必修二点线面之间的位置关系测试题含答案

第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系 一 选择题一 选择题 1 设 为两个不同的平面 l m 为两条不同的直线 且 l m 有如下的两个命题 若 则 l m 若 l m 则 那么 A 是真命题 是假命题B 是假命题 是 真命题 C 都是真命题D 都是假命题 2 如图 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的是 A BD 平面 CB1D1 B AC1 BD C AC1 平面 CB1D1 D 异面直线 AD 与 CB1角为 60 3 关于直线 m n 与平面 有下列四个命题 m n 且 则 m n m n 且 则 m n m n 且 则 m n m n 且 则 m n 其中真命题的序号是 A B C D 第 2 题 4 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 l1 l2与同一平面所成的角相等 则 l1 l2互相平 行 若直线 l1 l2是异面直线 则与 l1 l2都相交的两条直线 是异面直线 其中假命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 5 下列命题中正确的个数是 若直线 l 上有无数个点不在平面 内 则 l 若直线 l 与平面 平行 则 l 与平面 内的任意一条直线 都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行 那么 另一条直线也与这个平面平行 若直线 l 与平面 平行 则 l 与平面 内的任意一条直线 都没有公共点 A 0 个B 1 个C 2 个 D 3 个 6 两直线 l1与 l2异面 过 l1作平面与 l2平行 这样的平 面 A 不存在B 有唯一的一个C 有无数个 D 只有两个 7 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 当以 A B C D 四 点为顶点的三棱锥体积最大时 直线 BD 和平面 ABC 所成的 角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 8 下列说法中不正确的是 A 空间中 一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边 形 B 同一平面的两条垂线一定共面 C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直 且这 些直线在同一个平面内 D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9 给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的一个平 面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那 么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线互相 平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么些两个 平面互相垂直 其中真命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 10 异面直线 a b 所成的角 60 直线 a c 则直线 b 与 c 所成的角的范围为 A 30 90 B 60 90 C 30 60 D 30 120 二 填空题二 填空题 11 已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA PB PC 两两相互 垂直 且三个侧面的面积分别为 S1 S2 S3 则这个三棱锥 的体积为 12 P 是 ABC 所在平面 外一点 过 P 作 PO 平面 垂 足是 O 连 PA PB PC 1 若 PA PB PC 则 O 为 ABC 的 心 2 PA PB PA PC PC PB 则 O 是 ABC 的 心 3 若点 P 到三边 AB BC CA 的距离相等 则 O 是 ABC 的 心 4 若 PA PB PC C 90 则 O 是 AB 边的 点 5 若 PA PB PC AB AC 则点 O 在 ABC 的 J 第 13 题 线上 13 如图 在正三角形 ABC 中 D E F 分别为各边的中 点 G H I J 分别为 AF AD BE DE 的中点 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的 度数为 14 直线 l 与平面 所成角为 30 l A 直线 m 则 m 与 l 所成角的取值范围 是 15 棱长为 1 的正四面体内有一点 P 由点 P 向各面引垂 线 垂线段长度分别为 d1 d2 d3 d4 则 d1 d2 d3 d4 的值为 16 直二面角 l 的棱上有一点 A 在平面 内各 有一条射线 AB AC 与 l 成 45 AB AC 则 BAC 三 解答题三 解答题 17 在四面体 ABCD 中 ABC 与 DBC 都是边长为 4 的 正三角形 1 求证 BC AD 2 若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3 求二面角 A BC D 的正弦值 3 设二面角 A BC D 的大小为 猜想 为何值 时 四面体 A BCD 的体积最大 不要求证明 第 17 题 18 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BB1 BC 1 E 为 D1C1的中点 连结 ED EC EB 和 DB 1 求证 平面 EDB 平面 EBC 2 求二面角 E DB C 的正切值 19 如图 在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD 中 AD BC ABC 90 SA 面 ABCD SA AB BC AD 2 1 1 求四棱锥 S ABCD 的体积 2 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 提示 延长 BA CD 相交于点 E 则直线 SE 是 所求二面角的棱 20 斜三棱柱的一个侧面的面积为 10 这个侧面与它所对 棱的距离等于 6 求这个棱柱的体积 提示 在 AA1 上取 一点 P 过 P 作棱柱的截面 使 AA1 垂直于这个截面 第 18 题 第 20 题 答案 答案 DDDDB BCDBA 11 12 外 垂 内 中 BC 边的垂直平 3 1 321 2SSS 分 13 60 14 30 90 15 16 60 或 120 3 6 三 解答题三 解答题 17 证明 1 取 BC 中点 O 连结 AO DO ABC BCD 都是边长为 4 的正三角形 AO BC DO BC 且 AO DO O BC 平面 AOD 又 AD 平面 AOD BC AD 第 17 题 解 2 由 1 知 AOD 为二面角 A BC D 的平面角 设 AOD 则过点 D 作 DE AD 垂足为 E BC 平面 ADO 且 BC 平面 ABC 平面 ADO 平面 ABC 又平面 ADO 平面 ABC AO DE 平面 ABC 线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离 即 DE 3 又 DO BD 2 2 3 3 在 Rt DEO 中 sin DO DE 2 3 故二面角 A BC D 的正弦值为 2 3 3 当 90 时 四面体 ABCD 的体积最大 18 证明 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BB1 BC 1 E 为 D1C1的中点 DD1E 为等腰直 角三角形 D1ED 45 同理 C1EC 45 90DEC 即 DE EC 在长方体 ABCD 中 BC 平面 又 DE 平面 1111 DCBA 11DCC D 11DCC D BC DE 又 DE 平面 EBC 平面 DEB 过CBCEC DE 平面 DEB 平面 EBC 2 解 如图 过 E 在平面中作 EO DC 于 11DCC D O 在长方体 ABCD 中 面 ABCD 面 1111 DCBA EO 面 ABCD 过 O 在平面 DBC 中作 11DCC D OF DB 于 F 连结 EF EF BD EFO 为二面 角E DB C 的平面角 利用平面几何知识可得 OF 5 1 第 18 题 又 OE 1 所以 tan EFO 5 19 解 1 直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面 ABADBC 2 1 4 3 1 2 2 1 1 四棱锥 S ABCD 的体积是 V SA M 底面 3 1 1 3 1 4 3 4 1 2 如图 延长 BA CD 相交于点 E 连结 SE 则 SE 是所 求二面角的棱 AD BC BC 2AD EA AB SA SE SB SA 面 ABCD 得面 SEB 面 EBC EB 是交线 又 BC EB BC 面 SEB 故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影 CS SE BSC 是所求二面角的平面角 SB BC 1 BC SB 22 AB SA2 tan BSC 第 19 题 2 2 SB BC 即所求二面角的正切值为 2 2 20 解 如图 设斜三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BB1C1C 的面积为 10 A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6 在 AA1上取一 点 P 作截面 PQR 使 AA1 截面 PQR AA1 CC1 截面 PQR 侧面 BB1C1C 过 P 作 PO QR 于 O 则 PO 侧面 BB1C1C 且 PO 6 V 斜 S PQR AA1 QR PO AA1 2 1 PO QR BB1 2 1 10 6 2 1 30 第 20 题 第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系 参考答案及解析参考答案及解析 A 组组 一 选择题一 选择题 1 D 解析 命题 有反例 如图中平面 平面 直线 n l m 且 l n m n 则 m l 显然平面 不垂直平面 第 1 题 故 是假命题 命题 显然也是假命题 2 D 解析 异面直线 AD 与 CB1角为 45 3 D 解析 在 的条件下 m n 的位置关系不确定 4 D解析 利用特殊图形正方体我们不难发现 均 不正确 故选择答案 D 5 B 解析 学会用长方体模型分析问题 A1A 有无数点 在平面 ABCD 外 但 AA1与平面 ABCD 相交 不 正确 A1B1 平面 ABCD 显然 A1B1不平行于 BD 不正 确 A1B1 AB A1B1 平面 ABCD 但 AB 平面 ABCD 内 不正确 l 与平面 平行 则 l 与 无公共点 l 与平面 内的所有直线都没有公共点 正确 应选 B 第 5 题 6 B 解析 设平面 过 l1 且 l2 则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 与 的交线 l3 l2 且 l3 过点 P 又过 点 P 与 l2 平行的直线只有一条 即 l3 有唯一性 所以经 过 l1 和 l3 的平面是唯一的 即过 l1 且平行于 l2 的平面 是唯一的 7 C 解析 当三棱锥 D ABC 体积最大时 平面 DAC ABC 取 AC 的中点 O 则 DBO 是等腰直角三角形 即 DBO 45 8 D 解析 A 一组对边平行就决定了共面 B 同一平面 的两条垂线互相平行 因而共面 C 这些直线都在同一个 平面内即直线的垂面 D 把书本的书脊垂直放在桌上就明 确了 9 B 解析 因为 正确 故选 B 10 A 解析 异面直线 所成的角为 60 直线 过abca 空间任一点 P 作直线 a a b b c c 若 a b c 共面则 b 与 c 成 30 角 否则 与 所成的角的bc 范围为 30 90 所以直线 b 与 c 所成角的范围为 30 90 二 填空题二 填空题 11 3 1 321 2SSS 解析 设三条侧棱长为 a b c 则 ab S1 bc S2 ca S3 三式相乘 2 1 2 1 2 1 a2 b2 c2 S1S2S3 8 1 abc 2 321 2SSS 三侧棱两两垂直 V abc 3 1 2 1 3 1 321 2SSS 12 外 垂 内 中 BC边的垂直平分 解析 1 由三角形全等可证得 O 为 ABC 的外心 2 由直线和平面垂直的判定定理可证得 O 为 ABC 的垂 心 3 由直线和平面垂直的判定定理可证得 O 为 ABC 的内 心 4 由三角形全等可证得 O 为 AB 边的中点 5 由 1 知 O 在 BC 边的垂直平分线上 或说 O 在 BAC 的平分线上 13 60 解析 将 ABC 沿 DE EF DF 折成三棱锥以后 GH 与 IJ 所成角的度数为 60 14 30 90 解析 直线 l 与平面 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最 小值 当 m 在 内适当旋转就可以得到 l m 即 m 与 l 所 成角的的最大值为 90 15 3 6 解析 作等积变换 d1 d2 d3 d4 4 3 3 1 h 而 h 4 3 3 1 3 6 16 60 或 120 解析 不妨固定 AB 则 AC 有两种可能 三 解答题三 解答题 17 证明 1 取 BC 中点 O 连结 AO DO ABC BCD 都是边长为 4 的正三角形 AO BC DO BC 且 AO DO O BC 平面 AOD 又 AD 平面 AOD BC AD 第 17 题 解 2 由 1 知 AOD 为二面角 A BC D 的平面角 设 AOD 则过点 D 作 DE AD 垂足为 E BC 平面 ADO 且 BC 平面 ABC 平面 ADO 平面 ABC 又平面 ADO 平面 ABC AO DE 平面 ABC 线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离 即 DE 3 又 DO BD 2 2 3 3 在 Rt DEO 中 sin DO DE 2 3 故二面角 A BC D 的正弦值为 2 3 3 当 90 时 四面体 ABCD 的体积最大 18 证明 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BB1 BC 1 E 为 D1C1的中点 DD1E 为等腰直 角三角形 D1ED 45 同理 C1EC 45 90DEC 即 DE EC 在长方体 ABCD 中 BC 平面 又 DE 平面 1111 DCBA 11DCC D 11DCC D BC DE 又 DE 平面 EBC 平面 DEB 过CBCEC DE 平面 DEB 平面 EBC 2 解 如图 过 E 在平面中作 EO DC 于 11DCC D O 在长方体 ABCD 中 面 ABCD 面 1111 DCBA EO 面 ABCD 过 O 在平面 DBC 中作