数形结合思想在高中数学解题中的应用

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 第第 5 讲讲 数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用 一 知识整合一 知识整合 1 数形结合是数学解题中常用的思想方法 使用数形结合的方法 很多问题能迎刃而解 且解法简捷 所谓数形 结合 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想 通过 以形助数 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问 题的本质 它是数学的规律性与灵活性的有机结合 2 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与图象的对应关系 曲线与 方程的对应关系 以几何元素和几何条件为背景 建立起来的概念 如复数 三角函数等 所给的等式或代数式 的结构含有明显的几何意义 如等式 xy 214 22 3 纵观多年来的高考试题 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题 可起到事半功倍的效果 数 形结合的重点是研究 以形助数 4 数形结合的思想方法应用广泛 常见的如在解方程和解不等式问题中 在求函数的值域 最值问题中 在求复 数和三角函数问题中 运用数形结合思想 不仅直观易发现解题途径 而且能避免复杂的计算与推理 大大简化了解 题过程 这在解选择题 填空题中更显其优越 要注意培养这种思想意识 要争取胸中有图 见数想图 以开拓自己 的思维视野 二 例题分析二 例题分析 例 1 的取值范围 之间 求和的两根都在的方程若关于kkkxxx31032 2 分析 分析 0 32 2 xfxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方 其图象与令 13 1 0yf xf 的解 由的图象可知 要使二根都在 之间 只需 3 0f 0 2 b ffk a 10 10 kk 同时成立 解得 故 例 2 解不等式 xx 2 解 法一 常规解法 原不等式等价于或 I x x xx II x x 0 20 2 0 20 2 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解 得 解 得 IxIIx0220 综上可知 原不等式的解集为或 xxxxx 200222 法二 数形结合解法 令 则不等式的解 就是使的图象yxyxxxyx 121 222 在的上方的那段对应的横坐标 yx 2 如下图 不等式的解集为 x xxx AB 而可由 解得 xxxxx BBA 222故不等式的解集为 xx 22 例 3 已知 则方程的实根个数为01 aax x a log A 1 个B 2 个C 3 个D 1 个或 2 个或 3 个 分析 分析 判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数 画yayx x a log 出两个函数图象 易知两图象只有两个交点 故方程有 2 个实根 选 B 例 4 如果实数 满足 则的最大值为xyxy y x 23 22 ABCD 1 2 3 3 3 2 3 分析 分析 等式有明显的几何意义 它表坐标平面上的一个圆 xy 23 22 圆心为 半径 如图 而则表示圆上的点 与坐 203 0 0 r y x y x xy 标原点 的连线的斜率 如此以来 该问题可转化为如下几何问题 动点 00A 在以 为圆心 以为半径的圆上移动 求直线的斜率的最大值 由图 203OA 可见 当 在第一象限 且与圆相切时 的斜率最大 经简单计算 得最AOA 大值为 tg603 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例 5 已知 满足 求的最大值与最小值xy xy yx 22 1625 13 分析 分析 对于二元函数在限定条件下求最值问题 常采用yx xy 3 1625 1 22 构造直线的截距的方法来求之 令 则 yxbyxb 33 原问题转化为 在椭圆上求一点 使过该点的直线斜率为 xy 22 1625 13 且在 轴上的截距最大或最小 y 由图形知 当直线与椭圆相切时 有最大截距与最小yxb xy 3 1625 1 22 截距 yxb xy xbxb 3 1625 1 16996164000 22 22 由 得 故的最大值为 最小值为 01331313byx 例 6 若集合 集合 Mxy x y Nxy yxb cos sin 3 3 0 且 则 的取值范围为 MNb 分析 Mxy xyyM 显然 表示以 为圆心 22 90100 以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分 如图 而 N 则表示一条直线 其斜率 k 1 纵截 距为 由图形易知 欲使 即是使直线与半圆有公共点 bMNyxb 显然 的最小逼近值为 最大值为 即bb 33 233 2 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例 7 点是椭圆上一点 它到其中一个焦点的距离为 为M xy FN 22 1 2516 12 MF1的中点 O 表示原点 则 ON ABCD 3 2 248 分析 分析 设椭圆另一焦点为 F2 如图 则 而 MFMFaa 12 25 又注意到 N O 各为 MF1 F1F2的中点 MFMF 12 28 ON 是 MF1F2的中位线 ONMF 1 2 1 2 84 2 若联想到第二定义 可以确定点 M 的坐标 进而求 MF1中点的坐标 最后利用两点间的距离公式求出 ON 但这样就增加了计算量 方法较之 显得有些复杂 例 8 已知复数 满足 求 的模的最大值 最小值的范围 zziz 222 分析 分析 由于 有明显的几何意义 它表示复数 对应的 ziziz 2222 点到复数对应的点之间的距离 因此满足的复数 对应点2 2i ziz 222 Zzz 在以 为圆心 半径为的圆上 如下图 而表示复数 对应的 222 点 到原点 的距离 显然 当点 圆心 点 三点共线时 取得最值 ZOZCOz minmax zz 23 2 的取值范围为 z23 2 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例 9 求函数的值域 y x x sin cos 2 2 解法一解法一 代数法 则得y x x yxyx sin cos cossin 2 2 22 sincossin xyxyyxy 22122 2 而sin sin x y y x 22 1 1 2 解不等式得 22 1 1 47 3 47 3 2 y y y 函数的值域为 47 3 47 3 解法二解法二 几何法 y x x y yy xx sin cos 2 2 21 21 的形式类似于斜率公式 y x x PPxx sin cos cossin 2 2 22 0 表示过两点 的直线斜率 22 1Pxy 由于点在单位圆上 如图 显然 kyk P AP B 00 设过的圆的切线方程为Pyk x 0 22 则有 解得 22 1 1 47 3 2 k k k 即 kk P AP B 00 47 3 47 3 47 3 47 3 y 函数值域为 47 3 47 3 例 10 求函数的最值 utt 246 分析 分析 由于等号右端根号内 同为 的一次式 故作简单换元 无法tttm24 转化出一元二次函数求最值 倘若对式子平方处理 将会把问题复杂化 因此该题用常规解法显得比较困难 考虑到 式中有两个根号 故可采用两步换元 解 解 设 则xtytuxy 246 且 xyxy 22 216 0402 2 所给函数化为以 为参数的直线方程 它与椭圆在uyxuxy 22 216 第一象限的部分 包括端点 有公共点 如图 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 umin 2 2 相切于第一象限时 u 取最大值 yxu xy xuxu 22 22 216 342160 解 得 取 uu2 62 6 umax 2 6 三 总结提炼三 总结提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧 特别是在解决选择 填空题是发挥着奇特功效 复习中 要以熟练技能 方法为目标 加强这方面的训练 以提高解题能力和速度 四 强化训练四 强化训练 见优化设计 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 方程的实根的个数为 lgsinxx A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 函数的图象恰有两个公共点 则实数 a 的取值范围是 ya xyxa 与 A B 1 11 C D 11 11 3 设命题甲 命题乙 则甲是乙成立的 03 x x 14 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 不充分也不必要条件 4 适合且的复数 z 的个数为 z 11argz 4 A 0 个B 1 个C 2 个D 4 个 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 5 若不等式的解集为则 a 的值为 xaxa 0 x mxnmna 且 2 A 1B 2C 3D 4 6 已知复数的最大值为 zizzz 1212 32 则 A B C D 102 5210 22 2 7 若时 不等式恒成立 则 a 的取值范围为 x 12 logxx a 1 2 A 0 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 8 定义在 R 上的函数上为增函数 且函数的图象的对称轴为 则 yf x 在 2yf x 2x 0 A B ff 13ff 03 C D ff 13ff 23 二 填空题 9 若复数 z 满足 则的最大值为 z 2 zi 1 10 若对任意实数 t 都有 则 由小到大依次为f xxbxc 2 ftft 22 ff 13 f 4 11 若关于 x 的方程有四个不相等的实根 则实数 m 的取值范围为 xxm 2 45 12 函数的最小值为 yxxxx 22 22613 13 若直线与曲线有两个不同的交点 则实数 m 的取值范围是 yxm yx 1 2 三 解答题 14 若方程上有唯一解 lg lg xxmx 2 3303在 求 m 的取值范围 15 若不等式的解集为 A 且 求 a 的取值范围 41 2 xxax Axx 02 16 设 试求下述方程有解时 k 的取值范围 aa 01且 log log a a xakxa 2 22 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 试题答案试题答案 一 选择题 1 C 提示 画出在同一坐标系中的图象 即可 yxyx sinlg 2 D 提示 画出的图象ya xyxa 与 情形 1 a a a 0 1 1 情形 2 a a a 0 1 1 3 A 4 C 提示 Z 1 1 表示以 1 0 为圆心 以 1 为半径的圆 显然点 Z 对应的复数满足条件 另外 点argz 4 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 O 对应的复数 O 因其辐角是多值 它也满足 故满足条件的 z 有两个 argz 4 5 B 提示 画出的图象 依题意 从而 yxayx mana aaaa 02或 6 C 提示 由可知 z2对应的点在以 0 0 为圆心 以 2 为半径的圆上 z22 而 zzzzzi 12212 3 表示复数对应的点的距离 zi 2 3与 结合图形 易知 此距离的最大值为 PO r 30102102 22 7 C 提示 令 yxyx a1 2 2 1 log 若 a 1 两函数图象如下图所示 显然当时 x 12 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 要使 只需使 综上可知yy 12 log a a2212 2 即 当时 不等式对恒成立 12 a logxx a 1 2 x 12 若 两函数图象如下图所示 显然当时 不等式恒不成立 01 ax 12 logxx a 1 2 可见应选 C 8 A 提示 f x 2 的图象是由 f x 的图象向左平移 2 个单位而得到的 又知 f x 2 的图象关于直线 x 0 即 y 轴 对称 故可推知 f x 的图象关于直线 x 2 对称 由 f x 在 上为增函数 可知 f x 在上为减函数 2 2 依此易比较函数值的大小 二 填空题 9 22 提示 Z 2 表示以原点为原心 以 2 为半径的圆 即满足 Z 2 的复数 Z 对应的点在圆 O 上运动 如下图 而 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 z 1 i z 1 i 表示复数 Z 与 1 i 对应的两点的距离 由图形 易知 该距离的最大值为 22 10 fff 143 提示 由知 f x 的图象关于直线 x 2 对称 又为二次函数 其图象是ftft 22 f xxbxc 2 开口向上的抛物线 由 f x 的图象 易知的大小 fff 134 11 m 15 提示 设 画出两函数图象示意图 要使方程有四个不相等实根 只yxxym 1 2 2 45 xxm 2 45 需使15 m 12 最小值为13 提示 对 联想到两点的距离公式 它表示点 x 1 到xxxx 222 2211110 1 0 的距离 表示点 x 1 到点 3 3 的距离 于是xxx 222 613313 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 表示动点 x 1 到两个定点 1 0 3 3 的距离之和 结合图形 易得yxxxx 22 22613 ymin 13 13 m 21 提示 y x m 表示倾角为 45 纵截距为 m 的直线方程 而则表示以 0 0 为圆心 以 1 为yx 1 2 半径的圆在 x 轴上方的部分 包括圆与 x 轴的交点 如下图所示 显然 欲使直线与半圆有两个不同交点 只需直 线的纵截距 即 m 12 m 21 三 解答题 14 解 原方程等价于 xxm x x xxmx xxm x xxm 2 2 2 2