函数与导数经典例题(含答案)

精品文档 1 1欢迎下载 函数与导数 1 已知函数 其中 32 4361 f xxtxtxtxR tR 当时 求曲线在点处的切线方程 1t yf x 0 0 f 当时 求的单调区间 0t f x 证明 对任意的在区间内均存在零点 0 tf x 0 1 解析 19 本小题主要考查导数的几何意义 利用导数研究函数的单调性 曲线的切线方程 函数的零点 解不等式等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 解 当时 1t 322 436 0 0 1266f xxxx ffxxx 所以曲线在点处的切线方程为 0 6 f yf x 0 0 f6 yx 解 令 解得 22 1266fxxtxt 0fx 2 t xtx 或 因为 以下分两种情况讨论 0t 1 若变化时 的变化情况如下表 0 2 t ttx 则当 fxf x x 2 t 2 t t t fx f x 所以 的单调递增区间是的单调递减区间是 f x 2 t tf x 2 t t 2 若 当变化时 的变化情况如下表 0 2 t tt 则x fxf x x t 2 t t 2 t fx f x 所以 的单调递增区间是的单调递减区间是 f x 2 t tf x 2 t t 精品文档 2 2欢迎下载 证明 由 可知 当时 在内的单调递减 在内单调0t f x0 2 t 2 t 递增 以下分两种情况讨论 1 当时 在 0 1 内单调递减 1 2 2 t t 即 f x 2 0 10 1 643644230 ftftt 所以对任意在区间 0 1 内均存在零点 2 tf x 2 当时 在内单调递减 在内单调递增 若01 02 2 t t 即 f x0 2 t 1 2 t 33 177 0 1 10 244 tfttt 2 1 643643230 fttttt 所以内存在零点 1 2 t f x 在 若 33 77 1 2 110 244 t tfttt 0 10ft 所以内存在零点 0 2 t f x 在 所以 对任意在区间 0 1 内均存在零点 0 2 tf x 综上 对任意在区间 0 1 内均存在零点 0 tf x 2 已知函数 21 32 f xx h xx 设函数F x 18f x x2 h x 2 求F x 的单调区间与极值 设 解关于x的方程 a R 33 lg 1 2lg 2lg 4 24 f xh axhx 设 证明 n N 1 1 2 6 f n h nhhh n 本小题主要考查函数导数的应用 不等式的证明 解方程等基础知识 考查数形结合 函数 与方程 分类与整合等数学思想方法及推理运算 分析问题 解决问题的能力 解 223 18 129 0 F xf xx h xxxx 2 312F xx 精品文档 3 3欢迎下载 令 得 舍去 0F x 2x 2x 当时 当时 0 2 x 0F x 2 x 0F x 故当时 为增函数 当时 为减函数 0 2 x F x 2 x F x 为的极大值点 且 2x F x 2 824925F 方法一 原方程可化为 422 33 log 1 log log 4 24 f xh axhx 即为 且 4222 log 1 loglog4log 4 ax xaxx x 14 xa x 当时 则 即 14a 1xa 1 4 ax x x 2 640 xxa 此时 364 4 2040aa 6204 35 2 a xa 1xa 此时方程仅有一解 35xa 当时 由 得 4a 14x 1 4 ax x x 2 640 xxa 364 4 204aa 若 则 方程有两解 45a 0 35xa 若时 则 方程有一解 5a 0 3x 若或 原方程无解 1a 5a 方法二 原方程可化为 422 log 1 log 4 log xhxh ax 即 222 1 log 1 log4log 2 xxax 10 40 0 1 4 x x ax xxax 2 14 3 5 x xa ax 当时 原方程有一解 14a 35xa 当时 原方程有二解 45a 35xa 当时 原方程有一解 5a 3x 当或时 原方程无解 1a 5a 由已知得 1 2 12hhh nn 1431 666 n f n h nn 设数列的前n项和为 且 n a n S 1 6 n Sf n h n n N 从而有 当时 11 1aS 2100k 1 4341 1 66 kkk kk aSSkk 又 1 4 3 41 1 6 k akkkkk 22 1 43 41 1 6 4 3 41 1 kkkk kkkk 11 0 6 4 3 41 1kkkk 即对任意时 有 又因为 所2k k ak 1 11a 以 12 12 n aaan 精品文档 4 4欢迎下载 则 故原不等式成立 1 2 n Shhh n 3 设函数 axxxaxf 22 ln 0 a 求的单调区间 xf 求所有实数 使对恒成立 a 2 1exfe 1 ex 注 为自然对数的底数 e 解析 21 本题主要考查函数的单调性 导数运算法则 导数应用等基础知识 同时考查抽 象概括 推理论证能力 满分 15 分 解 因为 22 ln 0f xaxxaxx 其中 所以 2 2 2 axaxa fxxa xx 由于 所以的增区间为 减区间为0a f x 0 a a 证明 由题意得 1 11 facac 即 由 知内单调递增 1 f xe在 要使恒成立 2 1 1 ef xexe 对 只要 222 1 11 fae f eaeaee 解得 ae 4 设 其中为正实数 2 1 ax e xf x a 当时 求的极值点 3 4 a f x 若为上的单调函数 求的取值范围 f xRa 解析 18 本小题满分 13 分 本题考查导数的运算 极值点的判断 导数符号与函数单调 变化之间的关系 求解二次不等式 考查运算能力 综合运用知识分析和解决问题的能力 解 对求导得 1 1 22 2 ax axax exf x xf 精品文档 5 5欢迎下载 I 当 3 4 a 若 2 1 2 3 0384 0 21 2 xxxxxf解得则 综合 可知 所以 是极小值点 是极大值点 2 3 1 x 2 1 2 x II 若为 R 上的单调函数 则在 R 上不变号 结合 与条件 a 0 知 xf x f 012 2 axax 在 R 上恒成立 因此由此并结合 知 0 1 444 2 aaaa0 a 1 0 a 5 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 f x ax b axlnx f e 2 e 2 71828 是自然对 数的底数 I 求实数 b 的值 II 求函数 f x 的单调区间 III 当 a 1 时 是否同时存在实数 m 和 M m0得x 1 由f x 0得0 x 1 2 当0 001 01 afxxfxx 时由得由得 综上 当时 函数的单调递增区间为 0a f x 1 x 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 x f 0 0 xf 极大值 极小值 精品文档 6 6欢迎下载 单调递减区间为 0 1 当时 函数的单调递增区间为 0 1 0a f x 单调递减区间为 1 III 当 a 1 时 2ln ln f xxxx fxx 由 II 可得 当 x 在区间内变化时 的变化情况如下表 1 e e fxf x x1 e 1 1 e 1 1 e e fx 0 f x 2 2 e 单调递减极小值 1单调递增 2 又的值域为 1 2 21 22 fxxe ee 所以函数 据经可得 若 则对每一个 直线 y t 与曲线都有 1 2 m M tm M 1 yf x xe e 公共点 并且对每一个 直线与曲线都没有公共点 tmM yt 1 yf x xe e 综上 当 a 1 时 存在最小的实数 m 1 最大的实数 M 2 使得对每一个 直线 tm M y t 与曲线都有公共点 1 yf x xe e 6 设函数 32 2f xxaxbxa 2 32g xxx 其中xR a b 为常数 已知曲 线 yf x 与 yg x 在点 2 0 处有相同的切线l I 求 a b 的值 并写出切线l的方程 II 若方程 f xg xmx 有三个互不相同的实根 0 1 x 2 x 其中 12 xx 且对任 意的 12 xx x 1 f xg xm x 恒成立 求实数 m 的取值范围 解析 20 本题主要考查函数 导数 不等式等基础知识 同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力 以及函数与方程和特殊与一般的思想 满分 13 分 解 2 34 23 fxxaxb g xx 由于曲线在点 2 0 处有相同的切线 yf xyg x 与 精品文档 7 7欢迎下载 故有 2 2 0 2 2 1 fgfg 由此得 8820 2 1281 5 abaa abb 解得 所以 切线 的方程为2 5ab l20 xy 由 得 所以 32 452f xxxx 32 32 f xg xxxx 依题意 方程有三个互不相同的实数 2 32 0 x xxm 12 0 x x 故是方程的两相异的实根 12 x x 2 320 xxm 所以 1 94 2 0 4 mm 即 又对任意的成立 12 1 xx xf xg xm x 特别地 取时 成立 得 1 xx 111 f xg xmxm 0 m 由韦达定理 可得 121212 30 20 0 xxx xmxx 故 对任意的 1221 0 0 0 xx