广东省湛江一中10-11学年高二下学期期中考试（数学理）

湛江一中 2010 2011 学年度第二学期期中考试 高二级理科数学试卷 考试时间 考试时间 120 分钟 满分 分钟 满分 150 分分 命题人 命题人 YSM 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 请把答案填写在答题卷中 请把答案填写在答题卷中 1 复数的虚部是 1 2i A B C D 1 5 1 5 i 1 5 1 5 i 2 已知函数 时取得极值 则 93 23 xaxxxf3 xxf在a A 2 B 3 C 4 D 5 3 曲线与直线所围成的平面图形的面积是 3 xy xy A B C D 1 1 3 dxxx 1 1 3 dxxx 1 3 0 2 xxdx 0 3 1 2 xxdx 4 设曲线在点处的切线与直线平行 则 2 axy 1 a062 yx a A B C D 1 1 2 1 2 1 5 设 xxfcos 1 f xfx 21 fxfx 1 nn fxfx nN 则 2011 fx A B C D xcosxsin xcos xsin 6 下列四个函数中 图像如右图所示的只能是 A B xxylg xxylg C D xxylg xxylg 7 在古希腊 毕达哥拉斯学派把 1 3 6 10 15 这些数叫做三角形数 因为这些数 目的点子可以排成一个正三角形 如下图 则第七个三角形数是 A 27B 28C 29D 30 8 若上是减函数 则的取值范围是 ln 2 f xxbx 在 1 b A B C D 1 1 1 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若复数是纯虚数 则实数的值为 2 32 1 aaai a 1 3 6 10 15 10 直线是曲线的一条切线 则实数 1 2 yxb ln 0 yx x b 11 根据定积分的几何意义 计算 2 2 0 4x dx 12 半径为的圆的面积 周长 若将看作上的变量 则r 2 S rr 2C rr r 0 式可以用语言叙述为 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数 2 2rr 对于半径为的球 若将看作上的变量 RR 0 请你写出类似于 的式子 式可以用语言叙述为 13 如图 函数的图象在点处的切线方程是 2 1 5 g xf xx P 则 8 xy 5 5 ff 14 在一次珠宝展览会上 某商家展出一套珠宝首饰 第一件首饰是 1 颗珠宝 第二件首饰是 由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六 边形 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形 第五件首饰是由 45 颗珠宝构 成如图 4 所示的正六边形 以后每件首饰都在前一件上 按照这种规律增加一定数量的 珠宝 使它构成更大的正六 边形 依此推断第 6 件首饰上应有 颗珠宝 则第件首饰所用珠宝总数为 颗 结果用表示 nn 三 解答三 解答 题题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 12 分 已知函数的图象过点 且在点处的切线方程 32 f xxbxcxd 0 2 P 1 1 Mf 为 求函数的解析式076 yx xfy 图 1图 2 图 3 图 4 16 本小题满分 12 分 已知函数 32 39f xxxxa 求的单调递减区间 f x 若在区间上的最大值为 求它在该区间上的最小值 f x 2 2 20 17 本小题满分 14 分 求抛物线及在点 处的切线所围成的面积 2 43yxx 0 3 3 0 18 本小题满分 14 分 一种计算装置 有一数据入口 A 和一个运算出口 B 按照某种运算程序 当从 A 口输入自 然数 1 时 从 B 口得到 记为 当从 A 口输入自然数时 在 B 口得 1 3 1 1 3 f 2 n n 到的结果是前一个结果的倍 f n 1 f n 2 1 1 2 1 3 n n 当从 A 口分别输入自然数 2 3 4 时 从 B 口分别得到什么数 试猜想的关系式 并证明你的结论 f n 19 本小题满分 14 分 某旅游用品商店经销某种广州亚运会记念品 每件产品的成本为元 并且每件产品需向税3 务部门上交元 的税收 预计当每件产品的售价为元 时 一a36a x1116x 年的销售量为万件 2 18 x 求该商店一年的利润 万元 与每件产品的售价的函数关系式 Lx 当每件产品的售价为多少元时 该商店一年的利润最大 并求出的最大值 LL aQ 20 本小题满分 14 分 已知 其中是自然常数 x x xgexxaxxf ln 0 ln e aR 讨论时 的单调性 极值 1 a f x 求证 在 的条件下 f xxg x 是否存在实数 使的最小值是 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 a f x3a 高二级理科数学期中考试试卷参考答案 一 选择题答题卡 共一 选择题答题卡 共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 题号 12345678 答案ADCADBBC 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 11 2a ln2 1 12 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 32 4 4 3 RR 13 14 66 5 2 2nn 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 12 分 解 解 由的图象经过 知 xf 0 2 P2d 所以 3 分 2 23 cxbxxxf 5 分 2 32 fxxbxc 由在处的切线方程是 1 1 fM076 yx 知 8 分 6 1 1 1 07 1 6 fff即 11 分 326 23 3 121 0 bcbc bc bcbc 即即即 故所求的解析式是 12 分 2 33 23 xxxxf 16 本小题满分 12 分 解 解 I 3x2 6x 9 1 分 fx 令 解得 x3 3 分 0fx 所以函数 f x 的单调递减区间为 1 和 3 5 分 II 因为 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以 f 2 f 2 7 分 因为在 1 3 上 所以 f x 在 1 2 上单调递增 0fx 又由于 f x 在 2 1 上单调递减 因此 f 2 和 f 1 分别是 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 10 分 于是有 22 a 20 解得 a 2 故 f x x3 3x2 9x 2 因此 f 1 1 3 9 2 7 即函数 f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 12 分 17 本小题满分 14 分 解 解 依题意得在点处的切线是 即 42xy 0 3 34yx 43yx 在点处的切线是 即 5 分 3 0 2 3 yx 26yx 解方程组得两切线的交点为 7 分 43 26 yx yx 3 2 3 10 分 3 3 22 2 3 0 2 43 43 62 43 Sxxxdxxxxdx 11 分 3 3 22 2 3 0 2 69 x dxxxdx 14 分 332 33 119 39 2 3 334 0 2 xxxx 18 本小题满分 14 分 解 解 由已知得 1 分 23 12 21 n f nf nnnN n 当时 2 分2n 43111 21 4 15315 ff 同理可得 4 分 11 3 4 3563 ff 猜想 7 分 1 2121 f n nn 下面用数学归纳法证明成立 1 2121 f n nn 当时 由已知可知成立 8 分1n 1 2121 f n nn 假设时 猜想成立 即 9 分 1 nk kkN 1 2121 f k kk 那么当时 12 分1nk 21211 1 23232121 kk f kf k kkkk 即 1 1 211211 f k kk 当时 也成立 13 分 1nk 1 2121 f n nn 综合 所述 对 成立 14 分nN 1 2121 f n nn 19 本小题满分 14 分 解 解 商店一年的利润 万元 与售价的函数关系式为 Lx 2 3 18 Lxax 无定义域扣 1 分 6 分 11 16 x 2 3 18 Lxax 22 18 3 18 xxax 2 18 2 18 2 3 18 18 2423 L xxxxaxxax 令得或 不合题意 舍去 0 L 2 8 3 xa 18x 8 分36a 2 10812 3 a 所以 1 当 即时 函数在是减函数 2 10811 3 a 2 9 3 a 0L x L 11 16 10 分 max 11 49 8 49 8 LLaa 2 当即时 则有 2 11812 3 a 9 6 2 a 当时 当时 2 118 3 xa 0L x 2 816 3 ax 0L x 12 分 23 max 2221 8 83 18 8 4 5 3333 LLaaaaa 所以 13 分 aQ 3 9 49 8 3 2 19 4 5 6 32 aa aa 答 若 则当每件售价为元时 商店一年的利润 L 最大 最大值 2 9 3 a11 万元 若 则当每件售价为元时 商店一年的利润 L 49 8 Q aa 9 6 2 a 2 8 3 a 最大 最大值 万元 14 分 3 1 4 5 3 Q aa 20 本小题满分 14 分 解 解 1 分 xxxfln x x x xf 11 1 当时 单调递减区间为10 x 0fx f x 0 1 当时 此时单调递增区间为 3 分ex 1 0fx f x 1 e 的极小值为 4 分 f x1 1 f 令 6 分 2lnh xf xxg xxx 2 x h x x 当时 在上单调递减 02x 0h x h x 0 2 当时 在上单调递增 2xe 0 x h h x 2 e 8 分 min 2 22ln2h xh min 22ln20h x 0h x 在 1 的条件下 9 分 f xxg x 假设存在实数 使 有最小值 3 axaxxfln 0 ex 10 分 1 fxa x x ax1 当时 在上单调