三角函数应用题练习及答案

1 三角函数的应用题三角函数的应用题 第一阶梯第一阶梯 例例 1 1 如图 AD BC AC BC 若 AD 3 DC 5 且 B 30 求 AB 的长 解 DAC 90 由勾股定理 有 CD2 AD2 AC2 AD 3 DC 5 AC 4 B 30 AB 2AC AB 8 例例 2 2 如图 ABC 中 B 90 D 是 BC 上一点 且 AD DC 若 tg DAC 4 1 求 tg BAD 探索探索 已知 tg DAC 是否在直角三角形中 如果不在怎么办 要求 BAD 的正切值需要满足怎样的条件 点拨点拨 由于已知中的 tg DAC 不在直角三角形中 所以需要转化到直角三角形中 即可地 D 点作 AC 的垂线 又要求 BAD 的正切值应已知 Rt BAD 的三边长 或两条直角边 AB BD 的长 根据已知可知没有提 供边长的条件 所以要充分利用已知中的 tg DAC 的条件 由于 AD DC 即 C DAC 这时也可 把正切值直接移到 Rt ABC 中 解答解答 过 D 点作 DE AC 于 E 4 1 DAC tg 且AE DE DAC tg 设 DE k 则 AE 4k AD DC DAC C AE EC AC 8k 4 1 BC AB tgC 设 AB m BC 4m 由勾股定理 有 AB2 BC2 AC2 km 17 178 kBC 17 1732 由勾股定理 有 CD2 DE2 EC2 2 kCD17 kBD 17 1715 由正切定理 有 8 15 BADtg AB DB BADtg 例例 3 3 如图 四边形 ABCD 中 D 90 AD 3 DC 4 AB 13 BC 12 求 sinB 探索探索 已知条件提供的图形是什么形 其中 D 90 AD 3 DC 4 可提供什么知识 求 sinB 应放在什么 图形中 点拨点拨 因已知是四边形所以不能求解 由于有 D 90 AD 3 DC 4 这样可求 AC 5 又因有 AB 13 BC 12 所以可证 ABC 是 Rt 因此可求 sinB 解解 连结 AC D 90 由勾股定理 有 AC2 CD2 CD2 AD 3 CD 4 AC 5 AB 13 BC 12 132 122 52 ACB 90 由正弦定义 有 13 5 sin sin B AB AC B 第二阶梯第二阶梯 例例 1 1 如图 在河的对岸有水塔 AB 今在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30 前进 20 米后到 D 处 又测得 A 的 仰角为 45 求塔高 AB 探索探索 在河对岸的塔能否直接测得它的高度 为什么在 C D 两处测得仰角的含义是 什么 怎样用 CD 的长 点拨点拨 要直接隔岸测得塔高是不可能的 也不可能直接过河去测量 这时只能考虑如 何利用两个仰角及 CD 长 由于塔身与地面垂直 且 C D B 三点共线这时可以构成一个 直角三角形 且有 ACB 30 ADB 45 这时就可以借助解直角三角形的知识求解了 解解 根据仰角的定义 有 ACB 30 ADB 45 又 AB CB 于 B DAB 45 3 DB AB 设 AB x 由正切定义 有 20 13 20 13 x CD xCD CB AB ACBtg DB AB ADBtg 及 解得 13 10 x 即塔高 13 10 AB 答 塔高 AB 为 13 10 米 第三阶梯第三阶梯 例例 1 1 已知等腰三角形的顶点为 A 底边为 a 求它的周长及面积 探索探索 在现在的已知条件下能否求得周长与面积 如果不能求解是因为什么原因造成的 这时底边为 a 能否确定腰长及各个内角呢 首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办 点拨点拨 由于没有相应的图形 所以应先确定图形 若是等腰三角形 应先假设这个三角形是斜三角形 再根据条件先转化为直角三角形 再求相应的量 设已知 ABC 中 AB AC BC a 如图 解 过 A 点作 AD BC 竽 D 点 设 BAD AB AC BD CD CADBAD a 2 根据正弦定义 有 sin2 sin2sin 2 sin a AC a a AB AB BD BAD 同理 即 AB AC BC a sin a 由余切定义 有 DB AD BADctg AD ctg a 2 4 ADBCS ABC 2 1 ctg a S ABC 4 2 注意 也可设 BAC 则 BAD 2 例例 2 2 有一块矩形纸片 ABCD 若把它对折 B 点落在 AD 上 F 处 如果 DC 6cm 且 DFC 2 ECB 求折痕 CE 长 探索探索 根据已知条件图形对折 B 点落在 F 点的含义是什么 它会有怎样的结论 这时又可以形成什么 图形关系 另知 DC 的长能否求折痕呢 又根据条件我们还可以确定什么 这时又可形成怎样的问题 点拨点拨 由于 F 点的形成是因对折 B 点而形成的 因此可有 EBC FEC 同时又可有 AEF CDF 根据已知条件 DFC 2 及 ECB 这时就可以形成与角有关的图形 进而可求 CE 的长 解解 根据已知条件 有 EBC FEC EB EF BC FC ECB ECF CFD 2 且 ECB ECF 由余弦定义 有 CF CD ADC cos ADC 90 2 2sin CD CF 由余弦定义 有 CE CF FCE cos cos2sin 6 CE 例例 3 3 如图 6 5 5 某船向正东方向航行 在 A 处望见灯塔 C 在东北方向 前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30 又航行了半小时 望见灯塔 C 恰在西北方向 若船速为每小时 20 海里 求 A D 两点间的距离 结 果不取近似值 图 6 5 5 思路分析 思路分析 易知 ACD 是等腰直角三角形 要求 AD 不能利用 ACD 直接求得 由于 10 2 1 20 BD图形中再没 有其他的直角 三角形 必须构造直角三角形 作 CE AD 于 E 只要求出 CE 就可能以求出 AD 借助两个直角三角形 BCE 和 DCE 中 BE DE 与 BD 的关系以及 BE 与 CE 之间的关系就可求 CE 解解 5 作 CE AD 垂足为 E 设 CE x 海里 CAD CDA 90 45 45 CE AE DE x 在 Rt BCE 中 CBE 90 30 60 3 3 60cotxCEBE 由 DE BE BD 得 2 1 20 3 3 xx 解得3515 x xAD海里 31030 2 答 A D 两点间的距离为 31030 海里 第四阶梯第四阶梯 例例 1 1 有一段防洪大堤 其横断面为梯形 ABCD AB DC 斜坡 AD 的坡度 i1 1 1 2 斜坡 BC 的坡度 i2 1 0 8 大坝顶宽 DC 为 6 米 为了增强抗洪能力 现将大堤加高 加高部分的横断面为梯形 DCFE EF DC 点 E F 分别在 AD BC 的延长线上 如图 6 5 6 当新大坝顶宽 EF 为 3 8 米时 大坝加高了几米 图 6 5 6 思路分析 思路分析 本题实质上是梯形 CDEF 的有关计算问题 注意到大堤加高但坡度不变 即 DE CF 的坡度公别为 1 1 2 1 0 8 又 DC 6 米 EF 3 8 米 要求大坝加高的高度 分别作 FH DC 于 G FH DC 于 H 利用 Rt DEG Rt CFH 和矩形 EFHG 可以求出新 大坝的高度 解解 作 EG DC FH DC 垂足分别为 G H 则四边形 EFHG 是矩形 GH EF 3 8 米 设大坝加高 x 米 则 EG FH x 米 i1 1 1 2 i2 1 0 8 8 0 1 2 1 1 CH FH DG EG 8 0 2 1xCHxDG 由 DG GH CH 6 得 1 2x 3 8 0 8 6 解得 x 1 1 6 答 答 大坝加高了 1 1 米 例例 2 2 如图 6 5 7 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴 有极强的 破坏力 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会减弱一级 该台风中心现正以 15 千米 时的速度沿北偏东 30 方向 往 C 移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过四级 则称为受台风影响 1 该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风的影响 那么台风影响该城市的持续时间有多长 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 图 6 5 7 思路分析 思路分析 1 作 AD BC 于 D 达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过 12 4 20 160 千米的范 围内 比较 AD 与 160 的大小关系 就可以确定该城市是否受这次台风的影响 2 当 A 点距台风中心不超过 160 千米时 将受到台风的影响 如图 6 5 7 AE AF 160 千米 当台风中 心从 E 处移 到 F 处时 该城市都会受到这次台风的影响 利用勾股定理计算出 EF 的长度 就可以计算出这次台风 影响该城 市的持续时间 3 显然当台风中心位于 D 处时 A 市所受这次台风的风力最大 解解 1 如图 6 5 7 由点 A 作 AD BC 垂足为 D AB 220 B 30 110 2 1 千米 ABAD 由题意 当 A 点距台风中心不超过 160 千米时 将会受到台风的影响 由于 AD 110 160 所以 A 市会受 到这次台 风的影响 2 在 BD 及 BD 的延长线上分别取 E F 两点 使 AE AF 160 千米 由于当 A 点距台风中心不超过 160 千米时 将会受到台风的影响 所以当台风中心从 E 点移到 F 点时 该城市都会到这次台风的影响 在 Rt ADE 中 由勾股定理 得530110160 2222 ADAEDE 15602 DEEF 千米 该台风中心以 15 千米 时的速度移动 这次台风影响该城市的持续时间154 15 1560 小时 3 当台风中心位于 D 处时 A 市所受这次台风的风力最大 其最大风马牛不相及力为 5 6 20 110 12级 7 四 四 课后练习课后练习 A A 组组 1 如图 6 5 8 一铁路路基的横断面为等腰梯形 根据图示数据计算路基的下底宽 AB 2 如图 6 5 9 在高 2 米 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要 米 精确到 0 1 米 图 6 5 8图 6 5 9 3 如图 6 5 10 在高离铁塔 150 米的 A 处 用测角仪测得塔顶的仰角为 30 已知测角仪高 AD 1 52 米 则 塔高 BE 精确到 0 1 米 图 6 5 10图 6 5 11 4 某防洪堤坝的横断面是梯形 已知背水坡的坡长为 60 米 坡角为 30 则坝高为 米 5 升国旗时 某同学站地离旗杆底部 24 米处行注目礼 当国旗升至旗杆顶端时 该同学视线的仰角恰为 30 若双眼离地面 1 5 米 则旗杆高度为 米 用含根号的式子表示 6 在地面上一点 测得一电视塔尖的仰角为 45 沿水平方面再向塔底前进 a 米 又测得塔尖的仰角为 60 那么电视塔高为 7 若太阳光线与地面成 37 角 一棵树的影长为 10m 则树高 h 的取值范围是 A 3 h 5 B 5 h 10 C 10 h15 8 河堤的横断面如图 6 5 11 所示 堤高 BC 是 5 米 迎水坡 AB 的长是 13 米 那么斜坡 AB 的坡宽 I 是 A 1 3 B 1 2 6 C 1 2 4 D 1 2 9 某地夏季中午 当太阳移到屋顶上方偏南时 光线与地面成 80 角 房屋朝南的窗子高 AB 1 8m 要在窗子外 面上方安装一个水平挡光板 AC 使午间光线不能直接射入室内 如图 6 5 12 那么挡光板 AC 的宽度至少 应为 图 6 5 12 8 图 6 5 13 A 1 8tan80 m B 1 8cos80 m C 80sin 8 1 m D 1 8cot80 m 10 如图 6 5 13 水库大坝的横断面为梯形 坝顶宽 6 米 坝高 24 米 斜坡 AB 的坡角为 45 斜坡 CD 的坡度 I 1 2 则坝底 AD 的长为 A 42 米 B 30 243 米 C 78 米 D 30 83 米 11 如图 6 5 14 两条宽度都为 1 的纸条 交叉重叠放在一起 且它们的交角为 a 则它们重叠部分 图中阴影 部分 的面积为 A sin 1 B cos 1 C sina D 1 图 6 5 14 12 如图 6 5 15 直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处 此时飞机离地面的高度 PO 450 米 且 A B O 三点 在一条直线上 测得大桥两端的俯角分别为 30 45 求大桥 AB 的长 精确到 1 米 供选的数据 2 1 41 3 1 73 13 某型号飞机的机翼形状如图 6 5 16 所示 其中 AB CD 根据图中的数据计算 AC BD 和 CD 的长度 结果 保留根号 14 如 6 5 17 某水库大坝的横断面是等腰梯形 坝顶宽度为 6 米 坝高 10 米 斜坡 AB 的坡度是 1 2 AR BR 现要加高 2 米 在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下 加固一条长 50 米的大坝 需要多 少土方 15 如图 6 5 18 已知 C 城市在 B 城市的正北方向 两城市相距 100 千米 计划在两城市间修筑一条高速公路 即线段 BC 经测量 森林保护区 A 在 B 城市的北偏东 40 方向上 又在 C 城市的南偏东 56 的方向上 已知森林保护区 A 的范围是以 A 为圆心 半径为 50 千米的圆 问 计算修筑的这条公路会不会穿越保护区 为什么 已知 tan40 0 839 tan56 1 483 B B 组组 1 1 知小山的高为 h 为了测得小山顶上铁塔 AB 的高 x 在平地上选择一点 P 在 P 点处测得 B 点的仰角为 A 点的仰角为 见右表中测量目标图 6 5 19 1 试用 和 h 的关系式表示铁塔高 x 2 在右表中根据第一次和第二次的 测得数据 填写 平均值 一列中 的数值 3 根据表中数据求出铁塔 x 的值 精确到 0 01m 2 如图 6 5 20 某校的教室 A 位于工地 O 的正西方向 且 OA 200 米 一台拖拉机从 O 点出发 以每秒 5 米的 速度沿北偏西 53 方向行驶 设拖拉机的噪声污染半径为 130 米 试问教室 A 是否在拖拉机的噪声污染范 围内 若不在 请说明理由 若在 求出教室 A 受污染的时间有几秒 已知 sin53 0 80 sin37 0 60 tan37 0 75 9 图 6 5 20 C C 组组 1 已知 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D CD 9 AB 20 求 sinB 2 已知水库大坝的横截面是梯形 ABCD 若 BC AD 坝顶 BC 宽 5 米 坝高 20 米 斜坡 AB 的坡度之 i 1 2 5 斜坡 CD 的坡度 i 1 2 求坝底 AD 及 AB CD 长 3 在 Rt ABC 中 ACB Rt CD AB 于点 D AD 4 5 4 sin ACD则 CD BC A