南通四校2011高考数学一轮复习：第16章导数及其应用第1节训练

1 曲线 y x2 x 在点 1 0 处的切线的倾斜角为 解析 y 2x 1 y x 1 1 即 tan 1 45 答案 45 2 已知函数 y f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程是 x 2y 1 0 则 f 1 2f 1 的值是 解析 1 f 1 在直线 x 2y 1 0 上 所以 1 2f 1 1 0 f 1 1 又 f 1 f 1 2f 1 1 2 2 1 2 1 2 答案 2 3 2010 年江苏南京模拟 若曲线 f x x4 x 在点 P 处的切线平 行于直线 3x y 0 则点 P 的坐标为 解析 设 P x0 y0 f x 4x3 1 f x0 4x03 1 由题知 4x03 1 3 x0 1 则 y0 0 答案 1 0 4 2008 年高考江苏卷 设直线 y x b 是曲线 y lnx x 0 的一 1 2 条切线 则实数 b 的值为 解析 y 令 得 x 2 故切点 2 ln2 代入直线方程 1 x 1 x 1 2 得 b ln2 1 答案 ln2 1 5 2009 年高考江西卷改编 若存在过点 1 0 的直线与曲线 y x3 和 y ax2 x 9 都相切 则 a 等于 15 4 解析 令过 1 0 的直线与 y x3切于点 x0 y0 切线斜率为 k 3x02 设切线方程为 y 3x02 x 1 则Error x03 3x03 3x02 2x03 3x02 0 x0 0 或 x0 3 2 故切线方程为 y 0 或 y x 1 27 4 Error ax2 x 9 0 15 4 0 a 25 64 Error ax2 x 9 x 1 0 15 4 27 4 a 1 答案 1 或 25 64 6 2009 年高考安徽卷 设函数 f x x3 x2 tan 其 sin 3 3cos 2 中 0 则导数 f 1 的取值范围是 5 12 解析 f x sin x2 cos x 3 f 1 sin cos 2sin 3 3 0 5 12 3 3 3 4 sin 1 3 2 2 f 1 2 2 答案 2 2 7 曲线 y x3在点 1 1 处的切线与 x 轴及直线 x 1 所围成的三 角形的面积为 解析 y x3 y 3x2 y x 1 3 1 3 所以在 1 1 处 的切线方程为 3x y 2 0 则 3x y 2 0 与 x 轴的交点为 0 2 3 3x y 2 0 与直线 x 1 的交点为 1 1 所以围成的三角形面积为 S 1 1 2 1 3 1 6 答案 1 6 8 已知点 P x y 是函数 y ex x 的图象上的点 则点 P 到直线 2x y 3 0 的最小距离为 解析 要求距离最小点 即为与直线平行且与曲线相切的切 点 由题意 y ex 1 2 x 0 则切点为 0 1 最小距离为 4 5 5 答案 4 5 5 9 2009 年高考北京卷 设 f x 是偶函数 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为 1 则该曲线在点 1 f 1 处的切线的 斜率为 解析 依题知 f 1 1 lim x 0 f 1 x f 1 x f x 是偶函数 f 1 lim x 0 f 1 x f 1 x lim x 0 f 1 x f 1 x lim x 0 f 1 x f 1 x f 1 1 答案 1 10 已知函数 f x x3 3x 及 y f x 上一点 P 1 2 过点 P 作 直线 l 1 求使直线 l 和 y f x 相切且以 P 为切点的直线方程 2 求使直线 l 和 y f x 相切且切点异于 P 的直线方程 解 1 由 f x x3 3x 得 f x 3x2 3 过点 P 且以 P 1 2 为切点的直线的斜率 f 1 0 所求的直线方程为 y 2 2 设过 P 1 2 的直线 l 与 y f x 切于另一点 x0 y0 则 f x0 3x02 3 又直线过 x0 y0 P 1 2 故其斜率可表示为 又 3x02 3 即 y0 2 x0 1 x03 3x0 2 x0 1 x03 3x0 2 x0 1 x03 3x0 2 3 x02 1 x0 1 解得 x0 1 舍去 或 x0 故所求直 1 2 线的斜率为 k 3 1 y 2 x 1 即 1 4 9 4 9 4 9x 4y 1 0 11 已知函数 f x 2x3 ax 与 g x bx2 c 的图象都过点 P 2 0 且在点 P 处有公共切线 求 f x g x 的表达式 解 f x 2x3 ax 图象过点 P 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 对于 g x bx2 c 图象过点 P 2 0 则 4b c 0 又 g x 2bx g 2 4b f 2 16 b 4 c 16 g x 4x2 16 综上可知 f x 2x3 8x g x 4x2 16 12 曲线 S y x3 6x2 x 6 1 则曲线在哪一点处切线的斜率最小 求此时的切线方程 2 设此点是 P x0 y0 证明 曲线 S 关于点 P 中心对称 解 1 y 3x2 12x 1 当 x 2 时 y 最小 最小值为 13 切点为 P 2 12 切线 方程为 13x y 14 0 2 证明 设 x1 y1 是 S