等比数列高考专题复习资料

1 等比数列等比数列 知识点回顾知识点回顾 1 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的比等于同一个常数 0 qq 这个数列叫做等比数列 常数q称为等比 数列的公比 2 通项公式与前n项和公式 通项公式 1 1 n n qaa 1 a为首项 q为公比 前n项和公式 当1 q时 1 naSn 当1 q时 q qaa q qa S n n n 11 1 11 3 等比中项 如果bGa 成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 即 G是a与b的等差中项 a A b成等差数列 baG 2 4 等比数列的判定方法 定义法 q a a n n 1 Nn 0 q是常数 是等比数列 n a 中项法 2 2 1 nnn aaa Nn 且0 n a 是等比数列 n a 5 等比数列的常用性质 数列是等比数列 则数列 n pa n pa 0 q是常数 都是等比数列 n a 在等比数列中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即 32knknknn aaaa 为等比数列 公比为 k q n a Nmnqaa mn mn 若 Nqpnmqpnm 则 qpnm aaaa 若等比数列的前n项和 n S 则 k S kk SS 2 kk SS 23 kk SS 34 是等比数列 n a 方法总结方法总结 1 1 求等比数列的公比 求等比数列的公比 求值 判定等比数列等通常运用等比数列的概念 公式及其性质 求值 判定等比数列等通常运用等比数列的概念 公式及其性质 例例 1 1 已知等比数列的前n项和1 n n pS p是非零常数 则数列是 n a n a A 等差数列 B 等比数列 C 等差数列或等比数列 D 非等差数列 名师点拨名师点拨 先由 n S求出 n a 再根据等差 等比数列定义作出判定 解 1 n n pS 2 1 1 1 nppSSa n nnn 当 1 p且0 p时 是等比数列 当0 p时 是等差数列 选 C n a n a 2 2 求实数等比数列的中项要注意符号 求和要注意分类讨论求实数等比数列的中项要注意符号 求和要注意分类讨论 例例 2 2 若实数数列4 1 321 aaa是等比数列 则 2 a 2 名师点拨名师点拨 本题容易错认为 由等比数列的等比中项公式41 2 2 a 得 2 2 a 解 4 1 321 aaa是等比数列 41 2 2 a 得 2 2 a 又 21 1aa是等比数列 Raaa 12 2 1 1 2 2 a 考点一考点一 等比数列的通项与前等比数列的通项与前 n n 项和项和 题型题型 1 1 已知等比数列的某些项 求某项 已知等比数列的某些项 求某项 例例 1 1 已知为等比数列 162 2 62 aa 则 10 a n a 解题思路解题思路 可以考虑基本量法 或利用等比数列的性质 解 方法 1 81 162 2 4 5 16 12 q qaa qaa 1312281162 4 6 9 110 qaqaa 方法 2 81 2 162 2 6 4 a a q 1312281162 4 610 qaa 方法 3 为等比数列 n a 13122 2 1622 2 2 6 10 2 6102 a a aaaa 题型题型 2 2 已知前 已知前n项和项和 n S及其某项 求项数及其某项 求项数 例例 2 2 已知 n S为等比数列前n项和 93 n S 48 n a 公比2 q 则项数 n n a 已知四个实数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 首末两数之和为37 中间两数之和为36 求这四个 数 解题思路解题思路 利用等比数列的通项公式 1 1 n n qaa及 q qa S n n 1 1 1 求出 1 a及q 代入 n S可求项数n 利用等差数列 等比数列设出四个实数代入已知 可求这四个数 解 由93 n S 48 n a 公比2 q 得5322 482 93 12 1 1 1 n a a n n n 方法 1 设这四个数分别为dcba 则 36 37 2 2 cb ba bdc cab 方法 2 设前2个数分别为ba 则第43 个数分别为ab 3736 则 37 36 36 2 2 abb abb 解得 16 12 b a 或 4 81 4 99 b a 方法 3 设第32 个数分别为cb 则第1个数为cb 2 第1个数为 b c2 则 3 20 16 36 2 2 c b cb b c cb 或 4 63 4 81 c b 方法 4 设第32 个数分别为cb 设第4 1个数分别为 ca cca 2 2 2 方法 5 设第43 个数分别为dc 则设第2 1个数分别为cd 36 37 则 25 1620 36 37 36 2 2 d c cdc cdc 或 4 49 4 63 dc 题型题型 3 3 求等比数列前 求等比数列前n项和项和 例例 3 3 等比数列 8 4 2 1中从第 5 项到第 10 项的和 解题思路解题思路 可以先求出 10 S 再求出 4 S 利用 410 SS 求解 也可以先求出 5 a及 10 a 由 10765 aaaa 成等比数列求解 解 由2 1 21 aa 得2 q 1023 21 21 1 10 10 S 15 21 21 1 4 4 S 1008 410 SS 例例 4 4 已知 n S为等比数列前n项和 132 33331 n n a 求 n S n a 解题思路解题思路 可以先求出 n a 再根据 n a的形式特点求解 解 2 1 2 3 31 31 1 33331 132 nn n n a nnS n n n 2 1 31 31 3 2 1 2 1 3333 2 1 32 即 4 3 2 1 4 3 nS n n 例例 5 5 已知 n S为等比数列前n项和 n n na3 12 求 n S n a 解题思路解题思路 分析数列通项形式特点 结合等比数列前n项和公式的推导 采用错位相减法求和 解 n n na3 12 n n nS3 12 353331 32 1432 3 12 3 32 3533313 nn n nnS 得 1432 3 12 3333 232 nn n nS 63 22 3 12 31 31 9 23 11 1 nn n nn 4 3 3 1 1 n n nS 变式变式 1 1 已知为等比数列 6 3 876321 aaaaaa 求 131211 aaa 的值 n a 解 设等比数列的公比为q n a 6 3 876321 aaaaaa 2 321 654 5 aaa aaa q 131211 aaa 考点二考点二 证明数列是等比数列证明数列是等比数列 例例 6 6 已知数列和 n b满足 1 a 4 3 2 1 naa nn 213 1 nab n n n 其中 为实数 Nn n a 对任意实数 证明数列不是等比数列 n a 试判断数列 n b是否为等比数列 并证明你的结论 解题思路解题思路 证明数列不是等比数列 只需举一个反例 证明数列 n b是等比数列 n a 常用 定义法 中项法 解 证明 假设存在一个实数 使是等比数列 则有 31 2 2 aaa n a 即 094 9 4 94 9 4 4 9 4 3 3 2 222 矛盾 所以不是等比数列 n a 解 因为 21 1 3 1 213 1 1 1 nanab n n n n n 142 3 2 1 183 1 1 1 1 nana n n n n nn n bna 3 2 213 1 3 2 1 又 18 1 1 b 所以 当 0 18 Nnbn 此时 n b不是等比数列 当 8 18 1 b时 由上可知 3 2 0 1 Nn b b b n n n 此时 n b是等比数列 名师点拨名师点拨 等比数列的判定 方法 定义法 q a a n n 1 Nn 0 q是常数 是等比数列 n a 中项法 2 2 1 nnn aaa Nn 且0 n a 是等比数列 n a 变式变式 1 1 已知数列 n a的首项 1 2 3 a 1 2 1 n n n a a a 1 2 3 n 证明 数列 1 1 n a 是等比数列 C 1 111 1 1 2 nn aa 又 1 2 3 a 1 11 1 2a 数列 1 1 n a 是以 1 2 为首项 1 2 为公比的等比数列 考点三考点三 等比数列的性质等比数列的性质 例例 7 7 已知 n S为等比数列前n项和 54 n S 60 2 n S 则 n S3 n a 解题思路解题思路 结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解 解 是等比数列 nnnnn SSSSS 232 为等比数列 n a 3 182 36 60 54 33 nn SS 5 名师点拨名师点拨 给项求项问题 先考虑利用等比数列的性质 再考虑基本量法 变式变式 1 1 已知等比数列中 36 2 0 4624 aaaaan 则 53 aa n a 解 是等比数列 0 n a n a 36 36 2 2 534624 aaaaaa6 53 aa 考点四考点四 等比数列与其它知识的综合等比数列与其它知识的综合 例例 8 8 设 n S为数列的前n项和 已知 21 n nn babS n a 证明 当2b 时 1 2n n an 是等比数列 求 n a的通项公式 解题思路解题思路 由递推公式 0 naS nn 求数列的通项公式 nfan 主要利用 2 1 1 1 nSS nS a nn n 同时注意分类讨论思想 解 解 由题意知 1 2a 且 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减 得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 当2b 时 由 知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a 所以 1 2n n an 是首项为1 公比为2 q的等比数列 当2b 时 由 知 11 22 nn n an 即 1 1 2n n an 当2b 时 由 得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 名师点拨名师点拨 退一相减是解决含有 n S的递推公式的重要手段 使其转化为不含 n S的递推公式 从而针对性的解决 在由递 推公式求通项公式时 重视首项是否可以吸收是易错点 同时重视分类讨论 做到条理清晰是关键 基础巩固基础巩固 1 设是公比为正数的等比数列 若16 1 51 aa 则数列前 7 项的和为 n a n a A63 B64 C127 D128 解 由16 1 51 aa 得16 1 5 4 a a q 2 q 127 1 1 7 1 7 q qa S 2 设等比数列 n a的公比2q 前 n 项和为 n S 则 4 2 S a C A2 B4 C 2 15 D 2 17 解 2 15 1 2 21 1 1 1 44 1 12 4 q qa qaa S 3 已知等比数列 n a满足 1223 36aaaa 则 7 a A 6 A64 B81 C128 D243 解 2 21 32 aa aa q 13 111 aqaa 6421 17 7 a 4 已知等比数列 n a的前三项依次为1a 1a 4a 则 n a C A 3 4 2 n B 2 4 3 n C 1 3 4 2 n D 1 2 4 3 n 解 5 4 1 1 2 aaaa 2 3 4 1 qa 1 2 3 4 n n a 5 已知 n a是等比数列 4 1 2 52 aa 则 13221 nna aaaaa C A 41 16 n B 21 16 n C 41 3 32 n D 21 3 32 n 解 4 1 2 52 aa 2 1 4 1 qa 13221nna aaaaa 41 3 32 n 6 已知 是公比为 2 的等比数列 则等于 abcd dc ba 2 2 A B C 1 D 4 1 2 1 8 1 7 已知是等比数列 且 那么 的值是 n a0 n a252 645342 aaaaaa 53 aa A 5 B 6 C 7 D 25 8 在等比数列中 已知 则该数列前 5 项的积为 n a 9 1 1 a 3 4 a A B 3 C 1 D 1 3 9 的三边 既成等比数列又成等差数列 则三角形的形状是 ABC abc A Rt B 等腰 C 等腰 Rt D 等边 10 三个数成等比数列 其积为 1728 其和为 38 则此三数为 A 3 12 48 B 4 16 27 C 8 12 18 D 4 12 36 11 若 6 54 这五个数成等比数列 则实数的值是 xyzx A B C D 36 366363 12 2009 2009 广雅中学广雅中学 在等比数列中 已知 910 0 aaa a 1920 aab 则 99100 aa 9 8 b a 解 利用 100992019109 aaaaaa 成等比数列 得 99100 aa 9 8 b a 13 设数列的前项和为 为等比数列 且 n an