第八章--蒙特卡洛期权定价方法

1 1 第八章第八章 蒙特卡洛期权定价方法蒙特卡洛期权定价方法 在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具 可以用来评估投资组合管理 规则 为期权定价 模拟套期保值交易策略 估计风险价值 蒙特卡洛方法主要 的优势在于对大多数情况都适用 易于使用 灵活 它把随机波动性和奇异期权 的很多复杂特性都考虑进去了 更倾向于使用处理高维问题 而网格和PDF分析框 架却不适用 蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大 多次的重复需要完善 我们所关注的置信区间的估计 利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决 这个问题 本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用 包括一些路径依赖 型期权 这章是第四章的延伸 在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分 需要强调 的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具 即使我们适用更多的 模拟 或 抽样 在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记 如果可能 我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较 很明显我们这样做 的目标是一个纯粹的教学 如果你要计算一个矩形房间的面积 你只需要用房间 的长度乘以房间的宽度即可 而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹 配 尽管如此 你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法 在这些 简单的例子中我们可以检验答案的一致性 更进一步 我们也要看为达到方差减 小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量 蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径 这个生成的样本路径给予一个描述 价格 或利率 动态的随机微分方程 在8 1节我们解释几何布朗运动的路径生成 在一个具体例子中模拟两个对冲策略 我们也会讨论布朗桥 它是适时推进模拟 2 2 样本的一个替代方案 在8 2节将讨论交换期权 它被用作为一个如何将这种方法 推广到多维过程的一个简单实例 在8 3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子 这是个下跌敲出看跌期权 我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重 要性 在8 4节将讨论到强路径依赖型期权 同时我们证明了运用控制变量和低 差异序列为算术平均亚式期权定价 我们以概述由蒙特卡洛抽样产生的估计期 权敏感性的基本问题来结束本章 在8 5节我们考虑一个普通的看涨期权A的简单 案例 在第10 4节将讨论到随机模拟期权定价的另一个应用 它应用于美式期权 而一 个简单的模拟方法在早期的应用中不可实行 并且这个问题在随机动态优化的框 架里被强制转换 8 18 1 路径生成路径生成 蒙特卡洛期权定价方法的应用的出发点是对样本基本因素路径的产生 对于 一般的期权就像在第四章里面一样不需要产生路径 只需要关注标的资产到期日 的价格 但是如果路径依赖型期权 我们就需要整条路径或者至少需要在给定时 刻的一系列价值 如果服从几何布朗运动 情况的处理就非常简单 事实上 必 须认识到在路径生成中有两个误差源 样本误差 离散误差 样本错误时因为蒙特卡洛方法的随机性 这个问题可以通过减小方差的办法 得到缓解 为了理解什么是离散错误 我们考虑一个典型的离散连续时间模型 例如 伊藤随机微分方程 tttt dWtSbdttSadS 1 1 在第五章我们看到离散收敛不是很容易的 在第五章我们看到离散收敛不是很容易的 2 2 见附录见附录B B 根据最简单的离散的方法欧拉公式 得到以下离散时间模型 是离散时间步 且这种方法在概念上与有限差分类似 并且在t 确定性微分方程上的应用会产生一个截尾误差 在离散步长很小的时候这个误差 可以忽略不计 1 当我们讨论随机过程收敛性时是一个非常重要的概念 但是 我们可以猜想我们能够通过从标准正态分布中抽取随机变量来模拟一个与连续 时间方程的解密切相关的离散时间随机过程 随着样本路径和复制次数的增加 我们也就能够减小样本误差 虽然可以更正式地证明上述理由 但我们应该认识到离散误差至可能改变特征 解的概率分布例如 几何布朗运动模型 欧拉公式 这是非常容易掌握和执行的 但是每个值的边缘分布比起对数正态分 tiSSi 布更普通 事实上 取很小的就可以减小误差 但是很费时 在一个特定的 案例中 我们可以通过伊藤引理的一个简单应用来同时消除随机误差 但对大多 数情况而言这种方法不可取 对于复杂的随机微分方程 我们必须生成整条样本 路径 1 1 在第五章我们看到离散收敛不是很容易的 在第五章我们看到离散收敛不是很容易的 2 2 见附录见附录B B 8 18 1 1 1 模拟几何布朗运动模拟几何布朗运动 利用伊藤引理 我们可以把 8 1 转换为下面这种形式 我们还记得 利用对数正态分布性质 2 令 有 当完全合并时 8 2 非常有用 得到 为了模拟在时间段 0 T 上的资产价格的路径 我们必须用一个间步长把时 间离散化 从最后一个等式以及标准Wiener过程 见2 5节 得到 3 3 我们假定一年包含我们假定一年包含365365个交易日 如何看待非交易日是有点争议的 参见个交易日 如何看待非交易日是有点争议的 参见e g ll pp 251 252 而是一个标准正态随机变量 以等式 8 5 为基础 很容易生 成资产价格的样本路径 在图8 1中给出了生成服从几何布朗运动的资产价格的样本路径的令 函数 AssetPaths产生一个样本路径矩阵 在这个矩阵里 模拟的资产价格按行存储且 每一列类似于一个时间瞬间 第一列包含了对所有路径来说相同的值和初始价格 我们必须给这个函数赋值 始价格S0 漂移率mu 波动性sigma 时间范围T 时间 步长的数量NSteps 模拟次数NRep1 值得注意的是该函数把参数作为已知的然 后计算参数 例如 生成并且绘制三条为期一年的样本路径 初始价格 50 均值为0 1 标准 差0 3 以一年为基础 假定时间步长为一天 3 绘制的结果如图8 2所示 如果用另一种状态为randn标准型生成随机数 将会得 到不同的结果 function SPaths AssetPaths S0 mu sigma T NSteps NRepl SPaths zeros NRepl 1 NSteps SPaths 1 S0 dt T NSteps nudt mu 0 5 sigma 2 dt sidt sigma sqrt dt for i 1 NRepl for j 1 NSteps SPaths i j 1 SPaths i j exp nudt sidt randn end end 图图8 18 1 用蒙特卡洛模拟生成资产价格路径的用蒙特卡洛模拟生成资产价格路径的MATLABMATLAB命令命令 图图8 28 2 用蒙特卡洛模拟生成的样本路径用蒙特卡洛模拟生成的样本路径 4 4 见 见 11 pp 300 302 11 pp 300 302 5 5 见 见 5 5 function SPaths AssetPathsV S0 mu sigma T NSteps NRepl dt T NSteps nudt mu 0 5 sigma 2 dt sidt sigma sqrt dt Increments nudt sidt randn NRepl NSteps LogPaths cumsum log S0 ones NRepl 1 Increments 2 SPaths exp LogPaths Spaths 1 S0 图图 8 38 3 生成资产价格路径的矢量命令生成资产价格路径的矢量命令 图8 1中的命令是基于两个循环嵌套 有时在MATLAB中使用矢量命令会更有效 为 了使用矢量命令 可以便于把等式 8 5 重写为 为了对行进行加总 默认的是对列进行加总 我们可以生成资产价格对数的差 分然后把可选参数设置为2利用cumsum函数 函数AssetPathsV的结果如图8 3所示 值得注意的是在最后一行我们把初始价格写在第一列 原因如下 最好避免这个误差 在这里看是微不足道 但以后会发现并不是这样的 我们可以比较这两组实现的速度 4 4 见 见 11 pp 300 302 11 pp 300 302 5 5 见 见 5 5 在这种情况下我们不能看出矢量命令的优势 我们应该注意到处理tic和toc 的返回时间是受后台操作系统的许多变量控制的 但是在写这本书的第一版时 矢量命令是有明显的优势的 并且 事实上 在很多情况下这种优势也是存在的 问题是硬件和软件 在在这种情况下 MATLAB的解释程序已经有了改进 这个是 可以论证的 的改进可能使得一些程序不再适用 有时一个完全的矢量命令需要 很多的矩阵 这不适合计算机的主存储器 在这种情况下 利用虚拟内存磁盘空 间可能会使得运行减缓 所以我们必须知道所有可能的问题 但是最终是由这个 问题的有效率的实证检验所决定的 8 1 28 1 2 模拟套期保值策略模拟套期保值策略 利用函数生成样本路径 我们可以首先为普通的欧式看涨期权比较套期保值 策略 从第二章我们了解到期权价格基本上是一个delta套期保值策略并且对看涨 期权来说连续时间的套期保值策略需要持有标的资产的大量 一个简单的策略 就是止损策略 4 这种方法是说当期权价格在执行价格以上时我们需要一个轧 平头寸 即买入股票 并且当期权价格在执行价格以下时我们需要一个裸型头 寸 即卖出股票 在实际操作中 当标的资产的价格高于执行价格K时就买入股 票 反之当股票价格低于执行价格K时就卖出股票 这个方法很直观但是它用在连 续时间分析中并不是那么容易的 5 尽管如此 我们可以评判这种方法在离散 4 4 见 见 11 pp 300 302 11 pp 300 302 5 5 见 见 5 5 时间中使用蒙特卡洛模拟时的作用 在离散时间中存在一个执行的问题就是在执 行价格我们并不能真正的买卖股票 当我们发现价格高于临界值时我们买入得价 格大大高于K 然而我们卖出股票的价格却是比临界值稍微低一点点 所以即使不 考虑同样会影响delta套期保值的交易费用 在使用止损策略时同样存在一个潜在 的问题 在图8 4中给出了用来估计止损策略的平均成本的一个MATLAB程序 该函数包括了 可能由函数AssetPaths生成的样本路径矩阵 值得注意的是在这种情况下 在模 拟中必须使用的是真正意识上的漂移率mu而不是像期权价格那样 为了检验这些 命令 需要注意这里的步数 时间间隔 等于路径矩阵的列数减一 如果我们要 购买标的股票 就需要把借入的资金考虑在内 但是一旦假定存在确定且连续的 利率 就不需要把借入的资金考虑在内 因为我们能够很容易的记录交易中的现 金流量并且把它们折现到t 0时刻 就已经预先把DiscountFactors这些折现因素 考虑在内了 使用一个状态变量Covered去判断执行价格上涨或下跌 既然在购买 股票股票时现金流对购买者来说是负的 而在出售股票时则是正的 那么期权 价格 就通过平均现金流的变动趋势来评价 同样需要注意在到期日的状况 如果到期日期权的价格高于执行价格 那么期权持有者就会行权 我们也会得到 的是本应该包含在现金流中的执行价格 function P StopLoss S0 K mu sigma r T Paths NRepl NSteps size Paths NSteps NSteps 1 true number of steps Cost zeros NRepl 1 dt T NSteps DiscountFactors exp r 0 1 NSteps dt for k 1 NRepl CashFlows zeros NSteps 1 1 if Paths k 1 K Covered 1 CashFlows 1 Paths k 1 else Covered 0 end for t 2 NSteps 1 if Covered 1 CashFlows t Paths k t end end if Paths k NSteps 1 K Option is exercised CashFlows NSteps 1 CashFlows NSteps 1 K end Cost k dot DiscountFactors CashFlows end P mean Cost 图图8 48 4 估计止损策略的平均成本的估计止损策略的平均成本的MATLABMATLAB程序程序 既然我们知道有时候用矢量命令更方便 那么在图8 5中我们也用矢量命令表 示出来了 这里主要的不同之处是使用了变量OldPrice 它本质上是节点路径的转 换复制 在节点处价格处于临界状态 上涨或者下跌 价格上升的次数我们用 UpTimes来记录 上升时现金流对持有者是不利得 同理用DownTimes来记录下跌 的次数 function P StopLossV S0 K mu sigma r T Paths NRepl NSteps size Paths NSteps NSteps 1 Cost zeros NRepl 1 CashFlows zeros NRepl NSteps 1 dt T NSteps DiscountFactors exp r 0 1 NSteps dt OldPrice zeros NRepl 1 Paths 1 NSteps UpTimes find OldPrice K DownTimes find OldPrice K CashFlows ExPaths NSteps 1 CashFlows ExPaths NSteps 1 K Cost CashFlows DiscountFactors P mean Cost 图图8 58 5 止损套期保值策略的矢量命令止损套期保值策略的矢量命令 现在我们可以检验这两个程序是否是一致的 以及矢量是否存在优势 不同于资产路径的生成在这里我们可以从矢量命令中看出优势 使用矢量程 序生成资产路径我们也可以在这里发现为什么正确分配初始资产价格很可能很重 要 正如我们在图8 3最后一行命令中所做的那样 在这种情况下期权的价格正好 符合这个价格 那么我们总是会购买初始股票 但是如果初始股票价格使49 9999 我们则不够买股票 并且一个在这个过程中一个明显的但被忽略的误差已经产生 了很严重的后果 function P DeltaHedging S0 K mu sigma r T Paths NRepl NSteps size Paths NSteps NSteps 1 Cost zeros NRepl 1 CashFlows zeros 1 NSteps 1 1212 dt T NSteps DiscountFactors exp r 0 1 NSteps dt for i 1 NRepl Path Paths i Position 0 Deltas blsdelta Path 1 NSteps K r T 0 NSteps 1 dt sigma for j 1 NSteps CashFlows j Position Deltas j Path j Position Deltas j end if Path NSteps 1 K CashFlows NSteps 1 K 1 Position Path NSteps 1 else CashFlows NSteps 1 Position Path NSteps 1 end Cost i CashFlows DiscountFactors end P mean Cost 图图8 68 6 估计估计deltadelta套期保值策略套期保值策略 现在我们应该比较止损策略的成本 delta套期保值策略的成本以及理论的期 1313 权价格 估计delta套期保值策略的平均成本的程序已经在图8 6中给出了 这个程 序跟止损策略有点类似 但它不是向量 在样本路径每一个点上为了获得期权 而调用函数blsdelta时使用的向量是我们所处理过的唯一的向量 注意必须用趋 于到期日的当前资产价格和当前时间来计算 我们使用金融工具blsdelta函数 给赋一个新的值就会更新股票的当前Position 也会产生没有被考虑在内的现 金流 图8 7给出了比较两个套期保值策略作用的脚本 运行这个脚本 我们可以得 到以下的结果 HedgingScript m S0 50 K 52 mu 0 1 sigma 0 4 r 0 05 T 5 12 NRepl 10000 NSteps 10 C blsprice S0 K r T sigma fprintf 1 s f n true price C randn state 0 Paths AssetPaths S0 mu sigma T NSteps NRepl SL StopLossV S0 K mu sigma r T Paths fprintf 1 cost of stop loss S f n SL DC DeltaHedging S0 K mu sigma r T Paths fprintf 1 cost of delta hedging f n DC NSteps 100 randn state 0 Paths AssetPaths S0 mu sigma T NSteps NRepl SL StopLossV S0 K mu sigma r T Paths fprintf 1 cost of stop loss S f n SL DC DeltaHedging S0 K mu sigma r T Paths fprintf 1 cost of delta hedging f n DC 图图8 78 7 比较套期保值策略的脚本比较套期保值策略的脚本 在第一组运行中我们使用十个套期保值步骤 在第二组中使用100个套期保值 步骤 我们发现止损策略不像delta套期保值成本那样收敛于真实的期权价格 事 实上 需要在不同的设置下进行这种比较 并且也应该包括该套期保值成本的可 变性 8 1 38 1 3 布朗桥布朗桥 在前面几节中 我们依据收益与时间密切相关的自然过程生成了一个资产路 径 事实上 Wiener过程倾向于一些能够用不同的方法生成样本路径的特殊性质 假如有一个左边和右边的终点分别为和的时间间隔且存在一个中间瞬时时间 使得 在生成的标准路径中 我们能够很自然地生成Wiener过s 程 以及最终的 利用所谓的布朗桥 我们可以在条件 及处生成 可以看出在这两个值的条件下是一 个正常变量 其期望值为 方差为 这是由多元正态分布的条件分布的一些性质所决定的 以上这些公式 6 都是很 直观的 我们就不必要再去证明了 的条件期望值是通过和线性 插值求出的 方差在两个端点和附近较小 在整个时间间隔中间确实最大值 利用布朗桥 我们可以通过二分法生成样本路径 假定 抽取样本 再次抽取样本 假定和 抽样 假定 和 抽样 等等 实际上 我们可以用非均匀时间步 骤生成我们想要的任何序列样本路径 有人也许会问为什么如此复杂的结构却这 么有用 至少有以下两点原因 它可以通过分层使得方差减小 在多维中运用分层很困难 但是我们可以对 资产价格终值进行分层 并且可以利用其中点对其进行分层 然后利用布朗桥生 成中间值 在低差异序列结合中布朗桥构造也很有用 在4 6节中我们发现简单低差异序 列在高纬定义域内运用很困难 因为不能完全包含一些维度 利用布朗桥 我们 可以通过以样本点作为基点用高效率序列去描述Wiener过程路径 然后我们用其 他序列甚至是蒙特卡洛抽样来填补路径 在图8 8中给出了用布朗桥的方法生成标准Wiener过程路径的一个MATLAB程 但是只有在二等分的时间间隔 0 T 例如 时间间隔的数量是2的幂 这种特殊 例子中才适用 在更多通常的设置中可能适用 在这种情况之下 我们可以把上 面的公式简化为样本 如果令 则有 其中 Z服从标准正态分布 在这个程序中假定时间间隔T的长度和把程序分隔开 来次间隔的NSteps数量 并且这个程序运行出一个包含一条样本路径的向量 假 定时间间隔次数为8 必须是2的幂 那么我们就必须执行3次二等分 给定初始条件 必须先抽取样本 即是跳过一个长度为T 的时间间隔 在这个程序中即为TJump 因为我们输入了9个要素矢量值 从index 1开始 包括 为了输入新的值 我们必须跳过矢量中的八个值 跳过的 值的数量是记为 然后我们开始第一个循环 在第一阶段 只能抽取样本 给定和 给定状态和 我们必须生成一个新的值 并且在状态中保存起来 在本例中即 为4 1 5 在这里我们只生成了一个值 并且把两个跳跃都除以2 在第二次迭代中 我们必须抽取样本 给定和 抽取样本 给定和 将会执行两次嵌套循环 且指数left right和i都会 增加4 在第三次和最后一次迭代中生成了剩余四个值 我们要求读者通过这个程序逐步利用调试器来验证以上我们所说的模式 在 图8 8我们也给出了验证所生成的随机过程的边缘分布式正确的的脚本 期望值应 该为0 标准差应该为时间的平方根 我们发现出去样本误差 这个结果看起来是正确的 给定一个生成标准 Wiener过程的方法 很容易就可以模拟出几何布朗运动 在图8 9中给出了这个程 序 并且使用了一种类似于矢量方法中的AssetPathsV 值得注意的一点是使用函 数diff在对数资产价格中生成矢量Increments 事实上在标准蒙特卡洛中我们用连 续递增生成基本Wiener过程 利用布朗桥结构在不同的瞬时时间我们很直接的得 出了这个过程的不同值 且必须使用函数diff去取得相对差异 在一些情况之下 diff与cumsum起相反的作用 从以下这个例子中我们可以看出来 CheckBridge m randn state 0 NRepl T 1 NSteps 4 WSamples zeros NRepl 1 NSteps for i 1 NRepl WSamples i WienerBridge T NSteps end m mean WSamples 2 1 NSteps sdev sqrt var WSamples 2 1 NSteps sqrt 1 NSteps T NSteps 图图8 88 8 检验利用布朗桥为标准检验利用布朗桥为标准WienerWiener过程生成的路径过程生成的路径 1919 function SPaths GBMHaltonBridge S0 mu sigma T NSteps NRepl if round log2 NSteps log2 NSteps fprintf ERROR in GBMBridge NSteps must be a power of 2 n return end dt T NSteps nudt mu 0 5 sigma 2 dt SPaths zeros NRepl NSteps 1 W WienerHaltonBridge T NSteps NRepl Increments nudt sigma diff W LogPath cumsum log S0 Increments SPaths exp LogPath Spaths 1 S0 图图8 98 9 利用布朗桥为几何布朗运动抽样利用布朗桥为几何布朗运动抽样 8 28 2 为交换期权定价为交换期权定价 本节的目的是为了表明蒙特卡洛模拟在多维期权中也很适用 我们将会使 用一个简单的例子来比较估计值和为了达到这个目的的精确值 我们给一个由两 个资产组成的欧式交换期权定价 根据风险中性原则 这个两个资产的价格可以 用一个二维几何布朗运动来建模 2020 function p Exchange V0 U0 sigmaV sigmaU rho T r sigmahat sqrt sigmaU 2 sigmaV 2 2 rho sigmaU sigmaV d1 log V0 U0 0 5 T sigmahat 2 sigmahat sqrt T d2 d1 sigmahat sqrt T p V0 normcdf d1 U0 normcdf d2 图图8 10 分析交换期权定价的命令分析交换期权定价的命令 其中这两个Wiener过程有瞬时相关 该期权在到期日T的收益为 我们可以发现该期权是差价期权的一个特殊例子 差价期权 的收益取决于两个资产价格之差 在7 3节中我们讨论过一个美式差价期权 之 所以称为 交换 是因为在到期日可以用一个资产跟另一个资产互换 例如 如 果持有资产U和一个交换期权 在到期日的收益将是 对该期权而言 有一个由Black Scholes公式直接演化而来的分析定价公式 7 7 见 见 2 pp 184 188 2 pp 184 188 中作为证明的例子中作为证明的例子2121 我们给出这样的公式是因为这个收益有一个同质形式 在考虑了两个价格 7 比 V U后这个同质形式可以简化相应的偏微分方程 在图8 10中给出了计算这个公式 的MATLAB命令 在使用蒙特卡洛中我们唯一需要考虑的一点是如何为两个相关的Wiener过程 生成样本路径 在4 3 4节中我们对多维正态分布使用过同样的方法 我们应该为 相关关系为且服从标准正态分布的两个变量的相应协方差矩阵找到Cholesky因 子 function p ci ExchangeMC V0 U0 sigmaV sigmaU rho T r NRepl eps1 randn 1 NRepl eps2 rho eps1 sqrt 1 rho 2 randn 1 NRepl VT V0 exp r 0 5 sigmaV 2 T sigmaV sqrt T eps1 UT U0 exp r 0 5 sigmaU 2 T sigmaU sqrt T eps2 DiscPayoff exp r T max VT UT 0 p s ci normfit DiscPayoff 图图8 118 11 用蒙特卡洛模拟为交换期权定价的命令用蒙特卡洛模拟为交换期权定价的命令 这个可以由简单乘法得到验证 其中 因此 为了模拟二维相关Wiener过程 我们必须生成服从标准正态分布的两个独立变量和 并且用 来实现路径的生成 在本例中 我们只需要生成在到期日两个资产价格的联合样本 在图8 11中 给出了最终的MATLAB命令 同样可以检验我们的结果 DOPutMC m function P CI NCrossed DOPutMC S0 K r T sigma Sb NSteps NRepl Generate asset paths Call Put blsprice S0 K r T sigma Payoff zeros NRepl 1 NCrossed 0 for i 1 NRepl Path AssetPaths1 S0 r sigma T NSteps 1 crossed any Path Sb if crossed 0 Payoff i max 0 K Path NSteps 1 else Payoff i 0 NCrossed NCrossed 1 end end P aux CI normfit exp r T Payoff 图图8 128 12 离散障碍期权的基本形式的蒙特卡洛模拟离散障碍期权的基本形式的蒙特卡洛模拟 8 38 3 为下跌敲出看跌期权定价为下跌敲出看跌期权定价 在本节中 我们将讨论一个弱路径依赖型期权的例子 即下跌敲出看跌期权 在这种前提假设下在每个交易日末都会检验那个障碍 在2 7 1节中我们发现了连 续监控的分析公式是如何被调整去反映离散监控的 我们将使用函数DOPut去检 验蒙特卡洛模拟的结果 有一点非常重要那就是在实际中的障碍期权可能对随机 波动很敏感 在为障碍期权定价时可以同时使用蒙特卡洛模拟和随机波动模型 8 3 18 3 1 基本形式蒙特卡洛基本形式蒙特卡洛 在图8 12中给出了基本形式蒙特卡洛模拟的执行命令 参数NSteps用来表明 障碍水平应该检验多少次股票价格 当触及障碍期权时收益设置为0 注意在 期权有效期中即使障碍是交叉的我们仍然要模拟整条路径 部分路径确实是没有 用的 但是这样做是为了可以用AssetPaths和任何矢量因素来简化命令 函数 DOPutMC也表明了路径的NCrossed数量 在这条路径中障碍处于交叉状态 现在为距到期日还有两个月的期权定价 假定每个月包含30天且每天都会检验障 碍 障碍为 40 8 3 28 3 2 条件蒙特卡洛条件蒙特卡洛 从4 5 1节中我们知道对立抽样在这个例子中也许并不十分有效 因为收益与 相关的到期资产价格是非单调的 如同整条资产价格路径一样这里的问题就变得 越来越复杂 也可以用控制变量 类似普通看跌期权控制变量的一个替代是可以 通过B S公式计算出来的 而这个价格能够由Black Scholes公式计算出来 不管 怎样 两个期权之间的相关关系如何是值得探讨的 因此 我们尝试一种不同的 方法 即在4 5 4节中已经解释过的条件方差减小方法 为了这个目的 我们将会 发现计算下跌敲入看跌期权的价格是很方便的 为这个敲入期权定价其实是 等同于为相应的敲出期权定价 因为我们知道 8 8 在连续监控中 当在连续监控中 当时我们能够立即发现交叉 但在离散监控中却不是这样的 时我们能够立即发现交叉 但在离散监控中却不是这样的 假定我们把这个期权有效期用长度为的时间间隔加以离散化 在本例中即为 一天 使得并且考虑在天数上的资产价格 路径 以此路径为基础 我们估计期权价格 如下 现在令为障碍第一次触及时的时间的阶数 按照惯例 如果在期权有效期内障 碍不交叉则令 在时刻期权生效 并且从这以后这个期 权就跟普通的看跌期权一样 所以在障碍交叉 8 时的交叉时刻 和价格条件下 我们可以使用Black Scholes公式来估计收益 的期望值 因此 如果障碍在到期日前交叉 有 其中是执行价格为K 初始标的价格为以及存续 期为的普通看跌期权的Black Scholes价格 指数项把折现考虑在内 从到期日折现到交叉时刻 给定一个模拟路径S 则使用以下作为估计式 不同于对立抽样 条件蒙特卡洛运用这个问题的特定的知识 我们知道得越多 8 8 在连续监控中 当在连续监控中 当时我们能够立即发现交叉 但在离散监控中却不是这样的 时我们能够立即发现交叉 但在离散监控中却不是这样的 那么数值积分就会越少 在图8 13给出了执行方差减小技术的命令DOPutMCCond 值得注意的一点是 为了有效性 最好是在用向量参数时只用一次函数blsprice 而不是每次复制的时候都用一次 所以把股票价格记为StockVals和把下跌敲入看 跌期权已经被激活的时刻记为Times 如果障碍没有交叉 则估计式就为0 同样 也要注意blsprice里的向量有NCrossed的元素 然而包含估计值的向量Payoff的大 小却是NRep1 DOPutMCCond m function Pdo CI NCrossed DOPutMCCond S0 K r T sigma Sb NSteps NRepl dt T NSteps Call Put blsprice S0 K r T sigma Generate asset paths and payoffs for the down and in option 9 9 也可以讨论在这种情况下我们能得到很好的结果是仅仅是因为价格也可以讨论在这种情况下我们能得到很好的结果是仅仅是因为价格 比在有条件下使用的比在有条件下使用的Black Black ScholesScholes价格稍微低一点 原因是不可能穿越障碍 价格稍微低一点 原因是不可能穿越障碍 10 10 这里的处理方式是按照这里的处理方式是按照 18 18 中的方法来做的 中的方法来做的 NCrossed 0 Payoff zeros NRepl 1 Times zeros NRepl 1 StockVals zeros NRepl 1 for i 1 NRepl Path AssetPaths1 S0 r sigma T NSteps 1 tcrossed min find Path 0 Caux Paux blsprice StockVals 1 NCrossed K r T Times 1 NCrossed sigma Payoff 1 NCrossed exp r Times 1 NCrossed Paux end Pdo aux CI normfit Put Payoff 图图8 138 13 离散障碍期权的条件蒙特卡洛模拟离散障碍期权的条件蒙特卡洛模拟 9 9 也可以讨论在这种情况下我们能得到很好的结果是仅仅是因为价格也可以讨论在这种情况下我们能得到很好的结果是仅仅是因为价格 比在有条件下使用的比在有条件下使用的Black Black ScholesScholes价格稍微低一点 原因是不可能穿越障碍 价格稍微低一点 原因是不可能穿越障碍 10 10 这里的处理方式是按照这里的处理方式是按照 18 18 中的方法来做的 中的方法来做的 8 38 3 3 3 重要性抽样重要性抽样 最后一个运行表明条件方差减小技术也许的确有效 但是还是不能太高兴 首先 一次运行必不能代表一切 更糟的是 在运行了很多次复制 200 000 后 只有在249次复制中障碍才交叉 这就意味着大部分的复制是白费功夫的 9 换句话说 利用这个期权的数据 障碍交叉是不容易出现的 这就是一个 重要抽样可以弥补的典型例子 参见4 5 6节 如果改变资产价格的漂移那么障碍交叉就会变得更有可能 10 我们需要 倒退一步去考虑一下为生成资产价格路径S我们所做的事情 对每一个时间步骤 生成一个正态变量 其期望值为 方差为 所有的变量都是相互独立的 并且生成的资产价格设置为 令Z为正态变量的向量 并且令f Z 为它的联合密度 如果我们采用修正期望值 可以预测障碍交叉的次数将会更多 令g Z 为正态变量的联合密度生成了这个 修正期望值 然后我们必须找出一个修正项 似然比 从而得出正确的重要抽样 11 11 了解随机微积分的读者会知道了解随机微积分的读者会知道Randon NikodymRandon Nikodym衍生是一个随机变量 衍生是一个随机变量 估计式 结合重要抽样和刚刚描述的条件期望 有 如果障碍在到期日之前交叉 在上面这些表达式中我们应该注意z和Z之间的区别 在给定的条件信息下 第一 组样本事实上都是真的数字组合并且可以从期望中提了出来 在执行过程中 我 们必须生成期望值为的正态变量以及用似然比乘以从样本角度看来是随 机变量 11 的条件估计 现在一个唯一公开的问题就是如何计算似然比 在附 录B中我们考虑了期望值为协方差为的多元正态联合分布 在本例中 因为相互独立的随机变量 协方差矩阵式元素为的多元矩 阵 并且期望值构成了密度函数f同时构成密度函数g 故有 在图8 14中给出了最终的命令 函数DOPutMCCond跟函数DOPutMCCond相似 区别 在于为了计算储存在向量ISRtion中的似然比必须生成资产价格路径并且把正态变 量记录在向量vetZ中 我们只是在主循环最后来计算Black Scholes价格 在函数 DOPutMCCondIS中我们假定计算者提供了一个百分数形式的bp 和修正期望值可以 用下面这个式子计算 因此给出了作为一个正确的期望值的百分比的参数b 注意我们可以使用任意一个 大于1且小于漂移率的值作为bp的值 现在我们可以试一下重要抽样 DOPutMCCondIS m function Pdo CI NCrossed DOPutMCCondIS S0 K r T sigma Sb NSteps NRepl bp dt T NSteps nudt r 0 5 sigma 2 dt b bp nudt sidt sigma sqrt dt Call Put blsprice S0 K r T sigma Generate asset paths and payoffs for the down and in option NCrossed 0 Payoff zeros NRepl 1 Times zeros NRepl 1 StockVals zeros NRepl 1 ISRatio zeros NRepl 1 for i 1 NRepl generate normals vetZ nudt b sidt randn 1 NSteps LogPath cumsum log S0 vetZ Path exp LogPath jcrossed min find Path 0 Caux Paux blsprice StockVals 1 NCrossed K r T Times 1 NCrossed sigma Payoff 1 NCrossed exp r Times 1 NCrossed Paux ISRatio 1 NCrossed end Pdo aux CI normfit Put Payoff 图图8 148 14 用条件蒙特卡洛和重要抽样为离散障碍期权定价用条件蒙特卡洛和重要抽样为离散障碍期权定价 有设置为0的参数bp的DOPutMCCondIS跟DOPutMCCond一样 随着bp不断增加 women可以发现障碍在复制中交叉的次数越来越多 并且估计的精度也越来越高 注意这并不是意味着b的值越大越好 在 18 中给出了设置这个参数的建议 8 48 4 为算术平均亚式期权定价为算术平均亚式期权定价 本节我们将讨论为具有离散算术平均的亚式平均利率看跌期权定价 该期权的 收益为 其中期权的到期日为T年 且 为了简化 我们假定 在等时间距离点去样本价格 但在这个例子中不必要这么做 在基本形式蒙特卡 洛方法中 我们同样必须生成资产路径并且求出折现收益的均值 在图8 15中 我们给出了这些命令 唯一值得注意的是 NSamples是用来计算算术平均的样本 点的N的数量 不能和复制NRep1的数量搞混淆 在本例中我们要生成整条样本路 径 我们只是在条件指定的特定瞬时时刻需要样本 但仍然必须生成大量的数据 命令没有向量化的原因是 为了避免大量的矩阵带来的问题 在下面几节中我们 将会讨论通过控制变量和使用低差异序列来减小方差 function P CI AsianMC S0 K r T sigma NSamples NRepl Payoff zeros NRepl 1 for i 1 NRepl Path AssetPaths S0 r sigma T NSamples 1 Payoff i max 0 mean Path 2 NSamples 1 K end P aux CI normfit exp r T Payoff 图图8 158 15 亚式期权的蒙特卡洛模拟亚式期权的蒙特卡洛模拟 8 4 18 4 1 控制变量控制变量 利用控制变量基本形式蒙特卡洛抽象技术可能可以得到提高 在这种情况下 我们有几种不同的可能性 作为第一个控制变量 我们可以用资产价格的总和 12 这个控制变量是可行的 因为我们可以计算出它的期望值 同时Y跟期权的收益是 明显相关的 注意总和中包含 不是任意值 我们可以从总和中消除它 但为了减小下面的符号不能这样做 第二种情况是在理论价格已知的普通看跌期权中使用 尽管如此 这个控制变 量的期权收益仅仅依赖到期日的价格 更复制的情况 第三种控制变量是几何平 均期权的收益 同样其理论价格是已知的 并且比普通看跌期权看期权更合理 我们将阐述第一和第三个观点的应用 如 8 6 所示股票价格Y的总和的期望值 为 在风险中性条件下 其中我们使用了下面这个公式 function P CI AsianMCCV S0 K r T sigma NSamples NRepl NPilot pilot replications to set control parameter TryPath AssetPaths S0 r sigma T NSamples NPilot StockSum sum TryPath 2 PP mean TryPath 2 NSamples 1 2 TryPayoff exp r T max 0 PP K MatCov cov StockSum TryPayoff c MatCov 1 2 var StockSum dt T NSamples ExpSum S0 1 exp NSamples 1 r dt 1 exp r dt MC run ControlVars zeros NRepl 1 for i 1 NRepl StockPath AssetPaths S0 r sigma T NSamples 1 Payoff exp r T max 0 mean StockPath 2 NSamples 1 K ControlVars i Payoff c sum StockPath ExpSum end P aux CI normfit ControlVars 图图8 168 16 使用控制变量的蒙特卡洛模拟为亚式期权定价使用控制变量的蒙特卡洛模拟为亚式期权定价 图8 16 中的MATLAB代码可以实施方差减小技术 在执行时必须找到试点复制 的数量NPilot 在控制变量程序中NPilot用来设置控制参数 从下面的运行 中我们有了得以改善的方法 另一种控制变量需要更进一步的知识 离散时间几何平均亚式期权的收益是 因为对数正态随机变量的结果依然是对数正态分布 所以有可能找到为几何平均 期权定价的分析公式 这个分析公式看起来就像是修正Black Scholes公式 正如 在 6 pp 118 119 中我们公开了这个公式 其中m是我们最后一次观察到的标的资 的价格 q是连续股票收益率 是当前几何平均 其中 如果只考虑在初始时刻期权的价格那么这个公式就得到了大大的简化 即在 时刻t 0时 在这种情况下m 0 表8 17给出了MATLAB的执行结果 用几何平均期 权作为控制变量是非常简单的 我们必须改写图8 16中的代码从而得到图8 18中 的程序 这个图同时也包含了比较基本形式蒙特卡洛和两个控制变量的脚本 function P GeometricAsian S0 K r T sigma delta NSamples dT T NSamples nu r sigma 2 2 delta a log S0 nu dT 0 5 nu T dT b sigma 2 dT sigma 2 T dT 2 NSamples 1 6 NSamples x a log K b sqrt b P exp r T exp a b 2 normcdf x K normcdf x sqrt b 图图8 178 17 几何平均亚式期权的理论价格公式的几何平均亚式期权的理论价格公式的MATLABMATLAB命令命令 包含了更复杂知识的控制变量的优势是相当明显的 8 4 28 4 2 使用使用HaltonHalton序列序列 以低差异序列为基础的准蒙特卡洛模拟是我们用来提高定价水平的另一个工具 在这里我们将使用Halton序列来生成统一 半随机 数 并且利用逆变换的方法把 生产的 半随机 数从标准均匀分布转换为样本 因为我们可以使用Sobol或其他 序列 或许Box Mulle