数学建模-聚类分析因子分析实例

多元统计分析中的降维方法在四川省社会福利中的应用 由于计算机的发展和日益广泛的使用 多元分析方法也很快地应用到社会 学 农业 医学 经济学 地质 气象等各个领域 在国外 从自然科学到社 会科学的许多方面 都已证实了多元分析方法是一种很有用的数据处理方法 在我国 多元分析对于农业 气象 国家标准和误差分析等许多方面的研究工 作都取得了很大的成绩 引起了广泛的注意 在许多领域的研究中 为了全面 系统地分析问题 对研究对象进行综合评价 我们常常需要考虑衡量问题的多 个指标 即变量 由于变量之间可能存在着相关性 如果采用一元统计方法 把多个变量分开 一次分析一个变量 就会丢失大量的信息 研究结果也会偏 差很大 因此需要采用多元统计分析的方法 同时对所有变量的观测数据进行 分析 多元统计分析就是一种同时研究多个变量之间的相互关系 经过对变量 的综合处理 充分提取变量之间的信息 进行综合分析和评价的统计方法 多 元统计分析法主要包括降维 分类 回归及其他统计思想 一 多元统计分析方法中降维的方法 1 概述 多元统计分析方法是同时对多个变量的观察数据做综合处理和分析 在不 损失有价值信息的情况下 简化观测数据或数据结构 尽可能简单地将被研究 对象描述出来 使得对复杂现象的解释变得更容易些 同时 采用多元统计分 析中的聚类分析或判别分析可以对变量或样品进行分类与分组 根据所测量的 特征和分类规则将一些 类似的 对象或变量分组 多元统计分析也可以研究 变量间依赖性 即对变量间关系的本质进行研究 是否所有的变量都相互独立 还是一个变量或多个变量依赖于其他变量 它们又是怎样依赖的 通过观测变量 数据的散点图 我们可以建立多元回归统计模型 确定出变量之间具体的依赖 关系 进而可以根据某些变量的观测值预测另一个或另一些变量的值对事物现 象的发展作预测 最后我们需要构造假设 并对所建立的以多元总体参数形式 陈述的多种特殊统计假设进行检验 在多元统计分析方法中数据简化或结构简化 实质上就是数学中的降维方 法 多元统计分析中的降维方法主要包括聚类分析 判别分析 主成分分析 因子分析 对应分析和典型相关分析等几种方法 其中主成分分析和因子分析 是在作综合评价方面应用最广泛 较为有效的方法 本文主要介绍这两种多元 统计分析方法的应用 2 主成分分析 2 1 主成分分析的基本思想 在大部分实际问题中 需要考察的变量多 变量之间是有一定的相关性 的 主成分分析就是以损失很少部分信息为代价 保留绝大部分信息的前提下 将原来众多具有一定线性相关性的个指标压缩成少数几个互不相关的综合指p 标 主成分 并通过原来变量的少数几个的线性组合来给出各个主成分的具 有实际背景和意义的解释 由于主成分分析浓缩了众多指标的信息 降低了指 标的维度 从而简化指标的结构 深刻反映问题的内在规律 2 2 主成分分析的数学模型 设对某一事物的研究涉及指标 变量 这项指标构成 12 P XXX p 维的随机向量 其均值和协方差矩阵分别是 p 12 P XXXX X 对进行线性变换 原来的变量的线性组合可以形成新的综X 12 P XXX 合变量 用表示 满足 Y 11111221 22112222 1122 pp pp pppppp Yu Xu Xu X Yu Xu XuX Yu XuXuX 矩阵表示为 其中YUX 12 p YYYY 11121 12 p pppp uuu U uuu 12 p XXXX 由于不同的线性变换得到的综合变量的统计特性不同 为了达到较好的Y 效果 我们希望的方差尽可能大且新的综合变量之间相互独立 由 ii Yu X i Y 以下原则来确定新的综合变量 i Y 1 222 12 1 iiiiip u uuuu 1 2 ip 2 与相互独立 即无重复信息 i Y j Ycov 0 ij Y Y 1 2 ij i jp 3 是的一切线性组合 系数满足上述方程组 中方差最大的 1 Y 12 P XXX 是与不相关的的一切线性组合中方差最大的 与 2 Y 1 Y 12 P XXX p Y 都不相关的的一切线性组合中方差最大的 121 p YYY 12 P XXX 在实际应用时 通常挑选前几个方差比较大的主成分 虽然这样做会丢失 一部分信息 但它使我们抓住了主要矛盾进行深入分析 并从原始数据中进一 步提出了某些新的信息 因而在某些实际问题的研究中得益比较大 这种既减 少了变量的个数又抓住了主要矛盾的做法有利于问题的分析和处理 2 3 总体主成分的导出及性质 在实际求解主成分时 常常是从原始变量的协方差矩阵或相关矩阵的结构 出发 而从两个出发点求解出的主成分不同 2 3 1 从协方差矩阵出发求解主成分 性质1 设矩阵 将的特征值依大小顺序排列 不妨设AA A 12 n 为矩阵各特征值对应的标准正交特征向量 则对 12n 12 p A 任意向量有 x 1 0 max x x Ax x x 0 min n x x Ax x x 性质2 设随机向量的协方差矩阵为 12 p XXXX 为的特征值 为矩阵各特征值对应的标准正交向 12p 12 p 量 则第 个主成分为 此时i 1122iiipip YXXX 1 2 ip var iiii Y cov 0 ijii Y Y 由以上性质 我们把原始变量的协方差矩阵的非零特 12 p XXXX 征值对应的标准化特征向量分别作为系数向量 12 0 p 12 p 即 分别为的第一主 11 YX 22 YX pp YX 12 p XXXX 成分 第二主成分 第主成分的充要条件是 p 1 即为阶正交阵 Y u X u uI up 2 的分量之间相互独立 Y 12 p YYY 3 的个分量方差依次递减 Yp 12 p YYY 于是随机向量与随机向量之间存在关 12 p XXXX 12 p YYYY 系式 11 1112111 2122222 22 12 p p pppppp pp u uuuXX uuuXX u Yu XX uuuXX u A 由于在无论的各特征值是否存在相等的情况 对应的标准化特征向量 总是存在 所以总是可以找到对应的各特征值的相互正交的特征向 12 p 量 故将主成分的求解转换为求解原始变量的协方差阵的 12 p XXXX 特征值和特征向量 性质3 第个主成分的方差贡献率为 反映主成k k Y 1 k kp i i a 1 2 kp 分提取原始变量总信息的百分比 k Y 性质4 主成分的累积贡献率为 反 12 k YYY 1 1 k i i p i i k kp 映主成分解释原始变量信息的百分比 12 k YYY 性质5 其中 称为主成分在原 1122iiipip Yr Xr Xr X 2 1 1 p ji j r ji r i Y 始变量上的载荷 它度量了对的重要程度 j X j X i Y 性质6 第 个主成分与原始变量的相关系数称为因子负荷量 i i Y j X ij Y X 表示主成分中包含原始变量信息的百分比 它与载荷成正比 i Y j X ji r 2 3 2 从相关矩阵出发求解主成分 为了消除原始变量不同量纲与数量级的影响 对原始变量作标准化变换 令 其中 分别表示变量的期望和方差 ii i ii X Z 1 2 ip i ii i X 令 11 1 22 2 00 00 00 pp B 则原始变量进行标准化变换为 1 1 2 ZBX 显然有 121 11 122 11 22 12 1 1 cov 1 p p pp ZBBR 设求解出相关阵的特征值与对应的标准正交特征向量 则求解出的主成R 分与原始变量的关系式为 1 1 2 iii YZBX 1 2 ip 2 4 样本主成分的导出 在实际研究工作中 总体协方差阵与相关阵通常是未知的 于是需要 R 通过样本数据来估计 设有个样品 每个样品有个指标 这样共得到个npnp 数据 原始资料矩阵为 11121 21222 12 p p nnnp xxx xxx X xxx 记 1 1 1 n kiikii k Sxxxx n 1 1 n iki k xx n ij p p Rr ij ij iijj s r s s 1 2 ip 样本协方差矩阵为总体协方差阵的无偏估计 样本相关阵为总体相关阵S R 的估计 若原始资料矩阵是经过标准化处理的 则由矩阵求得的协方差阵XX 就是相关矩阵 所以根据相关阵来求解主成分 SRR 根据总体主成分的定义 主成分的协方差是 12 p YYYY cov cov YuX uu u 其中为对角矩阵 1 2 00 00 00 p 假定资料矩阵为已经作了标准化处理后的数据矩阵 则可以由相关矩阵代XR 替协方差矩阵 则上式可表示为 uRu Ruu 即 1112111121111211 2122221222212222 121212 0 0 ppp ppp ppppppppppppp rrruuuuuu rrruuuuuu rrruuuuuu 整理为齐次方程组为 11111121211 21 112221221 1112121 0 0 0 pp pp pppppp rur ur u r urur u r ur uru 即 111121 212222 12 0 p p ppppp rrr rrr RI rrr 即所求的新的综合变量 主成分 的方差是特征方程组 i 1 2 ip 的个根 为相关矩阵的特征值 相应的各个是其特征向量的0RI p ij u 分量 特征值 其相应的特征向量记为 则相对 12 0 p 12 p 于的方差为 且协方差为 i Yvar var iii YX cov cov 0 ijij Y YXX 由此可有新的综合变量 主成分 彼此不相关 并且的 12 p YYY i Y 方差为 则 分别为 i 11 YX 22 YX pp YX 的第一主成分 第二主成分 第主成分 主成分 12 p XXXX p 的方差贡献就等于的相应特征值 利用样本数据求解主成分的过程就转化为R 求解相关阵或协方差阵的特征值和特征向量的过程 RS 2 5 主成分分析的步骤 2 5 1 将原始变量进行标准化处理 ii i ii X Z 2 5 2 计算标准化指标的相关系数矩阵R 2 5 3 求解相关系数矩阵的特征向量和特征值 R ijp p uu 12 0 p 2 5 4 计算各个主成分的方差贡献率及累积贡献率 k k 2 5 5 确定主成分的个数 通常根据实际问题的需要由累计贡献率的前个成分来代替原来 85 k k 个变量的信息 或选取所有特征值大于1的成分作为主成分 也可根据特征值p 的变化来确定 即根据SPSS输出的碎石图的转折点来决定选取主成分的个数 2 5 6 对确定出的主成分作出实际意义的解释 2 5 7 利用所确定出的主成分的方差贡献率计算综合评价值 从而对被评价对 象进行排名和比较 综合得分 各主成分得分各主成分所对应的方差贡献率 3 因子分析 3 1 因子分析的基本思想 因子分析是根据相关性大小把原始变量进行分组 使得同组内的变量之间 相关性高 而不同组的变量之间的相关性低 每组变量代表一个基本结构 即 公共因子 并用一个不可观测的综合变量来表示 对于所研究的某一具体问 题 原始变量分解为两部分之和 一部分是少数几个不可观测的公共因子的线 性函数 另一部分是与公共因子无关的特殊因子 3 2 因子分析的数学模型 设有个指标 则因子分析数学模型为 p 111 11221 221 12222 1 122 pp pp pppppp Xr Yr Yr Y Xr Yr Yr Y Xr Yr Yr Y 其中 是已标准化的可观测的评价指标 出现在每个 12 p XXX 12 k F FF 指标的表达式中 称为公共因子 公共因子是不可观测的 其含义要根据具 i X 体问题来解释 是各个对应指标所特有的因子 故称为特殊因子 它与公 i i X 共因子之间彼此独立 是指标在公共因子上的系数 称为因子载荷 因 ij r i X j F 子载荷的统计含义是指标在公共因子上的相关系数 表示与线性 ij r i X j F i X j F 相关程度 用矩阵形式表示为 XAF 其中 12 p XXXX 12 k FF F F 12 p 称为因子载荷矩阵 11121 21222 12 m m pppm rrr rrr A rrr A 其统计含义是 中的第 行元素说明了指标依赖于各个公共因子的程度 Ai 12 iiim r rr i X 中第列元素说明了公共因子与各个指标的联系程度 故Aj 12 jjmj rrr j F 常根据该列绝对值较大的因子载荷所对应的指标来解释这个公共因子的实际意 义 中的第 行元素的平方和称为指标的共同度 Ai 12 iiim r rr 22 1 m iij j hr i X 中第列元素的平方和表示公共因子对原始指Aj 12 jjmj rrr 22 1 p jij i gr j F 标所提供的方差贡献的总和 衡量各个公共因子的相对重要性 称 为公共因子的方差贡献率 越大 公共因子越重要 2 1 1 p j jij i g r pp j F j j F 3 3 因子分析的步骤 3 3 1 将原始变量数据进行标准化处理 ii i ii X Z 3 2 2 计算标准化指标的相关系数矩阵 R 3 2 3 求解相关系数矩阵的特征向量和特征值 R ijp p uu 12 0 p 3 2 4 确定公共因子的个数 设为个 即选择特征值1的个数或根据累积m m 方差贡献率85 的准则所确定的个数为公共因子个数 m 3 2 5 求解初始因子载荷矩阵 ijp pijjp p Aau 常用的方法有 主成分法 主轴因子法 极大似然法等 本文用主成分法 寻找公因子的方法如下 设从相关矩阵出发求解主成分 设有个变量 则可以找出个主成分 pp 将所得的个主成分由大到小排列 记为 则主成分与原始变p 12 p YYY 量之间有 11111221 22112222 1122 pp pp pppppp Yr Xr Xr X Yr Xr Xr X Yr Xr Xr X 其中是随机变量的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量 特征向量 ij rX 之间正交 从到的转换关系的可逆得到由到的转换关系XYYX 111 11221 221 12222 1 122 pp pp pppppp Xr Yr Yr Y Xr Yr Yr Y Xr Yr Yr Y 只保留前个主成分 而把后面的个主成分用特殊因子代替 即mpm i 111 112211 221 122222 1 122 mm mm ppppmmp Xr Yr Yr Y Xr Yr Yr Y Xr Yr Yr Y 为了把转化为合适的公因子 需要把主成分变为方差为1的变量 故 i Y i Y 令 i i i Y F ijjij a 则 111112211 221122222 1122 mm mm ppppmmp Xa Fa Fa F Xa Fa FaF Xa Fa FaF 设样本相关系数矩阵的特征值为 其相应的标准正交R 12 0 p 特征向量为 设 则因子载荷矩阵的一个估计值为 12 p mp A 1111221 2112222 1122 1122 mm mm mm pppmm uuu uuu A uuu 共同度的估计为 222 12 iiiim haaa 3 2 6 建立因子模型 1 k jijjii j Za Fa 1 2 ip 其中为公共因子 为特殊因子 12 k F FF 12 p 3 2 7 对公共因子进行重新命名 并解释公共因子的实际含义 当初始因子载荷矩阵难以对公共因子的实际意义作出解释时 先要对A 作方差极大正交旋转 然后再根据旋转后所得的正交因子载荷矩阵作出解释 A 即根据指标的因子载荷绝对值的大小 值的正负符号来说明公共因子的意义 3 2 8 对初始因子载荷矩阵进行旋转 由于因子载荷矩阵不唯一 旋转变换可以是使初始因子载荷矩阵的每列或 每行的元素的平方值趋于0或1 从而使得因子载荷矩阵结构简化 关系明确 如果初始因子之间不相关 公共因子的解释能力能够用其因子载荷平方的方 j F 差来度量时 则可采用方差极大正交旋转法 如果初始因子之间相关 则需要 进行斜交旋转 通过旋转后 得到比较理想的新的因子载荷矩阵 1 ijp k Ar 3 2 9 将公共因子变为变量的线性组合 得到因子得分函数 1122 1 k iijijiiipp j FZZZZ 1 2 im 系数 均为标准化的原始变量和公共因子 因子得分函数的 1 1 B A R i F ji Z 估计值为 1111 1 1 1 p mmpp bbX FAR X bbX 其中为因子载荷矩阵 为原始变量的相关矩阵 为原始变量向量 1 ARX 3 2 10 求综合评价值 即总因子得分估计值为 1 m ii i ZF 其中时第 个公共因子的归一化权重 即 1 i im j j i i F 各因子得分各因子所对应的方差贡献率 综合得分 各因子的方差贡献率 3 2 11 根据总因子得分估计值就可以对每个被评价的对象进行排名 从而进 Z 行比较 4主成分分析与因子分析的联系和区别 4 1 区别 4 1 1 侧重点不同 主成分分析是通过变量的线性变换 忽略方差较小的主成分 提取前面几 个方差较大的主成分来解释总体大部分的信息 而因子分析是忽略特殊因子 而重视少数不可观测的公共因子所代表的总体信 12 p 12 k F FF 息 4 1 2 数学模型不同 主成分分析中的主成分是原始变量的线性组合 其中为系数矩YUX U 阵 即其中是相关矩阵的特征值所对应的特征向 1 p iijj j YX 1 2 i jp ij 量矩阵中的元素 表示原始变量的标准化数据 而因子分析中的共同因子是 j X 将原始变量分解成公共因子和特殊因子两部分 其中为因子载XAF A 荷矩阵 即 是公共因子的个数 1 m iijji j Xa F 1 2 ip mp m 是原始变量的个数 是因子分析过程中的初始因子载荷矩阵中的元素 p ij a 是第个公共因子 是第个原始变量的特殊因子 j F i 4 1 3 主成分的各系数是唯一确定的 正交的 不可以对系数矩阵进行任何 ij 的旋转 且系数大小并不代表原变量与主成分的相关程度 而因子模型的系数 矩阵是不唯一的 可以进行旋转的 且该矩阵表明了原变量和公共因子的相关 程度 4 1 4 因子旋转 主成分分析 可以通过可观测的原变量直接求得主成分 并具有可逆XY 性 因子分析中的载荷矩阵是不可逆的 只能通过可观测的原变量去估计不可 观测的公共因子 即公共因子得分的估计值等于因子得分系数矩阵与原观测变 量标准化后的矩阵相乘的结果 还有 主成分分析不可以像因子分析那样进行 因子旋转处理 4 1 5 综合排名 主成分分析一般依据第一主成分的得分排名 若第一主成分不能完全代替 原始变量 则需要继续选择第二个主成分 第三个等等 主成分得分是将原始 变量的标准化值 代入主成分表达式中计算得到 而因子分析中因子得分是将 原始变量的标准化值 代入因子得分函数中计算得到 4 2 联系 因子分析是主成分分析的扩展 两种方法的出发点都是变量的相关系数矩 阵 都是在损失较少的信息的前提下 把多个存在较强相关性的变量综合成少 数几个综合变量 这几个综合变量之间相互独立 能代表总体绝大多数的信息 从而进行深入研究总体的多元统计方法 由于上文提到主成分可表示为原观测变量的线性组合 其系数为原始变量 相关矩阵的特征值所对应的特征向量 且这些特征向量正交 因此 从到X 的转换关系是可逆的 便得到如下的关系 是因Y 1 p iijj j XY 1 m iijj j Xa F 子分析中未进行因子载荷旋转时建立的模型 故如果不进行因子载荷旋转 许 多应用者将容易把此时的因子分析理解成主成分分析 这显然是不正确的 然 而此时的主成分的系数阵即特征向量与因子载荷矩阵确实存在如下关系 ij ij j a 5 主成分分析和因子分析的实例分析 本文利用 SPSS 软件对 2006 年四川省 18 个主要城市的社会福利发展情况进 行主成分分析 因子分析方法及二者分析结果的比较 除阿坝藏族羌族自治州 甘孜藏族自治州 凉山彝族自治州 针对所研究的问题 根据指标选择的针对性 可操作性 全面性等原则 选取了以下反映各城市社会福利发展水平的 15 项指标 城市低保资金 万元 农村低保资金 万元 最低生活保障家庭数 户 最低生活保障人数 养老保 险征缴率 失业保险征缴率 医疗保险征缴率 工伤保险征缴 率 生育保险征缴率 基本养老保险参保人数 人 基本医疗保险 参保人数 人 失业保险参保人数 人 社会福利院数 个 社会福利院床 位数 个 社区服务设施数 个 分别记为原始指标变量 数 1215 XXX 据来源于 2007 年四川省统计年鉴 原始数据见附录表 1 表 5 5 1 原始指标数据处理 由于各个指标都是正向指标 无需对指标的符号做处理 为了消除指标量 纲和数量级的影响 对原始指标数据做了标准化处理 标准化后的数据见附录 表 6 5 2 运用 SPSS 软件进行分析 本文从相关矩阵出发 采用主成分分析方法来提取公共因子 并根据来确 定因子个数 5 2 1 指标变量之间的相关性的分析结果和分析 指标变量的相关系数矩阵见附录表 7 由 SPSS 因子分析的输出结果可知 表 8 KMO and Bartlett s Test Kaiser Meyer Olkin Measure of Sampling Adequacy 647 Approx Chi Square299 916 df105 Bartlett s Test of Sphericity Sig 000 KMO统计量是0 647 且Bartlett s球面检验值为299 916 卡方统计量的 显著性水平为 都说明各个指标之间存在着较高的相关性 即说明0 000 0 01 所选取的15个指标适合作因子分析 5 2 2 因子分析的初始结果 表9 Communalities InitialExtraction 城低保金1 000 942 乡低保金1 000 926 低保家数1 000 969 低保人数1 000 973 养老保率1 000 859 失业保率1 000 910 医疗保率1 000 896 工伤保率1 000 940 生育保率1 000 916 养老保数1 000 947 医疗保数1 000 964 失业保数1 000 956 福利院数1 000 796 福利床位1 000 928 服务设施1 000 816 Extraction Method Principal Component Analysis 表9中第一列为15个原始指标名 第二列为根据因子分析的初始解计算出来 的变量共同度 反映了5个因子提取每个原始指标变量信息的百分比 如 这5 个因子提取指标城市最低保障资金信息的0 942 5 2 3 因子分析的因子提取和旋转结果及碎石图 表10 Total Variance Explained Componen tInitial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums of Squared Loadings Total of Variance Cumula tive Total of Variance Cumulati ve Total of Variance Cumulati ve 16 71944 79344 7936 71944 79344 7935 37235 81535 815 22 94619 63864 4312 94619 63864 4313 62224 14759 962 31 66311 08875 5191 66311 08875 5192 01313 42173 383 41 3889 25284 7711 3889 25284 7711 50310 02383 405 51 0236 81791 5881 0236 81791 5881 2278 18391 588 6 4342 89094 478 7 3032 01896 497 8 2521 68198 178 9 122 81198 989 10 074 49499 483 11 039 26399 745 12 016 10899 853 13 013 08899 942 14 005 03599 976 15 004 024100 00 Extraction Method Principal Component Analysis 根据特征值大于1的原则 提取了5个公共因子 主成分 它们的累积方 差贡献率为91 588 说明这5个公因子 主成分 提取了原始指标数据 91 588 的信息 可以用这5个公因子 主成分 来代表四川省18个城市的社会 福利发展状况 图1 Scree Plot Component Number 151413121110987654321 Eigenvalue 8 6 4 2 0 从上面的碎石图 图 1 也可以判定选取 5 个公因子 主成分 做主成分分 析和因子分析比较合适 5 2 4 因子载荷矩阵 表 11 Component Matrix a Component 12345 乡低保金Z X2 920 076 193 112 157 医疗保数Z X11 899 295 240 056 090 福利床位Z X14 893 029 324 073 142 失业保数Z X12 890 286 260 059 106 养老保数Z X10 876 311 279 045 041 城低保金Z X1 801 440 302 114 038 福利院数Z X13 758 273 151 343 077 服务设施Z X15 737 271 062 200 395 养老保率Z X5 006 843 115 362 063 低保人数Z X4 610 669 380 090 006 生育保率Z X9 231 663 644 015 093 低保家数Z X3 635 638 362 165 022 医疗保率Z X7 134 095 276 847 275 失业保率Z X6 227 447 551 552 225 工伤保率Z X8 224 343 342 031 809 Extraction Method Principal Component Analysis a 5 components extracted 5 2 4 1 根据因子载荷矩阵建立因子分析的模型 112345 212345 1512345 0 9200 0760 1930 1120 157 0 8990 2950 2400 0560 09 0 2240 3430 3420 0310 809 Xfffff Xfffff Xfffff 其中为原始变量数据 为提取的公共因子 i X 1 2 15 i j f 1 2 18 j 5 2 4 2 计算各个特征值所对应的特征向量 建立主成分表达式 由于主成分的系数阵的特征向量与因子载荷矩阵存在的关系 ij ij j a 故可利用主成分的系数矩阵和因子载荷初始矩阵 计算出各个特征值所对应的 特征向量 表12 各个特征值所对应的特征向量表 12345 乡低保X2 0 0 0 149660 0 15523 医疗保X11 0 0 0 186110 0 08898 福利床X14 0 0 0169 0 25125 0 061960 失业保X12 0 0 0 201620 0 1048 养老保X10 0 0 0 216350 0 04054 城低保X1 0 0 256350 0 0 03757 福利院X13 0 0 159050 0 291140 服务设X15 0 0 0 04808 0 169760 养老保X5 0 002310 0 0 0 低保人X4 0 23533 0 389770 0 0 00593 生育保X9 0 0 0 49939 0 012730 低保家X3 0 0 371710 0 0 02175 医疗保X7 0 0 0 0 0 失业保X6 0 0 260430 0 468540 工伤保X8 0 0 0 0 02631 0 79985 特征值6 7192 9461 6631 3881 023 于是 可以建立主成分表达式 11215 21215 51215 0 3549240 3468230 086416 0 0442790 1718720 199838 0 155230 088980 79985 YXXX YXXX YXXX 5 2 5 因子旋转 按照方差极大法对因子载荷矩阵进行旋转后所得的因子载荷矩阵如下表 经过旋转后 可以根据因子在某几个变量上分别都具有较高的载荷来对各个因 子进行重新命名 从而方便解释各个因子的实际含义 表13 Rotated Component Matrix a Component 12345 养老保数X10 957 089 089 071 099 医疗保数X11 953 131 090 077 154 失业保数X12 952 124 064 068 160 福利床位X14 889 316 001 092 174 乡低保金X2 885 325 033 068 180 服务设施X15 731 134 434 004 276 低保人数X4 145 975 030 032 003 低保家数X3 184 960 060 100 022 城低保金X1 409 871 046 093 076 福利院数X13 487 634 261 290 068 失业保率X6 076 021 935 167 041 生育保率X9 106 063 829 366 283 医疗保率X7 027 166 032 928 076 养老保率X5 200 542 363 590 213 工伤保率X8 133 030 187 024 941 Extraction Method Principal Component Analysis Rotation Method Varimax with Kaiser Normalization a Rotation converged in 6 iterations 因子分析后因子的协方差矩阵 表14 Component Score Covariance Matrix Component12345 11 000 1 082E 16 000 000 000 2 1 082E 161 000 000 000 000 3 000 0001 000 000 000 4 000 000 0001 000 000 5 000 000 000 0001 000 Extraction Method Principal Component Analysis Rotation Method Varimax with Kaiser Normalization Component Scores 上表中各个因子之间的协方差都很小 可以看出各个因子之间是正交 几 乎是不相关的 5 2 6 根据因子分析后因子的得分系数矩阵 建立因子得分函数 表15 Component Score Coefficient Matrix Component 12345 城低保金X1 025 258 015 080 064 乡低保金X2 175 001 124 017 129 低保家数X3 081 312 011 108 044 低保人数X4 093 320 019 063 026 养老保率X5 057 163 096 341 054 失业保率X6 076 041 542 174 095 医疗保率X7 040 092 052 664 144 工伤保率X8 034 034 046 116 816 生育保率X9 076 035 405 177 087 养老保数X10 217 087 061 007 026 医疗保数X11 207 070 067 008 076 失业保数X12 210 074 083 002 086 福利院数X13 025 154 163 199 076 福利床位X14 196 021 042 065 181 服务设施X15 138 039 228 021 345 Extraction Method Principal Component Analysis Rotation Method Varimax with Kaiser Normalization Component Scores 由于 112345 212345 1512345 0 0250 2580 0150 080 064 0 1750 0010 1240 0170 129 0 1380 0390 2280 0210 345 Xfffff Xfffff Xfffff 该案例是利用回归方法计算出因子得分函数的系数 根据因子得分系数矩 阵 建立因子得分函数 1121415 2121415 5121415 0 0250 1750 1960 138 0 2580 0010 0210 039 0 0640 1290 1810 345 fXXXX fXXXX fXXXX 5 2 7 根据得分函数 计算出我省每个城市的5个因子的得分分别为 表16 地 区 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 成都市3 877290 164070 223580 051130 37273 自贡市 0 273110 39873 0 20045 0 71405 0 90083 攀枝花市 0 23072 1 48921 0 118720 205330 71715 泸州市0 26232 0 5067 1 437580 385940 80061 德阳市0 19276 0 352630 897480 29315 0 64035 绵阳市0 06510 562090 014630 57244 0 0196 广元市 0 38301 0 05635 0 504230 836851 27443 遂宁市 0 54066 0 240410 82219 0 121131 22832 内江市 0 204740 006181 154210 26845 1 68444 乐山市 0 130320 0753 0 537250 67266 0 38832 南充市 0 587683 089210 88479 0 258640 94691 眉山市 0 46725 0 807510 180580 104980 76801 宜宾市 0 41260 269290 36250 801461 15569 广安市 0 06741 0 166131 689970 34626 1 63425 达州市 0 156061 27741 2 41736 0 3877 1 04469 雅安市 0 61556 1 155240 36576 0 286990 19222 巴中市 0 29656 0 54882 1 298220 82102 1 30925 资阳市 0 03178 0 51926 0 08189 3 591150 16567 5 2 8 计算综合评价得分 5 2 8 1 主成分分析 总因子得分估计值为 5 1 jii i Zf 1 2 18 j 其中是第 个公共因子的方差贡献率 ii i i f 分别计算出18个城市的综合评价得分为 表17 地区 f1f2f3f4f5综合得分排名 南充市 0 587683 089210 88479 0 258640 94691294 2697 1 成都市 3 877290 164070 223580 051130 37273203 5122 2 宜宾市 0 41260 269290 36250 801461 15569200 6643 3 广元市 0 38301 0 05635 0 504230 836851 27443132 4217 4 遂宁市 0 54066 0 240410 82219 0 121131 22832128 9521 5 绵阳市 0 06510 562090 014630 57244 0 019683 05842 6 眉山市 0 46725 0 807510 180580 104980 7680127 19339 7 德阳市 0 19276 0 352630 897480 29315 0 6403517 42087 8 广安市 0 06741 0 166131 689970 34626 1 63425 9 15858 9 乐山市 0 130320 0753 0 537250 67266 0 38832 19 0395 10 泸州市 0 26232 0 5067 1 437580 385940 80061 20 9661 11 攀枝花 0 23072 1 48921 0 118720 205330 71715 23 4634 12 内江市 0 204740 006181 154210 26845 1 68444 54 1472 13 雅安市 0 61556 1 155240 36576 0 286990 19222 70 8076 14 自贡市 0 273110 39873 0 20045 0 71405 0 90083 142 643 15 巴中市 0 29656 0 54882 1 298220 82102 1 30925 190 231 16 达州市 0 156061 27741 2 41736 0 3877 1 04469 234 404 17 资阳市 0 03178 0 51926 0 08189 3 591150 16567 322 63 18 5 2 8 2 因子分析 总因子得分估计值为 5 1 jii i Zf 1 2 18 j 其中是第 个公共因子的归一化权重 分别计算各城市的综合分为 5 1 i i n n i i f 表18 地区 f1f2f3f4f5 综合得分排名 南充市 0 58768 3 089210 88479 0 258640 946910 1 成都市 3 877290 164070 223580 051130 372730 2 宜宾市 0 41260 269290 36250 801461 155690 3 广元市 0 38301 0 05635 0 504230 836851 274430 4 遂宁市 0