第五章--第4讲--能量观点解决多过程问题

第第 4 讲讲 能量观点解决多过程问题能量观点解决多过程问题 命题点一命题点一 多运动组合问题多运动组合问题 1 抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程 将物理过程分解成几个简单的子过程 2 两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带 也是解题的关键 很多情况下平抛运 动的末速度的方向是解题的重要突破口 例 1 2017 浙江 4 月选考 20 图 1 中给出了一段 S 形单行盘山公路的示意图 弯道 1 弯道 2 可看作两个不同水平面上的圆弧 圆心分别为 O1 O2 弯道中心线半径分别为 r1 10 m r2 20 m 弯道2 比弯道1 高h 12 m 有一直道与两弯道 圆弧相切 质量 m 1 200 kg 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动 路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的 1 25 倍 行驶时要求汽车不打滑 sin 37 0 6 sin 53 0 8 g 10 m s2 图 1 1 求汽车沿弯道 1 中心线行驶时的最大速度 v1 2 汽车以 v1进入直道 以 P 30 kW 的恒定功率直线行驶了 t 8 0 s 进入弯道 2 此时速 度恰为通过弯道中心线的最大速度 求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功 3 汽车从弯道 1 的 A 点进入 从同一直径上的 B 点驶离 有经验的司机会利用路面宽度 用最短时间匀速安全通过弯道 设路宽 d 10 m 求此最短时间 A B 两点都在轨道中心 线上 计算时视汽车为质点 答案 见解析 解析 1 设在弯道 1 沿中心线行驶的最大速度为 v1 由牛顿第二定律得 kmg m v2 1 r1 解得 v1 5 m s kgr15 2 设在弯道 2 沿中心线行驶的最大速度为 v2 由牛顿第二定律得 kmg m v2 2 r2 解得 v2 5 m s kgr210 在直道上由动能定理有 Pt mgh Wf mv mv 1 22 2 1 22 1 代入数据可得 Wf 2 1 104 J 3 沿如图所示内切的路线行驶时间最短 由图可得 r 2 r r r1 2 2 1 d 2 代入数据可得 r 12 5 m 设汽车沿该路线行驶的最大速度为 v 则 kmg m v 2 r 得 v 12 5 m s kgr 由 sin 0 8 r1 r 则对应的圆心角为 2 106 路线长度 s 2 r 23 1 m 106 360 最短时间 t 1 8 s s v 变式 1 2016 浙江 4 月选考 20 如图 2 所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成 其 中轨道 由光滑轨道 AB 与粗糙直轨道 BC 平滑连接 高度差分别是 h1 0 20 m h2 0 10 m BC 水平距离 L 1 00 m 轨道 由 AE 螺旋圆形 EFG 和 GB 三段光滑轨道平滑连接 而成 且 A 点与 F 点等高 当弹簧压缩量为 d 时 恰能使质量 m 0 05 kg 的滑块沿轨道 上升到 B 点 当弹簧压缩量为 2d 时 恰能使滑块沿轨道 上升到 C 点 已知弹簧弹性势 能与压缩量的平方成正比 g 10 m s2 图 2 1 当弹簧压缩量为 d 时 求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小 2 求滑块与轨道 BC 间的动摩擦因数 3 当弹簧压缩量为 d 时 若沿轨道 运动 滑块能否上升到 B 点 请通过计算说明理由 答案 1 0 1 J 2 m s 2 0 5 3 见解析 解析 1 由机械能守恒定律可得 E弹 Ek Ep mgh1 0 05 10 0 20 J 0 1 J 由 Ek mv 可得 v0 2 m s 1 22 0 2 由 E弹 d2 可得当弹簧压缩量为 2d 时 Ek E弹 4E弹 4mgh1 由动能定理可得 mg h1 h2 mgL Ek 解得 0 5 3h1 h2 L 3 滑块恰能通过螺旋圆形轨道最高点需满足的条件是 mg mv2 Rm 由机械能守恒定律有 v v0 2 m s 解得 Rm 0 4 m 当 R 0 4 m 时 滑块会脱离螺旋圆形轨道 不能上升到 B 点 当 R 0 4 m 时 滑块能上升到 B 点 拓展点 1 圆周 直线 平抛的组合 例 2 2017 温州市质检 半径 R 1 m 的 圆弧轨道下端与一水平轨道连接 水平轨道离地 1 4 面高度 h 1 m 如图 3 所示 有一质量 m 1 0 kg 的小滑块自圆弧轨道最高点 A 由静止开 始滑下 经过水平轨道末端 B 时速度为 4 m s 滑块最终落在地面上 试求 g 取 10 m s2 不计空气阻力 图 3 1 滑块落在地面上时的速度大小 2 滑块在轨道上滑行时克服摩擦力所做的功 答案 1 6 m s 2 2 J 解析 1 因滑块经过水平轨道末端 B 后下落时只有重力做功 所以取滑块经过水平轨道末 端 B 时为初状态 落在地面上时为末状态 根据机械能守恒定律可得 以地面为零势能面 mv mgh mv2 0 1 22 B 1 2 解得 v m s 6 m s v2 B 2gh42 2 10 1 2 取滑块在圆弧轨道最高点 A 时为初状态 落在地面上时为末状态 根据动能定理可得 W总 WG Wf mv2 0 1 2 解得 Wf mv2 WG mv2 mg R h 1 2 1 2 1 62 J 1 10 1 1 J 2 J 1 2 即滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功 2 J 拓展点 2 直线 圆周 平抛的组合 例 3 2017 嘉兴市质检 如图 4 所示 一弹射装置由弹簧发射器和轨道组成 轨道由水平 光滑滑道 AB 与管道 BCDE 相连接而成 其中 BCD 是半径 R 0 4 m 管道中心到圆心的距 离 的竖直光滑圆管道 DE 是长度等于 0 4 m 的水平粗糙管道 在 D 处的下方有一直径略 大于物块的小孔 装置都在同一竖直平面内 当弹簧压缩到 A 弹射物块 m1时 恰能使其 无初速度地落入 D 点处的小孔中被收集 当弹簧压缩到 A 弹射物块 m2时 则其落入 E 左 侧紧靠 E 的容器甲中 已知 m1 0 05 kg m2 0 04 kg 容器甲高 h 0 2 m 长 L 0 4 m 上沿与管道下壁在同一水平面 物块大小略小于管道内径 g 10 m s2 图 4 1 当弹簧压缩到 A 时 求弹簧的弹性势能 2 求物块 m2经过 D 点时对 D 点的作用力大小 3 若物块 m2落在容器甲的 处 求物块 m2与管道 DE 间的动摩擦因数大小 L 2 答案 1 0 4 J 2 0 3 0 375 解析 1 物块 m1和弹簧组成的系统机械能守恒 得 Ep 2m1gR 0 4 J 2 从弹簧压缩到 A 处到物块 m2经过 D 点的过程中 物块 m2和弹簧组成的系统机械能守恒 得 Ep 2m2gR m2v 1 22 D 由圆周运动规律可得 F m2g m2 v2 D R 代入数据得在 D 点管道对物块 m2的作用力 F 0 根据牛顿第三定律 物块对 D 点的作用力大小 F 0 3 物块 m2离开 E 点后做平抛运动 有 h gt2 vE 1 2 L 2 t 得 vE 1 m s 从 D 到 E 由动能定理可得 m2gLDE m2v m2v 1 22 E 1 22 D 解得 0 375 命题点二命题点二 传送带模型问题传送带模型问题 传送带问题的分析流程和技巧 1 分析流程 2 相对位移 一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量 Q Ff x相对 其中 x相对是物体间相对路径长 度 如果两物体同向运动 x相对为两物体对地位移大小之差 如果两物体反向运动 x相对 为两物体对地位移大小之和 3 功能关系 1 功能关系分析 WF Ek Ep Q 2 对 WF和 Q 的理解 传送带的功 WF Fx传 产生的内能 Q Ff x相对 模型 1 水平传送带模型 例 4 2016 温州市期中 倾角为 30 的光滑斜面的下端有一水平传送带 传送带正以 6 m s 的速度运动 运动方向如图 5 所示 一个质量为 2 kg 的物体 可视为质点 从 h 3 2 m 高 处由静止沿斜面下滑 物体经过 A 点时 不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面 都 不计其动能损失 物体与传送带间的动摩擦因数为 0 5 物体向左最多能滑到传送带左右两 端 A B 连线的中点处 重力加速度 g 取 10 m s2 求 图 5 1 传送带左 右两端 A B 间的距离 L 2 上述过程中物体与传送带组成的系统因摩擦产生的热量 3 物体随传送带向右运动 最后沿斜面上滑的最大高度 h 答案 1 12 8 m 2 160 J 3 1 8 m 解析 1 物体从静止开始到在传送带上的速度等于 0 的过程中 运用动能定理得 mgh 0 0 解得 L 12 8 m mgL 2 2 在此过程中 物体与传送带间的相对位移 x相 v带 t 又 gt2 而摩擦产生的热量 Q mg x相 L 2 L 2 1 2 联立得 Q 160 J 3 物体随传送带向右匀加速运动 设当速度为 v带 6 m s 时 向右运动的位移为 x 则 mgx mv 得 x 3 6 m 即物体在到达 A 点前速度与传送带速度相等 最后以 v带 1 2 2 带 L 2 6 m s 的速度冲上斜面 由动能定理得 mv mgh 解得 h 1 8 m 1 2 2 带 变式 2 2016 杭州市月考 如图 6 所示 皮带的速度是 3 m s 两轮圆心间距离 s 4 5 m 现将 m 1 kg 的小物体 可视为质点 轻放在左轮正上方的皮带上 物体与皮带间的动摩擦 因数 0 15 皮带不打滑 电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时 求 g 10 m s2 图 6 1 小物体获得的动能 Ek 2 这一过程中摩擦产生的热量 Q 3 这一过程中电动机消耗的电能 E 答案 1 4 5 J 2 4 5 J 3 9 J 解析 1 物体开始做匀加速运动 加速度 a g 1 5 m s2 当物体与皮带速度相同时 mgx mv2 1 2 解得物体加速阶段运动的位移 x 3 m 4 5 m 则小物体获得的动能 Ek mv2 1 32 J 4 5 J 1 2 1 2 2 v at 解得 t 2 s Q mg x相对 mg vt x 0 15 1 10 6 3 J 4 5 J 3 E Ek Q 4 5 J 4 5 J 9 J 模型 2 倾斜传送带模型 例 5 如图 7 所示 与水平面夹角 30 的倾斜传送带始终绷紧 传送带下端 A 点与上端 B 点间的距离 L 4 m 传送带以恒定的速率 v 2 m s 向上运动 现将一质量为 1 kg 的物 体无初速度地放于 A 处 已知物体与传送带间的动摩擦因数 取 g 10 m s2 求 3 2 图 7 1 物体从 A 运动到 B 共需多长时间 2 电动机因传送该物体多消耗的电能 答案 1 2 4 s 2 28 J 解析 1 物体无初速度地放在 A 处后 因 mgsin mgcos 故当物体与传送带同速后 物体将继续加速 由 mgsin mgcos ma2 L x1 vt2 a2t 1 22 2 解得 t2 1 s 故物体由 A 端运动到 B 端的时间 t t1 t2 2 s 2 物体与传送带间的相对位移 x相 vt1 x1 L x1 vt2 6 m 故 Q mgcos x相 24 J 2 2017 温州市质检 滑板运动是一种陆上的 冲浪运动 滑板运动员可在不同的滑坡上 滑行 做出各种动作 给人以美的享受 如图 2 是模拟的滑板组合滑行轨道 该轨道有足 够长的斜直轨道 半径 R1 1 m 的凹形圆弧轨道和半径 R2 2 m 的凸形圆弧轨道组成 这 三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接 其中 M 点为凹形圆弧轨道的最低点 N 点为凸形圆弧轨道的最高点 凸形圆弧轨道的圆心 O 点与 M 点处在同一水平面上 运动 员踩着滑板从斜直轨道上的 P 点无初速度滑下 经过 M 点滑向 N 点 P 点距 M 点所在水 平面的高度 h 2 45 m 不计一切阻力 运动员和滑板的总质量为 m 50 kg 运动员和滑 板可视为质点 g 10 m s2 求 图 2 1 运动员滑到 M 点时的速度大小 2 运动员滑到 N 点时 滑板对轨道的压力大小 3 改变运动员无初速度下滑时距 M 点所在水平面的高度 求运动员恰好从 N 点水平飞出 时 运动员的出发点距 M 点所在水平面的高度 h1 答案 1 7 m s 2 275 N 3 3 m 解析 1 以地面为参考平面 对运动员和滑板从 P 到 M 的过程 由机械能守恒定律得 mgh mv 1 22 M 解得 vM m s 7 m s 2gh2 10 2 45 2 从 P 到 N 由机械能守恒定律得 mg h R2 mv 1 22 N vN m s 3 m s 2g h R2 2 10 2 45 2 滑板在 N 点时 由牛顿第二定律有 mg FN m v2 N R2 解得 FN mg m 275 N v2 N R2 由牛顿第三定律 滑板滑到 N 点时 滑板对轨道的压力 FN FN 275 N 3 运动员恰好从 N 点水平飞出时 由牛顿第二定律得 mg m 对从 P 到 N 的过程 vN 2 R2 由机械能守恒定律有 mg h1 R2 mvN 2 解得 h1 3 m 1 2 3 2017 金华十校 联考 金华某商场门口根据金华 双龙 元素设计了一个精美的喷泉 雕塑 两条龙喷出的水恰好相互衔接 不碰撞 形成一个 字形 某学习小组为了研究 喷泉的运行原理 将喷泉简化成如图 3 所示的模型 两个龙可以看成两个相同对称圆的一 部分 近似看成在同一平面内 E B 两点为圆的最高点 抽水机 M 使水获得一定的初速度 后沿 ABCDEFG 运动 水在 C F 两处恰好沿切线进入管道 最后回到池中 圆半径为 R 1 m 角度 53 忽略一切摩擦 g 10 m s2 sin 53 0 8 cos 53 0 6 求 图 3 1 水从 B 点喷出的速度大小 2 取 B 处一质量为 m 0 1 kg 的一小段水 管道对这一小段水的作用力大小和方向 3 若管道 B 处横截面积为 S 4 cm2 则抽水机 M 的输出功率大小 水的密度 1 103 kg m3 答案 1 3 m s 2 0 8 N 竖直向下 3 49 2 W 2 解析 1 水从 B 点做平抛运动 竖直方向 h R Rcos 1 6 m 根据 v 2gh 得 vCy 4 m s 2Cy2 又因水在 C 点刚好与圆相切 得 tan vCy vB 所以 vB 3 m s 2 2 以 m 0 1 kg 的一小段水为研究对象 当水在最高点 B 受到的管道作用力是 0 时 有 Fn mg m v临 m s 3 m s v 2 临 R102 故水在 B 点受到管道竖直向下的压力 mg FN m 得 FN 0 8 N v2 B R 3 以单位时间 t 1 s 从 B 点喷出的水为研究对象 m0 SvBt 以 A 处所在平面为零势能参考面 由能量守恒定律可得 Pt m0g 2R m0v 1 22 B 得 P 34 8 W 49 2 W 2 4 2017 湖州市质检 如图 4 所示 AB 为半径 R 1 m 的四分之一光滑竖直圆弧轨道 OB 竖直 有一质量 m 2 kg 的物体 可视为质点 从 A 点的正上方距离 A 点 H 1 m 处由静 止开始下落 CD 段为长 L 2 m 的粗糙水平面 物体与水平面间动摩擦因数 1 0 2 DE 段 是一个可以改变倾角的长斜面 物体与斜面间动摩擦因数为 2 轨道 AB CD DE 间 3 3 均光滑连接 物体在经过连接处动能损失均不计 空气阻力不计 g 取 10 m s2 图 4 1 物体能沿轨道 AB 到达最低点 B 求它到达圆弧轨道最低点 B 时对轨道的压力 2 当斜面倾角 30 时 求物体上滑的最大高度 3 当斜面倾角 在 0 90 范围内 为某值时 物体上滑的最大距离具有最小值 求此最小 值 答案 1 100 N 方向竖直向下 2 0 8 m 3 60 m 4 5 3 解析 1 物体由初始位置运动到 B 点的过程中根据动能定理有 mg R H mv 1 22 B 到达 B 点时由支持力 FN和重力的合力提供向心力 FN mg m v2 B R 解得 FN 100 N 根据牛顿第三定律 物体对轨道的压力大小为 100 N 方向竖直向下 2 设最高点高度为 h 从开始下落到上升到最高点 由功能关系得 mg H R h 1mgL 2mgcos 0 h sin 解得上升的最大高度 h 0 8 m 3 设物体在斜面上上滑的长度为 s 从开始下落直至运动到最高点 由动能定理得 mg H R 1mgL mgsin 2mgcos s 0 s mg H R 1mgL mg 2cos sin 32 20 1 2 2sin 8 5 1 3 3 2sin tan 2 30 3 3 所以当 60 时 有最小值 smin m 4 3 5 5 2017 嘉兴市质检 某同学设计了一款益智类的儿童弹射玩具 模型如图 5 所