立体几何复习讲义全解

中小学个性化辅导专家 1 圆梦教育圆梦教育 1 对对 1 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 学员姓名 学校 年级及科目 教师 课 题空间点 直线 平面之间的位置关系 授课时间 教学目标 掌握平面的基本性质 在充分理解本讲公理 推论的基础上结合图形理解点 线 面的位 置关系及等角定理 教学内容教学内容 基础知识回顾 1 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理 2 过 的三点 有且只有一个平面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过该点的公共直线 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 2 异面直线所成的角 定义 设 a b 是两条异面直线 经过空间任一点 O 作直线 a a b b 把 a 与 b 所成的锐角或直角叫 做异面直线 a b 所成的角 或夹角 范围 0 2 3 直线与平面的位置关系有平行 相交 在平面内三种情况 4 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 5 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 方法指导 两种方法 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 中小学个性化辅导专家 2 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 三个作用 1 公理 1 的作用 检验平面 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直线上的点在平面内 2 公理 2 的作用 公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断 直线共面 的方法 3 公理 3 的作用 判定两平面相交 作两平面相交的交线 证明多点共线 考点自测 1 下列命题是真命题的是 A 空间中不同三点确定一个平面 B 空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C 一条直线和一个点能确定一个平面 D 梯形一定是平面图形 2 已知 a b 是异面直线 直线 c 平行于直线 a 那么 c 与 b A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 3 2013 浙江 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么 l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 4 2014 武汉月考 如果两条异面直线称为 一对 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 5 两个不重合的平面可以把空间分成 部分 6 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 l1 l2 与同一平面所成的角相等 则 l1 l2 互相平行 若直线 l1 l2 是异面直线 则与 l1 l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数 A 1 B 2 C 3 D 4 中小学个性化辅导专家 3 7 若三个平面两两相交 有三条交线 且三条交线互相平行 则这三个平面把空间分成 A 5 部分 B 6 部分 C 7 部分 D 8 部分 8 如下图所示 点 P Q R S 分别在正方体的四条棱上 且是所在棱的中点 则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一 个图是 9 三个不重合的平面可以把空间分成 n 部分 则 n 的可能取值为 5 如下图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 1 求 A1C1 与 B1C 所成角的大小 2 若 E F 分别为 AB AD 的中点 求 A1C1 与 EF 所成角的大小 中小学个性化辅导专家 4 考点探究 考点一 平面的基本性质 例 1 正方体 ABCDA1B1C1D1中 P Q R 分别是 AB AD B1C1的中点 那么 正方体的过 P Q R 的截面图形 是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 画几何体的截面 关键是画截面与几何体各面的交线 此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利 用几何体本身提供的面面平行等条件 可以更快的确定交线的位置 训练 1 下列如图所示是正方体和正四面体 P Q R S 分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 考点二 异面直线 例 2 如图所示 正方体 ABCDA1B1C1D1中 M N 分别是 A1B1 B1C1的中点 问 1 AM 和 CN 是否是异面直线 说明理由 2 D1B 和 CC1是否是异面直线 说明理由 中小学个性化辅导专家 5 训练 2 在下图中 G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线 GH MN 是异面直线的 图形有 填上所有正确答案的序号 考点三 异面直线所成的角 例 3 2014 宁波调研 正方体 ABCD A1B1C1D1中 1 求 AC 与 A1D 所成角的大小 2 若 E F 分别为 AB AD 的中点 求 A1C1与 EF 所成角的大小 训练 3 A 是 BCD 平面外的一点 E F 分别是 BC AD 的中点 1 求证 直线 EF 与 BD 是异面直线 2 若 AC BD AC BD 求 EF 与 BD 所成的角 中小学个性化辅导专家 6 例 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AB 和 AA1的中点 求证 1 E C D1 F 四点共面 2 CE D1F DA 三线共点 训练 4 如图所示 已知空间四边形 ABCD 中 E H 分别是边 AB AD 的中点 F G 分别是边 BC CD 上的 点 且 求证 三条直线 EF GH AC 交于一点 CF CB CG CD 2 3 作业 知能演练 一 选择题 1 已知 a b 是异面直线 直线 c 直线 a 则 c 与 b A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 中小学个性化辅导专家 7 2 四面体每相对两棱中点连一直线 则此三条直线 A 互不相交 B 至多有两条直线相交 C 三线相交于一点 D 两两相交有三个交点 3 若 P 是两条异面直线 l m 外的任意一点 则 A 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都平行 B 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都垂直 C 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都相交 D 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都异面 4 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 A B 1 5 2 5 C D 3 5 4 5 二 填空题 5 如图所示 在三棱锥 C ABD 中 E F 分别是 AC 和 BD 的中点 若 CD 2AB 4 EF AB 则 EF 与 CD 所成的角是 6 在正方体上任意选择 4 个顶点 它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点 这些几何体是 写出所有正 确结论的编号 矩形 中小学个性化辅导专家 8 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 三 解答题 7 有一矩形纸片 ABCD AB 5 BC 2 E F 分别是 AB CD 上的点 且 BE CF 1 如下图 1 现在把 纸片沿 EF 折成图 2 形状 且 CFD 90 1 求 BD 的距离 2 求证 AC BD 交于一点且被该点平分 高考 模拟 预测 1 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱上到异面直线 AB CC1的距离相等的点的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 2 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点 则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为 A B 3 4 5 4 C D 7 4 3 4 3 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB E 为 AA1中点 则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 A B 10 10 1 5 C D 3 10 10 3 5 中小学个性化辅导专家 9 4 空间四边形 ABCD 中 各边长均为 1 若 BD 1 则 AC 的取值范围是 立体几何知识点 立体几何知识点 1 1 柱 锥 台 球的结构特征 柱 锥 台 球的结构特征 1 1 棱柱 棱柱 几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 平行于底面的几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 平行于底面的 截面是与底面全等的多边形 截面是与底面全等的多边形 2 2 棱锥 棱锥 几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距离与几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方 高的比的平方 3 3 棱台 棱台 几何特征 几何特征 上下底面是相似的平行多边形上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点侧棱交于原棱锥的顶点 4 4 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 其余三边旋转所成其余三边旋转所成 几何特征 几何特征 底面是全等的圆 底面是全等的圆 母线与轴平行 母线与轴平行 轴与底面圆的半径垂直 轴与底面圆的半径垂直 侧面展开图是一个矩形 侧面展开图是一个矩形 5 5 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 旋转一周所成旋转一周所成 几何特征 几何特征 底面是一个圆 底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 母线交于圆锥的顶点 侧面展开图是一个扇形 侧面展开图是一个扇形 6 6 圆台 定义 以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴 圆台 定义 以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴 旋转一周所成旋转一周所成 几何特征 几何特征 上下底面是两个圆 上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓形 侧面展开图是一个弓形 7 7 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征 几何特征 球的截面是圆 球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径 球面上任意一点到球心的距离等于半径 4 柱体 锥体 台体的表面积与体积 柱体 锥体 台体的表面积与体积 1 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 2 特殊几何体表面积公式 特殊几何体表面积公式 c 为底面周长 为底面周长 h 为高 为高 为斜高 为斜高 l 为母线 为母线 h chS 直棱柱侧面积 rhS 2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS 圆台侧面积 中小学个性化辅导专家 10 lrrS 2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 3 柱体 锥体 台体的体积公式 柱体 锥体 台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 3 VSS SS h 台 22 11 33 VSS SS hrrRRh 圆台 4 球体的表面积和体积公式 球体的表面积和体积公式 V S 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 1 1 平面及基本性质 平面及基本性质 公理公理 1 1 lBAlBlA 公理公理 2 2 若若 则则且且 PP a P 公理公理 3 3 不共线三点确定一个平面 推论不共线三点确定一个平面 推论 1 1 直线和直线外一点直线和直线外一点 2 2 两相交直线两相交直线 3 3 两平行直线 两平行直线 2 2 空间两直线的位置关系 空间两直线的位置关系 共面直线 相交 平行 公理共面直线 相交 平行 公理 4 4 异面直线异面直线 3 3 异面直线 异面直线 1 1 对定义的理解 不存在平面 对定义的理解 不存在平面 使得 使得且且 a b 2 2 判定 反证法 否定相交和平行即共面 判定 反证法 否定相交和平行即共面 3 3 求异面直线所成的角 求异面直线所成的角 平移法平移法 即平移一条或两条直线作出夹角 再解三角形即平移一条或两条直线作出夹角 再解三角形 向量法向量法 注意异面直线所成角的范围注意异面直线所成角的范围 cos cos ba ba ba 2 0 4 4 证明异面直线垂直 证明异面直线垂直 通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明 通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明 向量法向量法 0 baba 5 5 求异面直线间的距离 大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算 求异面直线间的距离 大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算 9 29 2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 1 1 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 Aaaa 2 2 直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定 1 1 判定定理 判定定理 线线平行 则线面平行线线平行 则线面平行 b a ab b 中小学个性化辅导专家 11 2 2 面面平行的性质 面面平行的性质 面面平行 则线面平行面面平行 则线面平行 a a 3 3 直线与平面平行的性质 直线与平面平行的性质 线面平行 则线线平行线面平行 则线线平行 ba b aa 4 4 直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定 1 1 直线与平面垂直的定义的逆用 直线与平面垂直的定义的逆用 al a l 2 2 判定定理 判定定理 线线垂直 则线面垂直 线线垂直 则线面垂直 l Anm nm nlml 3 3 a b ba 4 4 面面垂直的性质定理 面面垂直的性质定理 面面垂直 则线面垂直 面面垂直 则线面垂直 a laa l 5 5 面面平行是性质 面面平行是性质 l l 5 5 射影长定理 射影长定理 6 6 三垂线定理及逆定理 三垂线定理及逆定理 线垂影线垂影线垂斜线垂斜 9 39 3 两个平面的位置关系两个平面的位置关系 1 1 空间两个平面的位置关系 空间两个平面的位置关系 相交和平行相交和平行 2 2 两个平面平行的判定 两个平面平行的判定 1 1 判定定理 判定定理 线线平行 则面面平行 线线平行 则面面平行 ab a babP 2 2 垂直于同一直线的两个平面平行垂直于同一直线的两个平面平行 l l 3 3 平行于同一平面的两个平面平行平行于同一平面的两个平面平行 3 3 两个平面平行的性质 两个平面平行的性质 1 1 性质 性质 1 1 aa 中小学个性化辅导专家 12 2 2 面面平行的性质定理 面面平行的性质定理 面面平行 则线线平行 面面平行 则线线平行 ba ba 3 3 性质 性质 2 2 ll 4 4 两个平面垂直的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质 1 1 判定定理 判定定理 线面垂直 则面面垂直 线面垂直 则面面垂直 aa 2 2