有理数混合运算简便算法与技巧

1 有理数的计算方法与技巧有理数的计算方法与技巧 有理数运算是代数入门的重点 又是难点 是中学数学中一切运算的基础 怎样 突破这一难点 除了要正确理解概念和掌握运算法则外 还必须熟练有理数运算的一 些技巧和方法 一定要正确运用有理数的运算法则和运算律 从而使复杂问题变得较 简单 一 一 四个原则四个原则 整体性原则 乘除混合运算统一化乘 统一进行约分 加减混合运算按正负 数分类 分别统一计算 或把带分数的整数 分数部分拆开 分别统一计算 简明性原则 计算时尽量使步骤简明 能够一步计算出来的就同时算出来 运 算中尽量运用简便方法 如五个运算律的运用 口算原则 在每一步的计算中 都尽量运用口算 口算是提高运算率的重要方法 之一 习惯于口算 有助于培养反应能力和自信心 分段同时性原则 对一个算式 一般可以将它分成若干小段 同时分别进行运 算 二 二 运算技巧运算技巧 归类组合 归类组合 运用交换律 结合律归类加减 将同类数 如正数或负数 归类计算 如整数与整数结合 如分数与分数结合 同分母与同分母结合等 例 例 计算 0 5 3 2 75 7 4 1 2 1 解法一 0 5 3 2 75 7 4 1 2 1 0 5 2 75 3 7 4 1 2 1 2 25 4 4 1 2 2 解法二 0 5 3 2 75 7 4 1 2 1 0 5 3 2 75 7 4 1 2 1 3 2 7 0 5 0 75 2 4 1 2 1 评析 解法一是小数与小数相结合 解法二整数与整数结合 这样解决了既含分 数又含小数的有理数加减运算问题 同学们遇到类似问题时 应学会灵活选择解题方 法 凑整 凑整 将相加可得整数的数凑整 将相加得零的数 如互为相反数 相消 将相加可得整数的数放在一起进行运算 其中包括互为相反数相加 可以降低解 题难度 提高解题效率 例 例 计算 11 6 2 2 3 4 4 5 5 1 3 11 6 38 分析 本题六个数中有两个是同分母的分数 有两个互为相反数 有两个相加和为 整数 故可用 凑整 法 解 解 原式 1 1 6 1 1 6 2 2 3 5 1 3 4 4 5 38 81 7 例 例 计算 19 299 3999 49999 解 19 299 3999 49999 20 1 300 1 4000 1 50000 1 20 300 4000 50000 4 3 54320 4 54316 分解 分解 将一个数分解成几个数和的形式 或分解为它的因数相乘的形式 例 例 计算 1111 2543 4236 解 原式 1111 2543 4236 3642 2 12121212 11 22 1212 例 例 计算 2008 2009200920092009 200820082008 解 原式2008 2009 100010001 2009 2008 100010001 0 例 例 计算 2005 1001 2004 2003 1002 1001 解 2005 2004 2003 1002 10011001 2004 1 1002 1 2004 2003 1002 1001 2003 1001 2004 2003 1002 1001 1003 2004 2001 4 评析 对于这些题目结构复杂 长度较大的数 用常规的方法不易解决 解这类 问题要根据题目的结构特点 找出拆项规律 灵活巧妙地把问题解决 约简 约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简 例 例 计算 6111 2 50 1251 250 6 21 5284 解 原式 6 2 50 1251 25 5 2 111 0 6 21 284 倒序相加 倒序相加 利用运算律 改变运算顺序 简化计算 例 例 计算 1 2003 2 2003 3 2003 4005 2003 解 解 设 把等式右边倒序排列 得A 1 2003 2 2003 3 2003 4005 2003 A 4005 2003 4004 2003 2 2003 1 2003 将两式相加 得 2 1 2003 4005 2003 2 2003 4004 2003 4005 2003 1 2003 A 即 所以 A 4005224005A 所以原式 4005 5 裂项相消法裂项相消法 凡是带有省略号的分数加减运算 可以用这种方法 例 例 解 解 应用关系式 来进行 拆项 原式 正逆用运算律 正逆用运算律 正难则反 逆用运算定律以简化计算 乘法分配律 a b c ab ac 在运算中可简化计算 而反过来 ab ac a b c 同样成 立 有时逆用也可使运算简便 在处理有理数的数字运算中 若能根据题目所显示的结构 关系特征 对此加以 灵活变形 便可巧妙地逆用分配律 使解题简洁明快 例 例 计算 17 48 37 174 8 1 9 8 74 88 解 解 17 48 37 174 8 1 9 8 74 88 17 48 37 17 48 10 1 9 17 48 44 17 48 37 17 48 19 17 48 44 17 48 37 19 44 1748 评析 很明显 灵活变形 逆用分配律 减少了运算量 提高了解题效率 变序变序 在有理数的运算中 适当改变运算顺序 有时可以减少运算量 在具体运算过程 中 技巧是恰到好处地运用交换率 结合律和分配律等运算律简化运算 例 例 计算 4 12 5310 1 5 6 解 解 原式 4 12 50 131 5 1 3131 例 例 计算 4 6 12 5 7 1 7 2 12 7 解 解 4 6 12 5 7 1 7 2 12 7 4 6 12 5 7 1 7 2 12 7 4 6 12 5 12 7 7 2 7 1 11 7 3 10 7 4 评析 在运算前 首先观察 分析参与运算的数的特征 排列顺序等 适当交换一下各 数的位置 达到简化运算 快速解题的目的 同步练习题同步练习题 1 1 1 计算 7 12345678910111219971998199920002001 2 已知 0 为数轴的原点 A B两点对应的数分别为 1 2 设P1为AB的中点 P2为 AP1的中点 P100为P99的中点 求P1 P2 P3 P100所对应的各数之和 3 计算 8 3 6 1 1 3 1 5 5 4 4 3 2 2 6 1 1 分析 本题六个数中有两个是同分母的分数 有两个互为相反数 有两个相加 和为整数 故可用 凑整 法 4 求和 1 2 1 3 1 4 1 59 1 60 2 3 2 4 2 5 2 59 2 60 3 4 3 4 3 6 3 59 3 60 58 59 59 60 分析 由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加 可改变原式繁难的计 算 5 计算 20052004 1 20042003 1 43 1 32 1 21 1 2005 同步练习题同步练习题 2 2 1 计算 2 222 23859 2 计算 1 1 11 1 13 1 17 1 11 1 13 1 17 1 19 1 1 11 1 13 1 17 1 19 1 11 1 13 1 17 3 计算 19991998 19991997199919992 2 22 4 计算 2003 4005 2003 3 2003 2 2003 1 同步练习题同步练习题 1 1 参考答案 参考答案 8 1 解法 1 原式 解法 12345678910221219971998199920002002 45002001 20002000 2 原式 2 解 设对应的数为 aiai ii i 11001 1 2 12100 则 所以 aaa 12100 2100100 1 1 2 1 1 2 1 1 200 101 1 2 3 解 原式 4 解 原式 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 60 2 60 3 60 59 60 1 2 2 2 3 2 4 2 59 2 1 2 12359 1 2 15959 2 5 解 原式 2005 1 2004 1 2004 1 2003 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 2005 2005 1 1 2005 2005 2004 2005 2004 同步练习题同步练习题 2 2 参考答案 参考答案 1 解 设 1 a 2222 23859 则 2 a 2222 23860 则得 21 a 22 860 即 222222 86085932 9 含整体思想 2 解 令 ab 1 11 1 13 1 17 1 11 1 13 1 17 1 19 则原式 11 1 19 abbaba 3 解 令 a 则 原式 a