整式的乘除讲义-整章

1 一一 整式的乘除整式的乘除 一 同底数幂的乘法一 同底数幂的乘法 1 1 同底数幂的乘法法则 同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 即 m n 都是正整数 mnm n aaa 这个公式的特点是 左边是两个或两个以上的同底数幂相乘 右边是一个幂 指数相加 注意 1 同底数幂的乘法中 首先要找出相同的底数 运算时 底数不变 直接把指数相 加 所得的和作为积的指数 2 在进行同底数幂的乘法运算时 如果底数不同 先设法将其转化为相同的底数 再按法则进行计算 公式拓展 pnm aaa 典型例题 例 1 计算 1 2 3 82 1010 23 xx 32 xx 例 2 计算 1 2 32 baabba 23 x2yy x 2 3 4 25 yxxyyx n 2n 1n aaaa 总结 n n n an a an 为偶数 为奇数 n n n ban ab ban 为偶数 为奇数 例 3 计算 3121 3 2xxxxxx nnn 4236 aaaa 例 4 已知 用含 m 的代数式表示 x 2 2m x 2 2 变式练习变式练习 1 2 3 2 2 3 3 2 2 3 4 2 2 3 3 5 6 x4 m x4 m x 1 nn xxx 7 x6 x 5 x 8 x 3 8 3 4 5 2 2 逆用同底数幂的法则逆用同底数幂的法则 逆用法则为 m n 都是正整数 nmnm aaa 典型例题典型例题 1 1 已知 xm 3 xn 5 求 xm n 2 已知 xm 3 xn 5 求 x2m n 3 已知 xm 3 x2m n 36 求 xn 变式练习变式练习 1 已知 试求的值 43 a 3243 4 ba b 3 2 已知 则 72 52 ba 2 2 2 22 abba 3 若为正整数 且求的值 nm 3222 nm nm 二 幂的乘方 重点二 幂的乘方 重点 幂的乘方是指几个相同的幂相乘 如是三个相乘 读作 a 的五次幂的三次方 5 3 a 5 a 幂的乘方法则 幂的乘方 底数不变 指数相乘 即 m n 都是正整数 m nmn aa 典型例题典型例题 例 1 填空 35224223 xxyxx 例 2 计算 321212 nnn aaa 23422225 2aaaa 例 3 已知则 1135 aaa m m 例 4 1682 245 例 5 则 310 210 nm 10 nm 102 m 10 23 nm 例 6 将化成指数相同的幂的形式 并比较它们的大小 2550 245 和 若 试利用上述方法比较大小 334455 5 4 3 cbacba 例 7 已知 试求的值 4842 12 mm m 4 例 8 已知 的值 求 yx yx324 0352 变式练习变式练习 1 填空 323223 yxxa 216 28 723 23 xx 2 若 则 3 2 a 86 aa 3 则 3 2 nm aa已知 322 nmnmnm aaa 4 计算 2844754 5 7xxxxx 5 试比较的大小 75100 32与 三 积的乘方 重点 三 积的乘方 重点 1 1 积的乘方的意义 指底数是乘积形式的乘方 积的乘方的意义 指底数是乘积形式的乘方 如 3 abababab 积的乘方法则 积的乘方 等于把积得每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 如 nnn abab 注 法则中的字母可以表示数 也可以表示单项式或多项式 运用该法则时 注意系数为 1 时的 号的确定 三个或三个以上因式的乘方 也具有这一性质 该法则可逆用 即 逆向运用可将算式灵活性变形或简化计算 法则的推导 nnn nabnanb aba b abababa a abb b 个个个 5 典型例题典型例题 例 1 填空 2 1 2 233324 xybaxy 例 2 计算 2232 4 3 2 xyx 2324 3 2 mmm 2 2 逆用公式和推广逆用公式和推广 1 公式可以逆用 m n 是正整数 nnn a bab mnmn aa 例如 153 5555 11333 11 3 3 3 3 5 5 2 底数为三个或三个以上的因数时 也可以运用此法则 即 n 是正整数 n nnn abca b c 3 当运用积的乘方法则计算时 若底数互为倒数 则可适当变形 典型例题典型例题 例 3 已知 求的值 53 32 aa a 12 例 4 计算 20132012 3 4 75 0 31515 2 125 0 例 5 已知 0 2 1 2 20122011 baba则 6 例 6 计算 3372323 3 4 3 aaaaa 201320122011 1 5 1 3 2 变式练习变式练习 1 计算 1 2 3 23 32 xx 4 xy 3 23 3a b 2 已知 求的值 ab 105 106 2a 3b 10 3 计算 1 2 20112010 99100 10099 3 1515 0 1252 四 单项式与单项式相乘 重点 四 单项式与单项式相乘 重点 法则 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个单项式例含有 的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 注意 注意 1 单项式与单项式相乘时 要先把各个单项式的系数相乘 作为积的系数 要注意系数的符号 2 相同字母相乘时 实际上就是按照同底数幂的乘法法则进行 即底数不变 指数相加 3 对于只在一个单项式里含有的字母 一定要把它连同指数写在积中 作为积的因式 切记不 要将它漏掉 4 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用 5 单项式乘单项式的结果仍然是单项式 7 典型例题典型例题 例 1 计算 1 2 22 1 3aba b2abc 3 n 1n2 1 2xy3xyx z 2 3 32 22 1 6m nxymnyx 3 变式练习 1 计算 1 2 4y 2xy2 26 4 3 3 x yx y A 3 2m2n 2 mn m3n 4 3 2ab 2a 2 3a2b2 1 3 5 2 105 2 4 103 6 4xy x2y2 1 2y3 7 1 2ab2c 2 1 3ab3c2 3 12a3b 8 8 2xn 1yn 3xy 1 2x2z 9 x2y 3xy2z 2xy2 10 x3 2 3xy 2y2 3 五五 单项式与多项式相乘 重点 单项式与多项式相乘 重点 法则 单项式与多项式相乘 就是用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 用式子 表示为 m a b c 都是单项式 m abcmambmc 注意 1 法则中的每一项的含义是不重不漏的 2 在运算过程中 要注意各项的符号 尤其是负号的情形 3 非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式 积的项数与因式中多项式的项数相同 典型例题典型例题 例 1 计算 1 2 2322 xyyx 4 1 2 1 22232 yxyxyx 3 4 7 123 5 232 yxyxxy 例 2 化简 23223 4 6 3 5aabababbba 9 例 3 已知 求代数式的值 8 1 4 yx 522 4 1 14 7 1 xxyxy 例 4 已知 求 m 69 3273 mm 变式练习变式练习 1 1 3a5b 4a2b3 6ab4 2 2 7 3 a b 4233422 1 75 3 6 xyx yx yxy A 3 3x2myn 3 5xmy2n 1 4xm 2y5 2 化简求值 ab a2b5 ab3 b 其中 ab2 2 10 6 6 多项式乘多项式 多项式乘多项式 1 多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出 因此两个多项式相乘只 要把其中一个多项式看作单项式即可 例如 a b c d 可以将 a b 看成单项式转化为单项式 乘以多项式法则去计算 如 a b c a b d ac bc ad bd 2 为避免丢项 也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项 在 没有合并同类项之前 积的项数等于这两个多项式项数之积 如 ac bc ad bd 项数为 2 2 4 项 3 对于型如 x a x b 的积要注意它的特殊性 即 x a x b x2 bx ax ab x2 a b x ab 这就是说 含有一个相同字母的两个一次二项式相乘 得到的积是同一个字母的二次三 项式 注意 1 必须做到不重不漏 计算时按一定的顺序 2 应确定积中每一项的符号 3 多项式与多项式相乘时 如有同类项要合并 典型例题典型例题 例 1 计算 a b a b 例 2 化简求值 x 2 x 3 2 x 6 x 5 3 x2 5x 17 其中 x 5 例 3 当 x2 mx 8 x2 3x n 展开后 如果不含 x2和 x3的项 求出 m 3n的值 11 例 4 计算 3x3 2 5x 6 7x 2x2 变式练习变式练习 1 计算 1 2 2 2 22 abbaab 12 3 1 6 1 23 xyyxx 3 4 13 4 32 baaba 84 2 1 323 xyyyx 5 6 abbbaa 1 2 12 3 22 xxxxx 2 先化简 再求值 其中 2 2 3 2 2 3 1 2 x xxx 2 x 3 某同学在计算一个多项式乘以 3x2时 因抄错符号 算成了加上 3x2 得到的答案是 x2 0 5x 1 那么正确的计算结果是多少 12 4 已知 且 异号 是绝对值最小的负 Aab Bab abCa bab 22 2323 ab a 整数 求 3A B A C 的值 b 1 22 1 5 若 x2 mx 8 x2 3x n 的展开式中不含 x3和 x2项 求 m 和 n 的值 二 乘法公式二 乘法公式 1 1 平方差公式 重点 平方差公式 重点 平方差公式 22 ababab 即两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 这个公式叫做平方差公式 归纳小结公式的变式 准确灵活运用公式 位置变化 x y y x x2 y2 符号变化 x y x y x 2 y2 x2 y2 指数变化 x2 y2 x2 y2 x4 y4 系数变化 2a b 2a b 4a2 b2 换式变化 xy z m xy z m 增项变化 x y z x y z xy 2 z m 2 x y 2 z2 x2y2 z m z m x y x y z2 x2y2 z2 zm zm m2 x2 xy xy y2 z2 x2y2 z2 2zm m2 x2 2xy y2 z2 连用公式变化 x y x y x2 y2 逆用公式变化 x y z 2 x y z 2 x2 y2 x2 y2 x y z x y z x y z x y z x4 y4 2x 2y 2z 4xy 4xz 13 一 平方差公式及其逆用 22 ab abab 典型例题典型例题 1 求解下列各式 1 2 3232xyxy 22 11 22 22 xx 3 4 200 1200 1 xyzxyz 5 6 59 8 60 2 2 20062005 2007 7 6 7 1 7 1 7 1 7 1 1 8 248 32 32 dcbadcba 9 224488 ababababab 例题 2 1949 1950 1951 1952 1999 2000 14 变式练习变式练习 1 计算 1 2 baba5353 tsts 22 3 4 422 2 xxx nmnm7474 5 6 baba5252 2323 22 aa 7 8 zyxzyx3232 111 2 aaa 9 10 79 980 1 2 如果 且 则 20 22 yx5 yxyx 2 2 完全平方公式 重点 完全平方公式 重点 完全平方公式 2 22 2 22 aba2abb aba2abb 即两数和 或差 的平方 等于它们的平方和 加 或减 它们的积得 2 倍 这两个公式叫做 乘法的 完全平方公式 15 1 完全平方公式其逆用 完全平方公式其逆用 典型例题典型例题 例题 1 求解下列各式 1 位置变化 2 符号变化 22 xyyx 2 32 ab 3 数字变化 4 方向变化 2 197 2 32 a 5 项数变化 6 公式变化 2 1 xy 22 23 46 23 23 xyxyxyxy 2 2 完全平方公式的运用完全平方公式的运用 例题 4 已知 求 4 2xyxy 22 xy 44 xy 2 xy 例题 5 224 24 11 310 xxxx xx 已知求 例题 6 已知 0 求的值 求的值 2 41xx 2 2 1 x x 4 4 1 x x 16 例题 7 若 则 9 1 2 x x 1 x x 变式练习 1 2222 12 2 ababa abab 已知求 的值 2 222 4 2 abababab 已知求 的值 3 222 4 12 ababab ab 已知求 的值 4 222 4 2 abababab 已知求的值 5 222 4 12 ababab ab 已知求的值 6 22 4 2 ababab ab 已知求的值 3 3 逆用逆用 1 若 01682 2 nnm 则 nm 17 2 若 16 3 2 2 mx 是关于x的完全平方式 则 m 3 多项式 x2 kx 25 是另一个多项式的平方 则 k 4 已知 求的值 2 1 2 yxxx xy yx 2 22 5 已知 求的值 1xy 22 111 222 xxyy 4 4 配方法配方法 例题 1 已知 x y 4x 2y 5 0 求 x y 的值 变式练习变式练习 1 已知 x y 6x 2y 10 0 求的值 11 xy 2 已知 x y 6x 8y 25 0 求 x y 的值 3 已知 x y z 2x 4y 6z 14 0 求 x y z 的值 4 已知 x y 2x y 求 的值 5 4 xy xy 18 5 解方程 1 1 13 12 31 22 xxxx 6 如果 2a 2b 1 2a 2b 1 63 求 a b 的值 7 已知 求 的值 3 4abbc 222 abcabbcca 考点连接 题型一 乘法公式在解方程和不等式组中的应用 解方程 2x12x13 x2x27x1x1 题型二 应用完全平方公式求值 设 m n 10 mn 24 求的值 2 22 mnmn 和 题型三 巧用乘法公式简算 计算 1 2 248 3 2121211 99 101 10001 题型四 利用乘法公式证明 19 对任意整数 n 整式是不是 10 的倍数 为什么 3n1 3n13n3n 题型五 乘法公式在几何中的应用 已知 ABC 的三边长 a b c 满足 试判断 ABC 的形状 222 abcabbcac0 整式的除法整式的除法 1 同底数幂的除法法则 同底数幂相除同底数幂相除 底数底数 指数指数 即即 a 0 m n 0 m n 都是正整数都是正整数 并且并且 m m n n 零指数幂 任何不等于任何不等于 0 0 的数的的数的 0 0 次幂都等于次幂都等于 即即 其中要求 其中要求 a 不能为不能为 1 0 a 经典例题经典例题 1 0 3 0 10 0 0 yy 若 则 x 0 3 1 0 2 x13 1 x 2 3 4 2