数列求和的各种方法

数列求和的方法 教学目标 1 熟练掌握等差 等比数列的前 n 项和公式 2 掌握非等差 等比数列求和的几种常见方法 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 并能用相关知识解决相应的问题 教学内容 知识梳理 1 求数列的前 n 项和的方法 1 公式法 等差数列的前 n 项和公式 Sn na1 2 1n aan dnn 2 1 等比数列的前 n 项和公式 当 q 1 时 Sn na1 当 q 1 时 Sn q qa n 1 1 1 a1 anq 1 q 常见的数列的前 n 项和 123 n 1 2 n n 1 3 5 2n 1 2 n 2222 123 n 1 21 6 n nn 3333 123 n 2 1 2 n n 等 2 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法 这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法 将一个数列倒过来排序 如果原数列相加时 若有公因式 可提 并且剩余项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 5 错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 主要用于求 an bn 的前 n 项和 其中 an 和 bn 分 别是等差数列和等比数列 6 并项求和法 一个数列的前 n 项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如 an 1 nf n 类型 可采用两项 合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5 050 2 常见的裂项公式 1 1 1 nn 1 n 1 n 1 2 knn 1 1 k 1 n 1 n k 3 1212 1 nn 1 2 1 2n 1 1 2n 1 4 21 1 nnn 1 2 21 1 1 1 nnnn 5 1 n n k 1 kn kn 6 设等差数列 an 的公差为 d 则 1 anan 1 1 d 1 an 1 an 1 数列求和题型 考点一考点一 公式法求和公式法求和 1 2016 新课标全国 已知 an 是公差为 3 的等差数列 数列 bn 满足 b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 3 1 求 an 的通项公式 2 求 bn 的前 n 项和 2 2013 新课标全国 17 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且 a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求 a1 a4 a7 a3n 2 变式训练 1 2015 四川 16 设数列 an n 1 2 3 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a1 且 a1 a2 1 a3成等差数 列 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列的前 n 项和为 Tn 求 Tn 1 an 2 2014 福建 17 在等比数列 an 中 a2 3 a5 81 1 求 an 2 设 bn log3an 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 考点二考点二 错位相减法错位相减法 1 山东 已知数列 n a 的前 n 项和 Sn 3n2 8n n b是等差数列 且 1 nnn abb 求数列 n b的通项公式 令 1 1 2 n n n n n a c b 求数列 n c的前 n 项和 Tn 2 2015 天津 18 已知数列 an 满足 an 2 qan q 为实数 且 q 1 n N a1 1 a2 2 且 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 1 求 q 的值和 an 的通项公式 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 log2a2n a2n 1 变式训练 1 2014 江西 17 已知首项都是 1 的两个数列 an bn bn 0 n N 满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 1 令 cn 求数列 cn 的通项公式 an bn 2 若 bn 3n 1 求数列 an 的前 n 项和 Sn 2 2014 四川 19 设等差数列 an 的公差为 d 点 an bn 在函数 f x 2x的图象上 n N 1 若 a1 2 点 a8 4b7 在函数 f x 的图象上 求数列 an 的前 n 项和 Sn 2 若 a1 1 函数 f x 的图象在点 a2 b2 处的切线在 x 轴上的截距为 2 求数列的前 n 项和 Tn 1 ln 2 an bn 3 2015 湖北 18 设等差数列 an 的公差为 d 前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的公比为 q 已知 b1 a1 b2 2 q d S10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 2 当 d 1 时 记 cn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn an bn 4 2015 山东 18 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 2Sn 3n 3 1 求 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 anbn log3an 求 bn 的前 n 项和 Tn 5 2015 浙江 17 已知数列 an 和 bn 满足 a1 2 b1 1 an 1 2an n N b1 b2 b3 bn bn 1 1 n N 1 2 1 3 1 n 1 求 an与 bn 2 记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 6 2015 湖南 19 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 1 a2 2 且 an 2 3Sn Sn 1 3 n N 1 证明 an 2 3an 2 求 Sn 考点三考点三 分组求和法分组求和法 1 2015 福建 17 在等差数列 an 中 a2 4 a4 a7 15 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn n 求 b1 b2 b3 b10的值 2 2 n a 2 2014 湖南 16 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n N n2 n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 nan 求数列 bn 的前 2n 项和 n a 2 变式训练 1 2014 北京 15 已知 an 是等差数列 满足 a1 3 a4 12 数列 bn 满足 b1 4 b4 20 且 bn an 为 等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前 n 项和 考点四考点四 裂项相消法裂项相消法 1 2015 新课标全国 17 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 an 0 a 2an 4Sn 3 2 n 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 1 anan 1 2 2011 新课标全国 17 等比数列 an 的各项均为正数 且 2a1 3a2 1 a 9a2a6 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列的前 n 项和 1 bn 3 2015 安徽 18 已知数列 an 是递增的等比数列 且 a1 a4 9 a2a3 8 1 求数列 an 的通项公式 2 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn an 1 SnSn 1 变式训练 1 2013 江西 16 正项数列 an 满足 a 2n 1 an 2n 0 2 n 1 求数列 an 的通项公式 an 2 令 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 1 n 1 an 2 2013 大纲全国 17 等差数列 an 中 a7 4 a19 2a9 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 1 nan 3 在数列 an 中 a1 1 当 n 2 时 其前 n 项和 Sn满足 S an 2n Sn 1 2 1 求 Sn的表达式 2 设 bn 求 bn 的前 n 项和 Tn Sn 2n 1 考点五考点五 倒序相加法倒序相加法 已知函数 f x x R 1 证明 f x f 1 x 2 若 S f f f 则 1 4x 2 1 2 1 2 015 2 2 015 2 014 2 015 S 变式训练 1 设 f x 若 S f f f 则 S 4x 4x 2 1 2 015 2 2 015 2 014 2 015 考点六考点六 并项求和并项求和 1 2012 新课标 16 数列 an 满足 an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前 60 项和为 2 2014 山东 19 在等差数列 an 中 已知公差 d 2 a2是 a1与 a4的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 记 Tn b1 b2 b3 b4 1 nbn 求 Tn 2 1 nn a 变式训练 1 2014 山东理 19 已知等差数列 an 的公差为 2 前 n 项和为 Sn 且 S1 S2 S4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn 1 n 1 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 4n anan 1 2 2013 湖南 15 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 Sn 1 nan n N 则 1 2n 1 a3 2 S1 S2 S100 考点七考点七 数列数列 an 的前的前 n 项和问题项和问题 1 2011 北京 11 在等比数列 an 中 若 a1 a4 4 则公比 1 2 q a1 a2 an 变式训练 1 2013 浙江 19 在公差为 d 的等差数列 an 中 已知 a1 10 且 a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求 d an 2 若 d 0 求 a1 a2 a3 an 考点八考点八 周期数列周期数列 1 已知数列 2 008 2 009 1 2 008 2 009 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后 两项之和 则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014等于 A 2 008 B 2 010 C 1 D 0 变式训练 1 2012 福建 数列 an 的通项公式 an ncos 其前 n 项和为 Sn 则 S2 012等于 n 2 A 1 006 B 2 012 C 503 D 0 考点九考点九 数列与不等式的应用数列与不等式的应用 1 2014 新课标全国 17 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 3an 1 1 证明是等比数列 并求 an 的通项公式 an 1 2 2 证明 60n 800 若存在 求 n 的最小值 若不 存在 说明理由 2 2013 广东 19 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 1 an 1 n2 n n N 2Sn n 1 3 2 3 1 求 a2的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 1 时 记 cn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn an bn 解 1 由题意有 10a1 45d 100 a1d 2 即 2a1 9d 20 a1d 2 解得或 a1 1 d 2 a1 9 d 2 9 故或 an 2n 1 bn 2n 1 an 1 9 2n 79 bn 9 2 9 n 1 2 由 d 1 知 an 2n 1 bn 2n 1 故 cn 于是 2n 1 2n 1 Tn 1 3 2 5 22 7 23 9 24 2n 1 2n 1 Tn 1 2 1 2 3 22 5 23 7 24 9 25 2n 3 2n 1 2n 1 2n 可得 Tn 2 3 1 2 1 2 1 22 1 2n 2 2n 1 2n 2n 3 2n 故 Tn 6 2n 3 2n 1 4 2015 山东 18 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 2Sn 3n 3 1 求 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 anbn log3an 求 bn 的前 n 项和 Tn 解 1 因为 2Sn 3n 3 所以 2a1 3 3 故 a1 3 当 n 1 时 2Sn 1 3n 1 3 此时 2an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即 an 3n 1 所以 an 3 n 1 3n 1 n 1 2 因为 anbn log3an 所以 b1 1 3 当 n 1 时 bn 31 nlog33n 1 n 1 31 n 所以 T1 b1 1 3 当 n 1 时 Tn b1 b2 b3 bn 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n 1 3 所以 3Tn 1 1 30 2 3 1 n 1 32 n 两式相减 得 2Tn 30 3 1 3 2 32 n n 1 31 n 2 3 n 1 31 n 2 3 1 31 n 1 3 1 所以 Tn 13 6 6n 3 2 3n 13 12 6n 3 4 3n 经检验 n 1 时也适合 综上可得 Tn 13 12 6n 3 4 3n 5 2015 浙江 17 已知数列 an 和 bn 满足 a1 2 b1 1 an 1 2an n N b1 b2 b3 bn bn 1 1 n N 1 2 1 3 1 n 1 求 an与 bn 2 记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 解 1 由 a1 2 an 1 2an 得 an 2n n N 由题意知 当 n 1 时 b1 b2 1 故 b2 2 当 n 2 时 bn bn 1 bn 整理得 1 n 所以 bn n n N bn 1 n 1 bn n 2 由 1 知 anbn n 2n 因此 Tn 2 2 22 3 23 n 2n 2Tn 22 2 23 3 24 n 2n 1 所以 Tn 2Tn 2 22 23 2n n 2n 1 故 Tn n 1 2n 1 2 n N 6 2015 湖南 19 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 1 a2 2 且 an 2 3Sn Sn 1 3 n N 1 证明 an 2 3an 2 求 Sn 1 证明 由条件 对任意 n N 有 an 2 3Sn Sn 1 3 因而对任意 n N n 2 有 an 1 3Sn 1 Sn 3 两式相减 得 an 2 an 1 3an an 1 即 an 2 3an n 2 又 a1 1 a2 2 所以 a3 3S1 S2 3 3a1 a1 a2 3 3a1 故对一切 n N an 2 3an 2 解 由 1 知 an 0 所以 3 于是数列 a2n 1 是首项 a1 1 公比为 3 等比数列 数列 a2n 是首项 an 2 an a2 2 公比为 3 的等比数列 因此 a2n 1 3n 1 a2n 2 3n 1 于是 S2n a1 a2 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 1 3 3n 1 2 1 3 3n 1 3 1 3 3n 1 3 3n 1 2 从而 S2n 1 S2n a2n 2 3n 1 3 3n 1 2 5 3n 2 1 3 2 综上所述 Sn 3 2 5 3 n 3 2 1 当n是奇数 3 2 3 n 2 1 当n是偶数 考点三考点三 分组求和法分组求和法 1 2015 福建 17 在等差数列 an 中 a2 4 a4 a7 15 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn n 求 b1 b2 b3 b10的值 2 2 n a 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 由已知得 a1 d 4 a1 3d a1 6d 15 解得 a1 3 d 1 所以 an a1 n 1 d n 2 2 由 1 可得 bn 2n n 所以 b1 b2 b3 b10 2 1 22 2 23 3 210 10 2 22 23 210 1 2 3 10 2 1 210 1 2 1 10 10 2 211 2 55 211 53 2 101 2 2014 湖南 16 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n N n2 n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 nan 求数列 bn 的前 2n 项和 n a 2 解 1 当 n 1 时 a1 S1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n n2 n 2 n 1 2 n 1 2 故数列 an 的通项公式为 an n 2 由 1 知 bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前 2n 项和为 T2n 则 T2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记 A 21 22 22n B 1 2 3 4 2n 则 A 22n 1 2 2 1 22n 1 2 B 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前 2n 项和 T2n A B 22n 1 n 2 变式训练 1 2014 北京 15 已知 an 是等差数列 满足 a1 3 a4 12 数列 bn 满足 b1 4 b4 20 且 bn an 为 等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前 n 项和 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 由题意得 d 3 a4 a1 3 12 3 3 所以 an a1 n 1 d 3n n 1 2 设等比数列 bn an 的公比为 q 由题意得 q3 8 解得 q 2 b4 a4 b1 a1 20 12 4 3 所以 bn an b1 a1 qn 1 2n 1 从而 bn 3n 2n 1 n 1 2 2 由 1 知 bn 3n 2n 1 n 1 2 数列 3n 的前 n 项和为 n n 1 数列 2n 1 的前 n 项和为 1 2n 1 3 2 1 2n 1 2 所以 数列 bn 的前 n 项和为 n n 1 2n 1 3 2 考点四考点四 裂项相消法裂项相消法 1 2015 新课标全国 17 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 an 0 a 2an 4Sn 3 2n 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 1 anan 1 解 1 由 a 2an 4Sn 3 2n 可知 a 2an 1 4Sn 1 3 2n 1 可得 a a 2 an 1 an 4an 1 即 2n 12n 2 an 1 an a a an 1 an an 1 an 2n 12n 由于 an 0 可得 an 1 an 2 又 a 2a1 4a1 3 2 1 解得 a1 1 舍去 a1 3 所以 an 是首项为 3 公差为 2 的等差数列 通项公式为 an 2n 1 2 由 an 2n 1 可知 bn 1 anan 1 1 2n 1 2n 3 1 2 1 2n 1 1 2n 3 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn b1 b2 bn Error 1 2 1 3 1 5 1 5 1 7 n 3 2n 3 2 2011 新课标全国 17 等比数列 an 的各项均为正数 且 2a1 3a2 1 a 9a2a6 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列的前 n 项和 1 bn 解 1 设数列 an 的公比为 q 由 a 9a2a6 得 a 9a 2 32 32 4 所以 q2 1 9 由条件可知 q 0 故 q 1 3 由 2a1 3a2 1 得 2a1 3a1q 1 所以 a1 1 3 故数列 an 的通项公式为 an 1 3n 2 bn log3a1 log3a2 log3an 1 2 n n n 1 2 故 2 1 bn 2 n n 1 1 n 1 n 1 2 1 b1 1 b2 1 bn 1 1 2 1 2 1 3 Error 2n n 1 所以数列的前 n 项和为 1 bn 2n n 1 3 2015 安徽 18 已知数列 an 是递增的等比数列 且 a1 a4 9 a2a3 8 1 求数列 an 的通项公式 2 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn an 1 SnSn 1 解 1 由题设知 a1 a4 a2 a3 8 又 a1 a4 9 可解得或 舍去 a1 1 a4 8 a1 8 a4 1 由 a4 a1q3得公比 q 2 故 an a1qn 1 2n 1 2 Sn 2n 1 a1 1 qn 1 q 又 bn an 1 SnSn 1 Sn 1 Sn SnSn 1 1 Sn 1 Sn 1 所以 Tn b1 b2 bn 1 1 S1 1 S2 1 S2 1 S3 1 Sn 1 Sn 1 1 S1 1 Sn 1 1 2n 1 1 变式训练 1 2013 江西 16 正项数列 an 满足 a 2n 1 an 2n 0 2 n 1 求数列 an 的通项公式 an 2 令 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 1 n 1 an 解 1 由 a 2n 1 an 2n 0 2 n 得 an 2n an 1 0 由于 an 是正项数列 所以 an 2n 2 由 an 2n bn 1 n 1 an 则 bn Tn 1 2n n 1 1 2 1 n 1 n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 1 2 1 1 n 1 n 2 n 1 2 2013 大纲全国 17 等差数列 an 中 a7 4 a19 2a9 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 1 nan 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 则 an a1 n 1 d 由得 a7 4 a19 2a9 a1 6d 4 a1 18d 2 a1 8d 解得 a1 1 d 1 2 an 的通项公式为 an n 1 2 2 bn 1 nan 2 n n 1 2 n 2 n 1 Sn 2 1 2 2 2 2 2 3 2 n 2 n 1 2n n 1 3 在数列 an 中 a1 1 当 n 2 时 其前 n 项和 Sn满足 S an 2n Sn 1 2 1 求 Sn的表达式 2 设 bn 求 bn 的前 n 项和 Tn Sn 2n 1 答案 答案 1 可求得可求得 2 1 2 nnn SSan 12 1 n sn 12 n n Tn 考点五考点五 倒序相加法倒序相加法 1 已知函数 f x x R 证明 f x f 1 x 1 4x 2 1 2 变式训练 1 设 f x 若 S f f f 则 S 4x 4x 2 1 2 015 2 2 015 2 014 2 015 考点六考点六 并项求和并项求和 1 2012 新课标 16 数列 an 满足 an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前 60 项和为 理科解析 当 n 2k 时 a2k 1 a2k 4k 1 当 n 2k 1 时 a2k a2k 1 4k 3 a2k 1 a2k 1 2 a2k 3 a2k 1 2 a2k 1 a2k 3 a1 a5 a61 a1 a2 a3 a60 a2 a3 a4 a5 a60 a61 3 7 11 2 60 1 30 61 1 830 30 3 119 2 答案 1 830 文科解析 an 1 1 nan 2n 1 a2 1 a1 a3 2 a1 a4 7 a1 a5 a1 a6 9 a1 a7 2 a1 a8 15 a1 a9 a1 a10 17 a1 a11 2 a1 a12 23 a1 a57 a1 a58 113 a1 a59 2 a1 a60 119 a1 a1 a2 a60 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a57 a58 a59 a60 10 26 42 234 1 830 15 10 234 2 答案 D 2 2014 山东 19 在等差数列 an 中 已知公差 d 2 a2是 a1与 a4的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 记 Tn b1 b2 b3 b4 1 nbn 求 Tn 2 1 nn a 解 1 由题意知 a1 d 2 a1 a1 3d 即 a1 2 2 a1 a1 6 解得 a1 2 所以数列 an 的通项公式为 an 2n 2 由题意知 bn a n n 1 n n 1 2 所以 Tn 1 2 2 3 3 4 1 nn n 1 因为 bn 1 bn 2 n 1 可得当 n 为偶数时 Tn b1 b2 b3 b4 bn 1 bn 4 8 12 2n n 2 4 2n 2 n n 2 2 当 n 为奇数时 Tn Tn 1 bn n n 1 n 1 n 1 2 n 1 2 2 所以 Tn n 1 2 2 n为奇数 n n 2 2 n为偶数 变式训练 1 2014 山东理 19 已知等差数列 an 的公差为 2 前 n 项和为 Sn 且 S1 S2 S4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn 1 n 1 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 4n anan 1 解 1 因为 S1 a1 S2 2a1 2 2a1 2 2 1 2 S4 4a1 2 4a1 12 4 3 2 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得 a1 1 所以 an 2n 1 2 bn 1 n 1 4n anan 1 1 n 1 4n 2n 1 2n 1 1 n 1 1 2n 1 1 2n 1 当 n 为偶数时 Tn 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 3 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 1 2n 1 2n 2n 1 当 n 为奇数时 Tn 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 3 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 1 1 2n 1 2n 2 2n 1 所以 Tn 2n 2 2n 1 n为奇数 2n 2n 1 n为偶数 或Tn 2n 1 1 n 1 2n 1 2 2013 湖南 15 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 Sn 1 nan n N 则 1 2n 1 a3 2 S1 S2 S100 解析 1 Sn 1 nan 1 2n 当 n 3 时 a1 a2 a3 a3 1 8 当 n 4 时 a1 a2 a3 a4 a4 1 16 a1 a2 a3 1 16 由 知 a3 1 16 2 Sn 1 nan 1 2n 当 n 为奇数时 Sn 1 an 1 1 2n 1 Sn an 1 2n 两式相减得 an 1 an 1 an an 1 2n 1 1 2n 1 当 n 为偶数时 Sn 1 an 1 1 2n 1 Sn an 1 2n 两式相减得 an 1 an 1 an 1 2n 1 即 an 2an 1 1 2n 1 1 2n 故 an Sn 1 2 n 1 n为奇数 1 2 n n为偶数 1 2n 1 n为奇数 0 n为偶数 S1 S2 S100 1 22 1 24 1 26 1 2100 1 4 1 1 2100 1 1 4 1 3 1 1 2100 1 3 1 2100 1 答案 1 2 1 16 1 3 1 2100 1 考点七考点七 数列数列 an 的前的前 n 项和问题项和问题 1 2011 北京 11 在等比数列 an 中 若 a1 a4 4 则公比 1 2 q a1 a2 an 解析 q3 8 q 2 则 an 2 n 1 a4 a1 1 2 a1 a2 a3 an 1 2 2n 2 2n 1 1 2 1 2 1 2n 1 2 1 2 答案 2 2n 1 1 2 变式训练 1 2013 浙江 19 在公差为 d 的等差数列 an 中 已知 a1 10 且 a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求 d an 2 若 d 0 求 a1 a2 a3 an 解 1 由题意得 5a3 a1 2a2 2 2 即 d2 3d 4 0 故 d 1 或 d 4 an n 11 n N 或 an 4n 6 n N 2 设数列 an 的前 n 项和为 Sn d 0 由 1 得 d 1 an n 11 则当 n 11 时 a1 a2 a3 an Sn n2 n 1 2 21 2 当 n 12 时 a1 a2 a3 an Sn 2S11 n2 n 110 1 2 21 2 综上所述 a1 a2 a3 an 1 2n2 21 2 n n 11 1 2n2 21 2 n 110 n 12 考点八考点八 周期数列周期数列 1 已知数列 2 008 2 009 1 2 008 2 009 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后 两项之和 则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014等于 A 2 008 B 2 010 C 1 D 0 答案 B 变式训练变式训练 1 2012 福建 数列 an 的通项公式 an ncos 其前 n 项和为 Sn 则 S2 012等于 n 2 A 1 006 B 2 012 C 503 D 0 答案答案 A 考点九考点九 数列与不等式的应用数列与不等式的应用 1 2014 新课标全国 17 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 3an 1 1 证明是等比数列 并求 an 的通项公式 an 1 2 2 证明 1 a1 1 a2 1 an 3 2 证明 1 由 an 1 3an 1 得 an 1 3 1 2 an 1 2 又 a1 1 2 3 2 所以是首项为 an 1 2 3 2 公比为 3 的等比数列 an 因此 an 的通项公式为 an 1 2 3n 2 3n 1 2 2 由 1 知 1 an 2 3n 1 因为当 n 1 时 3n 1 2 3n 1 所以 1 3n 1 1 2 3n 1 于是 1 1 a1 1 a2 1 an 1 3 1 3n 1 3 2 1 1 3n 3 2 所以 60n 800 若存在 求 n 的最小值 若不 存在 说明理由 解 1 设数列 an 的公差为 d 依题意 2 2 d 2 4d 成等比数列 故有 2 d 2 2 2 4d 化简得 d2 4d 0 解得 d 0 或 d 4 当 d 0 时 an 2 当 d 4 时 an 2 n 1 4 4n 2 从而得数列 an 的通项公式为 an 2 或 an 4n 2 2 当 an 2 时 Sn 2n 显然 2n60n 800 成立 当 an 4n 2 时 Sn 2n2 n 2 4n 2 2 令 2n2 60n 800 即 n2 30n 400 0 解得 n 40 或 n60n 800 成立 n 的最小值为 41 综上 当 an 2 时 不存在满足题意的 n 当 an 4n 2 时 存在满足题意的 n 其最小值为 41 2 2013 广东 19 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 1 an 1 n2 n n N 2Sn n 1 3 2 3 1 求 a2的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 1 a1 1 a2 1 an 7 4 1 解 依题意 2S1 a2 1 1 3 2 3 又 S1 a1 1 所以 a2 4 2 解 由题意 2Sn nan 1 n3 n2 n 1 3 2 3 当 n 2 时 2Sn 1 n 1 an n 1 3 n 1 2 n 1 1 3 2 3 两式相减得 2an nan 1 n 1 an 3n2 3n 1 2n 1 1 3 2 3 整理得 n 1 an nan 1 n n 1 即 1 又 1 an 1 n 1 an n a2 2 a1 1 故数列 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 an n a1 1 所以 1 n 1 1 n an n 所以 an n2 3 证明 当 n 1 时 1 1 a1 7 4 当 n 2 时 1 1 a1 1 a2 1 4 5 4 7 4 当 n 3 时 1 an 1 n2 1 n 1 n 1 n 1 1 n 此时 1 a1 1 a2 1 an 1 1 4 1 32 1 42 1 n2 1 1 4 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 1 n 1 1 4 1 2 1 n 7 4 1 n 7 4 综上 对一切正整数 n 有 1 a1 1 a2 1 an 7 4 3 2013 天津 19 已知首项为 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn n N 且 2S2 S3 4S4成等差数列 3 2 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 Sn n N 1 Sn 13 6 1 解 设等比数列 an 的公比为 q 因为 2S2 S3 4S4成等差数列 所以 S3 2S2 4S4 S3 即 S4 S3 S2 S4 可得 2a4 a3 于是 q a4 a3 1 2 又 a1 所以等比数列 an 的通项公式为 3 2 an n 1 1 n 1 3 2 1 2 3 2n 2 证明 Sn 1 Sn 1 2 n 1 Sn 1 1 2 n 1 1 1 2 n 2 1 2n 2n 1 n为奇数 2 1 2n 2n 1 n为偶数 当 n 为奇数时 Sn 随 n 的增大而减小 1 Sn 所以 Sn S1 1 Sn 1 S1 13 6 当 n 为偶数时 Sn 随 n 的增大而减小 1 Sn 所以 Sn S2 1 Sn 1 S2 25 12 故对于 n N 有 Sn 1 Sn 13 6 4 2014 广东 19 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn满足 S n2 n 3 Sn 3 n2 n 2 n 0 n N 1 求 a1的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 1 a1 a1 1 1 a2 a2 1 1 an an 1 1 3 1 解 由题意知 S n2 n 3 Sn 3 n2 n 0 n N 令 n 1 有 S 12 1 3 S1 3 12 1 0 2 n2 1 可得有 S S1 6 0 解得 S1 3 或 2 即 a1 3 或 2 2 1 又 an为正数 所以 a1 2 2 解 由 S n2 n 3 Sn 3 n2 n 0 n N 可得 Sn 3 Sn n2 n 0 则 Sn n2 n 或 Sn 3 2 n 又数列 a