三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数公式整合 三角函数公式整合 两角和公式 sin A B sinAcosB cosAsinB sin A B sinAcosB cosAsinB cos A B cosAcosB sinAsinB cos A B cosAcosB sinAsinB tan A B tanA tanB 1 tanAtanB tan A B tanA tanB 1 tanAtanB cot A B cotAcotB 1 cotB cotA cot A B cotAcotB 1 cotB cotA 倍角公式 Sin2A 2SinA CosA Cos2A CosA 2 SinA 2 1 2SinA 2 2CosA 2 1 tan2A 2tanA 1 tanA 2 和差化积 sin sin 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 sin 2 tanA tanB sin A B cosAcosB tan A B 1 tanAtanB tanA tanB sin A B cosAcosB tan A B 1 tanAtanB 积化和差 sin sin 1 2 cos cos cos cos 1 2 cos cos sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin 诱导公式 sin sin cos cos sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2 sin sin sin cos cos sin sin cos cos tanA sinA cosA tan 2 cot tan 2 cot tan tan tan tan 诱导公式记背诀窍 奇变偶不变 符号看象限 万能公式 1 1 极限的概念极限的概念 1 数列的极限 正整数 当时 恒有0 N Nn Axn 或 Axn n limAxn n 几何意义 在之外 至多有有限个点 AA n x N xxx 21 2 函数的极限 的极限 当时 恒有x 0 0 XXx Axf 或 Axf x limAxf x 几何意义 在 之外 的值总在之间 XxX xf AA 的极限 当时 恒有 0 xx 0 0 0 0 xx Axf 或 Axf xx lim 0 Axf 0 xx 几何意义 在邻域内 的值总在之间 0000 xxxx x xf AA 3 左右极限 左极限 当时 恒有0 0 00 xxx Axf 或 Axf xx lim 0 Axfxf 0 00 右极限 当时 恒有0 0 00 xxx Axf 或 Axf xx lim 0 Axfxf 0 00 极限存在的充要条件 00 lim lim xxxx f xAf x 4 极限的性质 唯一性 若 则唯一Axf xx lim 0 A 保号性 若 则在的某邻域内Axf xx lim 0 0 x 0A 0 A 0f x 0 f x 0f x 0 f x 0A 0 A 有界性 若 则在的某邻域内 有界Axf xx lim 0 0 x xf 2 2 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1 定义 以 0 为极限的变量称无穷小量 以为极限的变量称无穷大量 同一极 限 过程中 无穷小 除 0 外 的倒数为无穷大 无穷大的倒数为无穷小 注意 0 是无穷小量 无穷大量必是无界变量 但无界变量未必是无穷大量 例如 当时 是无界变量 但不是无穷大量 x xxsin 2 性质 有限个无穷小的和 积仍为无穷小 无穷小与有界量的积仍为无穷小 成立的充要条件是 Axf xx lim 0 Axf 00 xxx 0lim 3 无穷小的比较 设 0lim 0lim 若 则称是比高阶的无穷小 记为 特别称为lim0 o 的主部 o 若 则称是比低阶的无穷小 lim 若 则称与是同阶无穷小 limC 若 则称与是等价无穷小 记为 lim1 若 则称为的阶无穷小 lim k C 0 0 kC k 4 无穷大的比较 若 且 则称是比高阶limu limv lim u v uv 的无穷大 记为 特别称为的主部 1 o vu 1 uvo vv 3 3 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 若同一极限过程的无穷小量 且存在 则 lim limlim f xf x g xg x lim0 常用等价无穷小 sin tan arcsin arctan ln 1 1 11 e 2 1 1 1 cos 2 1 11 2 1 1 1 1 ln n n aa 注意 1 无论极限过程 只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换 2 无穷小的替换一般只用在乘除情形 不用在加减情形 3 等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用 即 若 则lim 0 ff ff 4 4 极限运算法则极限运算法则 设 Axf limBxg lim 1 limxgxf limxfBAxg lim 2 limxgxf limxfBAxg lim 特别地 lim limxfCxCf n xf lim n n Axf lim 3 lim xg xf B A xg xf lim lim 0 B 5 5 准则与公式准则与公式 lim0 lim0 准则 1 夹逼定理 若 则 xxfx Axx lim lim Axf lim 准则 2 单调有界数列必有极限 若单调 且 则存在 收敛 n x n xM 0M lim n n x n x 准则 3 主部原则 limlim o o 11111 21212 limlim oo oo 公式 1 0 sin lim1 x x x sin lim1 公式 2 1 0 lim 1 1 lim 1 x x n n x e n 1 lim 1 1 lim 1 e 公式 3 一般地 lim lim 1 e lim lim 1 ff e 公式 4 1 10 1 10 0 limlim nnn nnnn mmm xx mmmm nm a xaxaa xa nm b xbxbb xb nm 6 6 几个常用极限几个常用极限 0 1 aa 1 2 1lim n n a1lim n n n1lim 0 x x