湖北省长阳土家族自治县第一高级中学2012届高三5月适应性考试数学（理）试题

总分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本小题共一 选择题 本小题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 则使 M N N 成立的的值是 1 0 1 M 2 aaN a A 1 B 0 C 1 D 1 或 1 2 已知复数 1 1 z i 则z i 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 阅读右面的程序框图 则输出的S A 14 B 20 C 30 D 55 4 下列命题错误的是 A 对于命题 p 使得 则为 对均有Rx 01 2 xxP Rx 01 2 xx B 命题 若 的逆否命题为 若 x 1 则 2 3201xxx 则 2 320 xx C x 2 是 的充分不必要条件 2 320 xx D 若是假命题 则均为假命题QP QP 5 下列函数中既是偶函数 又是区间 1 0 上的减函数的是 A B xycos 1 xy C D x x y 2 2 ln xx eey 6 已知二项式展开式中 前三项的二项式系数和是 56 则展开式中 2 1 2 n xnN x 的常数项为 A 45 256 B 47 256 C 49 256 D 51 256 7 已知两点 1 0 1 3 ABO为坐标原点 点C在第二象限 且 120 AOC 设2 OCOAOB R 则等于 A 1 B C 1D 2 8 椭圆的焦点为和 过点的直线交椭圆于两点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 F 2 F 1 FlQP 则椭圆的离心率为 2 PFPQ 0 2 PFPQ A B C D 12 36 2 36 2 6 3 9 某个体企业的一个车间有 8 名工人 以往每人年薪为 1 万元 从今年起 计划每人的年 薪都比上一年增加 20 另外 每年新招 3 名工人 每名新工人的第一年的年薪为 8 千 元 第二年起与老工人的年薪相同 若以今年为第一年 如果将第 n 年企业付给工人的 工资总额 y 万元 表示成 n 的函数 则其表达式为 A y 3n 5 1 2n 2 4 B y 8 1 2n 2 4n C y 3n 8 1 2n 2 4 D y 3n 5 1 2n 1 2 4 10 给出定义 若 其中 m 为整数 则 m 叫做离实数 x 最近的整数 11 22 mxm 记作 x 即 x m 在此基础上给出下列关于函数的四个论断 f xxx 11 22 f 3 4 0 4f 的定义域为 R 值域是 一 11 44 ff yf x 1 2 1 2 则其中论断正确的序号是 A B C D 二 填空题 本小题共二 填空题 本小题共 6 6 小题 考生共需作答小题 考生共需作答 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 请请 将答案填在答题卡对应题号的位置上将答案填在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 一 必考题 11 14 题 11 函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于 1 23 xxxxf 2 1 2 xxg 12 某几何体的三视图如图所示 其正视图为矩形 侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 则这个几何体的体积为 13 已知点 P 的坐标 4 1 xy x yyx x 满足 过点 P 的直线 l 与圆相交于 A B 两点 则的最小值为 22 14C xy AB 14 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以表示甲罐中取出的球是红球 白球和黑 3 2 1 AAA 球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以表示由乙罐中取出的球是红球的事件 则下列结B 论中正确的是 只填写正确结论的编号 事件与事件相互独立 是两两互斥 5 2 BP 11 5 1 ABPB 1 A 3 2 1 AAA 事件 的值不能确定 因为它与中究竟哪一个发生有关 BP 3 2 1 AAA 二 选考题 请考生在第 15 16 两题中任选一题作答 15 如图 A B 是圆 O 上的两点 且 OA OB OA 2 C 为 OA 的中点 连接 BC 并延长交圆 O 于点 D 则 CD 第 15 题 图 16 已知直线 1 42 xt tR yt 与圆 2cos2 0 2 2sin x y 相交于 AB 则以 AB 为直径的圆的面积为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算解答应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 步骤 17 本小题满分 12 分 已知向量 记 2 31 444 xxx m sin n cos cos f x m n I 若 求的值 3 2 f 2 3 cos 在ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 且满足 若 试判断ABC 的形状 2coscosacBbC 13 2 f A 18 本小题满分 12 分 已知等差数列数列的前项和为 等比数列的各项均为 n an n S n b 正数 公比是 且满足 q 112222 3 1 12 abbSSb q 求与 n a n b 设 若是单调递增数列 求的取值范围 23 3 Rbc n a nn n c 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为 菱形 60BAD 为AD的中点 2PAPDAD Q I 点M在线段PC上 PMtPC 试确定t的值 使 PA平面MQB II 在 I 的条件下 若平面PAD 平面 ABCD 求二面角MBQC 的大小 20 本小题满分 12 分 某高校在 2011 年自主招生考试 成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩 按成绩分组 第 1 组 75 80 第 2 组 80 85 第 3 组 85 90 第 4 组 90 95 第 5 组 95 100 得到的频率分布直 方图如图所示 分别求第 3 4 5 组的频率 若该校决定在笔试成绩高的第 3 4 5 组中用 分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组 求学 生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试 设第4组中有X名学生被考 官D面试 求X的分布列和数学期望 21 本小题满分 13 分 如图 已知抛物线C pxy2 2 和 M 1 4 22 yx 过抛 物线C上一点 1 000 yyxH作两条直线与 M相切于A B两点 分别交抛物线为 E F两点 圆心M到抛物线准线的距离为 4 17 求抛物线C的方程 当AHB 的角平分线垂直x轴时 求直线EF的斜率 若直线AB在y轴上的截距为t 求t的最小值 22 本小题满分 14 分 已知函数 ln0 xa f xaxa x 求此函数的单调区间及最值 求证 对于任意正整数 n 均有 为自然对数的底数 111 1ln 23 n e nn e 当 a 1 时 是否存在过点 1 1 的直线与函数的图象相切 若存 yf x 在 有多少条 若不存在 说明理由 五月适应性考试答案 根据正弦定理知 2coscos 2sinsin cossincosacBbCACBBC 1 2sincossin sincos 23 ABBCABB 或 13 2 f A 113 sin 2622263 AA 2 3 或 3 A 而 所以 因此ABC 为等边三角形 12 分 2 0 3 A 3 A 18 由已知可得 消去得 解得或 2 2 2 312 3 qa aq 2 a 2 120qq 3q 舍 从而 4q 2 6 3ad 1 3 3n nn an b 由 1 知 3 3232 n a nn nn cb A 对任意的恒成立 即 恒成立 整理得 1nn cc nN 11 3232 nnnn AA 对任意的恒成立 即 对任意的恒成立 22 3 nn AA nN 3 2 2 n A nN 在区间上单调递增 3 2 2 x y A 1 min 3 23 2 y A 3 的取值范围为 3 19 解 1 当 1 3 t 时 PA 平面MQB 下面证明 若 PA 平面MQB 连AC交 BQ于N 由 AQBC 可得 ANQBNC 1 2 AQAN BCNC 分 PA 平面MQB PA 平面PAC 平面PAC 平面MQB MN PAMN 分 1 3 PMAN PCAC 即 1 3 PMPC 1 3 t 分 2 由 PA PD AD 2 Q 为 AD 的中点 则 PQ AD 分 又平面 PAD 平面 ABCD 所以 PQ 平面 ABCD 连 BD 四边形 ABCD 为菱形 AD AB BAD 60 ABD 为正三角形 Q 为 AD 中点 AD BQ 分 以 Q 为坐标原点 分别以 QA QB QP 所在的直线为 x y z 轴 建立如图所示的坐标系 则各点坐标为 A 1 0 0 B 0 3 0 Q 0 0 0 P 0 0 3 设平面 MQB 的法向量为 可得 00 00 n QBn QB PAMN n MNn PA zyxn 03 03 zx y 取 z 1 解得 3 0 1 n 10 分 取平面 ABCD 的法向量设所求二面角为 3 0 0 QP 则 故二面角M BQC 的大小为 2 1 cos nQP nQP 60 分 20 解 1 第三组的频率为 0 065 0 3 第四组的频率为 0 045 0 2 第五组的频率为 0 025 0 1 3 分 2 设 M 学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 6 1 28 3 30 1 145 C P M C 分 X012 P 5 2 15 8 15 1 12 分 812 2 15153 E X 21 点M到抛物线准线的距离为 2 4 p 4 17 2 1 p 即抛物线C的 方程为 xy 2 3 分 法一 当 AHB 的角平分线垂直x轴时 点 2 4 H HEHF kk 设 11 E x y 22 F xy 12 12 HH HH yyyy xxxx 12 2222 12 HH HH yyyy yyyy 12 24 H yyy 6 分 2121 22 212121 11 4 EF yyyy k xxyyyy 8 分 法二 当 AHB 的角平分线垂直x轴时 点 2 4 H 60 AHB 可得 3 HA k 3 HB k 直线HA的方程为 2343 xy 联立方程组 xy xy 2 2343 得 02343 2 yy 3 2 3 E y 3 63 E y 3 3413 E x 6 分 同理可得 3 63 F y 3 3413 F x 4 1 EF k 8 分 设点 2 1 H m m m 242 716HMmm 242 715HAmm 以H为圆心 HA为半径的圆方程为 22242 715xmymmm M方程 1 4 22 yx 得 直线AB的方程为 2242 24 4 2 714xmmym mmm 9 分 当 0 x 时 直线AB在 y 轴上的截距 15 4tm m 1 m t关于m的函数在 1 单调递增 11 min t 12 分 22 解 由题意 2 xa fx x 1 分 当 0 a 时 函数 xf 的定义域为 0 此时函数在 0 a 上是减函数 在 a 上是增函数 2 min lnfxf aa 无最大值 3 分 当 0 a 时 函数 xf 的定义域为 0 此时函数在 a 上是减函数 在 0 a 上是增函数 2 min lnfxf aa 无最大值 5 分 取 1