数学建模作业(三)

数学建模作业 三 第三章习题 2013 04 09 速度为速度为 v v 的风吹在迎风面积为的风吹在迎风面积为 s s 的风车上 空气的密度是的风车上 空气的密度是 用量纲分析法确定 用量纲分析法确定 风车获得的功率风车获得的功率 p p 与与 v v s s 的关系 的关系 对于风车获得的功率 p 与 v s 的关系我们假设 1 忽略其它因素对功率的影响 2 将其视为理想化模型 在这些假设下 风车获得的功率与以下物理量有关 风车获得的功率 p 风速 v 迎风面积 s 空气密度 它们的量纲分别是 23 pM LT 1 vLT 23 LLsM 设 有 1234 p v s 1234 14123412 23123 2 2 3 3 M LTLTLM L MLT 由得到以下线性方程组 1 14 1234 12 0 2230 30 不难验证 这个方程组的秩为 3 因此方程组的解空间是 4 维 由 1 1 可得方程组的基本解 1 1 3 1 1 e e 于是 与这四个参数有关的量纲乘积为 311 1 pv s 四个物理量之间的关系为即 1 0 f 311 0 fpv s 根据隐函数运算法则 得 3 ps v 其中为无单位的常比例系数 俗话说俗话说 大饺子能装馅大饺子能装馅 试自建一个 试自建一个 包饺子包饺子 的数学模型并进行分析 判断这的数学模型并进行分析 判断这 一说法是否正确 一说法是否正确 大饺子能装馅 考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅 为了简化模型 我们做出以下假设 1 饺子都是标准球形 2 饺子大小全部一致 3 饺子皮的厚度相同 4 饺子皮的厚度忽略不计 涉及到的物理量 饺子皮总面积 S 一个饺子皮的面积 s 饺子数 n 饺子半径 r 所包馅的总体积 V 一 个饺子包含馅的体积 v 这些物理量有以下关系 2 3 s 4 4 3 r vr nSs Vnv 可得 3 4 S s V 因此 大饺子能装馅 这一说法正确 考察一个模拟水下爆炸的实验 爆炸物的质量考察一个模拟水下爆炸的实验 爆炸物的质量 m 在距爆炸点的距离为在距爆炸点的距离为 r 处接受冲处接受冲 击波 产生压强为击波 产生压强为 p 记大气初始压强为 记大气初始压强为 p0 水的密度为 水的密度为 水的体积弹性模量为 水的体积弹性模量为 k k 由量纲分析法已经得到 由量纲分析法已经得到 设模拟现场与现场的 设模拟现场与现场的 3 00 pppkrm p k k 相同 而爆炸物模型的质量为原型的相同 而爆炸物模型的质量为原型的 1 10000 1 10000 为使实验中接受到与现场相为使实验中接受到与现场相 同的压强 试计算接受冲击波仪器的相对位置 是现场仪器与爆炸点之间距离的多少同的压强 试计算接受冲击波仪器的相对位置 是现场仪器与爆炸点之间距离的多少 倍 倍 设模拟实验时现场仪器与爆炸点之间距离为 r1 爆炸物质量为 m1 现场爆炸时现场仪 器与爆炸点之间距离为 r2 爆炸物质量为 m2 根据题目假设有模拟现场与现场的 p k 相同 而爆炸物模型的质量为原型的 1 10000 根据量纲分析法得到的公式有 为使实验中接受到与现 3 00 pppkrm 场相同的压强 需