba kk abab 注意 1 不能把代入方程中求 因为点不在直线上 P xykxm P yP 2 由求分子是可消去的 P x P y 故在椭圆上 22 22 2222 22 11 kmm ba P kk abab 则 22 22 22 2222 22 22 11 1 kmm ba kk abab ab 两边同时乘以得 2 2 22 1 k ab 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 6 of 11 2222 2 222222 441 k mmk a ba bab 22 22 2222 41 1 mk k a bab l O y x N M Q B A 3 弦的垂直平分线交轴分别为点AB x y N M 中点的坐标为 垂直平分线方程为Q 22 22 2222 11 kmm ba kk abab 22 22 2222 1 11 mkm ab yx kkk abab 令 得到点坐标为 令 得到点坐标为0 x M 22 2 22 11 0 1 m ab k ab 0y N 22 2 22 11 0 1 km ab k ab 例 1 过点的直线与双曲线相交于两点 求线段中点的轨迹方程 21A 2 2 1 2 y x 12 PP 1 2 PP 解析 设 则代入双曲线方程 111 P xy 222 P xy 例题精讲 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 7 of 11 两式相减得 即 2112 2112 2 yyyy xxxx 2112 2112 2 yyxx xxyy 设的中点为 则 1 2 PP 00 M xy 1 2 021 210 2 PP xyy k xxy 又 而共线 0 0 1 2 AM y k x 12 PAMP 即 1 2 PPAM kk 00 00 12 2 yx xy 中点 M 的轨迹方程是 1 2 PP 22 240 xyxy 例 2 已知直线与椭圆相交于两点 且线段的中点在直线1yx 22 22 1 0 xy ab ab AB AB 上 20l xy 求此椭圆的离心率 若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆上 求此椭圆的方程 l 22 4xy 解析 设两点的坐标分别为则由 得AB 1122 A x yB xy 22 22 1 1 yx xy ab 2222222 20abxa xaa b 根据韦达定理 得 22 121212 2222 22 2 ab xxyyxx abab 线段的中点坐标为 代入得 AB 22 2222 ab abab 20l xy 22 2ac 故椭圆的离心率为 2 2 e 由 知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点 bc 0 F b 0 F b 20l xy 为则且解得 且 00 xy 0 0 0 1 1 2 y xb 00 20 22 xby 0 3 5 xb 0 4 5 yb 由已知得 故所求的椭圆方程为 22222 00 34 4 4 4 55 xybbb 22 1 84 xy 例 3 已知椭圆的离心率 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 e 4 求椭圆的方程 设直线 与椭圆相交于不同的两点 已知点的坐标为 点在线段的l A BA 0 a 0 0 QyAB 垂直平分线上 且 求的值4QA QB A 0 y 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 8 of 11 来源 2010 天津 解析 由 得 再由 得 3 e 2 c a 22 34ac 222 cab 2ab 由题意可知 即 1 224 2 ab 2ab 解方程组得 所以椭圆的方程为 2 2 ab ab 2 1ab 2 2 1 4 x y 由 可知 设点的坐标为 直线 的斜率为 2 0A B 1 1 xy lk 则直线 的方程为 于是 A B 两点的坐标满足方程组l 2yk x 2 2 2 1 4 yk x x y 由方程组消去并整理 得y 2222 14 16 164 0kxk xk 由得从而 2 1 2 164 2 14 k x k 2 1 2 28 14 k x k 1 2 4 14 k y k 设线段是中点为 则的坐标为ABMM 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当时 点的坐标为 线段的垂直平分线为轴 于是0k B2 0 ABy 由得 00 2 y 2 QAQBy 4QA QB A 0 2y 2 2 当时 线段的垂直平分线方程为0k AB 2 22 218 y 1414 kk x kkk 令 解得 由0 x 0 2 6 14 k y k 0110 2 y QAQBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A 整理得故所以 综上或 2 72 k 14 7 k 0 2 14 5 y 0 2 2y 0 2 14 5 y 例 4 已知椭圆 的左焦点为 离心率为 过点的直线与椭圆交C 22 22 1 0 xy ab ab 10F 2 2 FC 于两点 AB 求椭圆的方程 C 设过点不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点 线段的垂直平分线与轴交于点FCAB ABx 求点横坐标的取值范围 GG 来源 2011 昌平二模文 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版Page 9 of 11 解析 由题意可知 1c 222 abc 2 2 c e a 解得 故椭圆的方程为 2 1ab 2 2 1 2 x y 设直线的方程为 AB 1 0 yk xk 联立 得整理得 2 2 1 1 2 yk x x y 2222 12 4220kxk xk 直线过椭圆的左焦点 ABF 方程有两个不等实根 记的中点 1122 A x yB xyAB 00 N xy 则 2 12 2 4 12 k xx k 1212 00 22 xxyy xy 垂直平分线的方程为 NG 00 1 yyxx k 令 222 00 2222 211 0 221212142 G kkk yxxky kkkk 得 1 0 0 2 G kx 横坐标的取值范围 G 点 1 0 2 例 5 已知椭圆的离心率为 椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之 22 22 1 0 xy Cab ab 6 3 C 和为 6 求椭圆的方程 C 设直线与椭圆交与两点 点 且 求直线 的方程 2l ykx C A B 0 1 PPAPB l 来源 2010 西城二模文 解析 由已知 解得 26a 6 3 c a 3a 6c 所以 所以椭圆的方程为 222 3bac C 22 1 93 xy 由得 22 1 93 2 xy ykx 22 13 1230kxkx 直线与椭圆有两个不同的交点 所以 解得 22 14412 13 0kk 2 1 9 k 高考解决方案第一阶段 一轮复习课程 圆锥曲线 05 圆锥曲线中点弦 垂直平分线 知识讲解教师版 Page 10 of 11 设 则 11 A x y 22 B xy 12 2 12 13 k xx k 1 2 2 3 13 x x k 计算 1212 22 124 44 1313 k yyk xxk kk 所以 中点坐标为 A B 22 62 1313 k E kk 因为 所以 所以 PAPB PEAB 1 PEAB kk 2 2 2 1 13 1 6 13 k k k k 解得 经检验 符合题意 1k 所以直线的方程为或 l20 xy 20 xy 例 6 已知抛物线的焦点为 2 4yx F 若直线过点 且到直线的距离为 求直线 1 2 2 ykbx k 4 0M F 2 22k b k 2 的方程 40 xky 设为抛物线上两点 且不与轴垂直 若线段中点的横坐标为 求证 线段AB ABxAB2 的垂直平分线恰过定点 AB 来源 山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文 解析 由已知 不合题意 设直线的方程为 4x 40 xky 4 yk x 由已知 抛物线的焦点坐标为 因为点到直线的距离为 所以 10 F40 xky 2 2 3 2 1 k k 解得 所以直线的斜率为 所以直线的方程为 2 5 5 k 40 xky 2 5 5 2 5 4 5 yx 设坐标为 AB 11 A x y 22 B xy 因为不垂直于轴 设直线的方程为 ABxABykxb 联立方程 消去得 2 4yx ykxb y 222 24 0k xbkxb 因为中点的横坐标为 故 整理得 12 2 42bk xx k AB2 2 42 4 bk k 2 22k b k 由中点的坐标为 得 垂直平分线