结构动力学复习重点整理笔记

1 1 结构动力分析的目的结构动力分析的目的 确定动力荷载作用下结构的内力和变形 并通过动力分析确定结构的动力特性 2 2 动力荷载的类型动力荷载的类型 是否随时间变化是否随时间变化 静荷载 动荷载 是否已预先确定是否已预先确定 确定性荷载 非随机 非确定性荷载 随机 随时间的变化规律随时间的变化规律 周期荷载 简谐荷载 非简谐周期荷载 非周期荷载 冲击荷载 一般任意荷载 3 3 结构动力计算的特点 与静力计算的差异 结构动力计算的特点 与静力计算的差异 1 动力反应要计算全部时间点上的一系列解 比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间 2 考虑惯性力的影响 是结构动力学和静力学的一个本质的 重要的区别 4 4 结构离散化方法结构离散化方法 实质 把无限自由度问题转化为有限自由度的过程 种类 集中质量法 广义坐标法 有限元法 5 5 有限元法有限元法与广义坐标法广义坐标法相似 有限元法采用了型函数的概念 但不同于广义坐标法在全部体系结构上插值 而是采用分片插值 因此型函数表达式形状可 相对简单 与集中质量集中质量法相比 有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量 具有直接 直观的优点 这与集中质量法相同 6 6 广义坐标广义坐标 能决定质点系几何位置的彼此独立的量 称为该体系广义坐标 选择原则选择原则 使解题方便 7 7 动力自由度动力自由度 结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中 决定全部质量位置所需的独立参数的数目 数目与结构体系约束情况有关 静力自由度静力自由度是使结构 体系静定所需要的独立约束数目 前者是由于系统的弹性变形而引起各质点的位移分量 后者指结构中的刚体由于约束不够而产生的刚体运动 8 8 有势力又称保守力有势力又称保守力 每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置 体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置 而与路径无 关 有势力 F 沿任何封闭路线所做的功为零 运动微分方程中 弹性反力是保守力 阻尼力与外荷载是非保守力 拉格朗日方程中广义力计算包括的主动力 外力和阻尼力 9 9 实位移实位移 满足约束方程且满足运动方程和初始条件的位移 可能位移可能位移 满足所有约束方程的位移 虚位移虚位移 在某一固定时刻 体系在约束许可的情况下 可能产生的任意组微小位移 三者的关系三者的关系 实位移是体系的真实位移 必为可能位移中的一员 虚位移与可能位移的区别在于虚位移是约束冻结后许可产生的微小位移 对于约束方程中 不显含时间的稳定约束体系中虚位移与可能位移相同时 实位移必与某一虚位移重合 10 10 广义力广义力 为对应于广义坐标 qj的广义力 性质 广义力是标量而非矢量 其与坐标的乘积具有与功相同的量纲 11 11 阻尼 力 阻尼 力 引起结构能量的耗散 使结构振幅逐渐变小的作用 阻尼使体系自振频率变小 自振周期延长 产生阻尼力的物理机制 1 固体材料变形时的内摩擦 或材料快速应变引起的热耗散 2 结构连接部位的摩擦 结构构件与非结构构件之间的摩擦 3 结构周围外部介质引起的阻尼 例如 空气 流体等 12 12 工程结构属于弹性体系还是非弹性体系工程结构属于弹性体系还是非弹性体系 一般主要由结构变形的大小决定 13 13 四种建立运动方程的方法的特点四种建立运动方程的方法的特点 D AlembertD Alembert 原理原理 是一种简单 直观的建立运动方程的方法 得到广泛的应用 D Alembert 原理建立了动平衡的概念 使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推 广到动力问题 当结构具有分布质量和弹性时 直接应用 D Alembert 原理 用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的 虚位移原理虚位移原理 部分避免了矢量运算 在获得体系虚功后 可以采用标量运算建立体系的运动方程 简化了运算 HamiltonHamilton 原理原理 是一种建立运动方程的能量方法 积分形式的变分原理 如果不考虑非保守力作的功 主要是阻尼力 它是完全的标量运算 但实际上 直接采用 Hamilton 原理建立运动方程并不多 Hamilton 原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题 LagrangeLagrange 方程方程 得到更多的应用 它和 Hamilton 原理一样 除非保守力 阻尼力 外 是一个完全的标量分析方法 不必直接分析惯性力和保守力 主要 是弹性恢复力 而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象 14 14 进行结构动力分析计算时 重力的影响如何考虑 这样处理的前提条件是什么 进行结构动力分析计算时 重力的影响如何考虑 这样处理的前提条件是什么 如果重力在动荷载作用前被弹簧预先平衡 则在研究结构的动力反应时可以完全不考虑重力的影响 建立体系的运动方程 直接解出体系的动力解 若未被 预先平衡 则需考虑重力的影响 应用叠加原理将动静问题分开计算 将结果相加即得到结构的真实反应 这样做的前提条件是结构是线弹性的且处于小变 形范围之内 重力问题的分析和动力问题的分析可以分别讨论 在研究结构的动力反应时 可以完全不考虑重力的影响 建立体系的运动方程 直接求解动 力荷载作用下的运动方程即可得到结构体系的动力解 当考虑重力影响时 结构的总位移等于静力解加动力解 即叠加原理成立 15 15 临界阻尼临界阻尼 体系自由振动反应中不出现往复振动所需要的最小阻尼值 阻尼比阻尼比 阻尼系数和临界阻尼的比值 1616 振幅振幅的物理意义 体系运动速度为 0 弹性恢复力最大 曲线达到的最大值 相位角相位角的物理意义 结构体系位移相应于动力荷载的反应滞后时间 相角相角 反应体系振动位移与简谐荷载的相位关系 17 Duhamel17 Duhamel 积分积分的物理意义 给出了计算线性单自由度体系在任意荷载作用下的动力反应的一般解 一般适用于线弹性体系 此法将外荷载离散成一系列 脉冲荷载 18 18 结构地震反应分析的反应谱法的基本原理结构地震反应分析的反应谱法的基本原理是 对于一个给定的地震动ug 结构的地震反应仅与结构的阻尼比和自振频率有关 当阻尼比给定时 结构对 任一地震的最大相对位移反应和最大绝对加速度反应仅由结构本身的自振周期决定 给出了在一地震作用下不同周期结构地震反应的最大值 每一个反应谱 图形针对的是有一个固定阻尼比的体系 多个具有不同阻尼比的这类图形联合起来就能覆盖实际结构中遇到的阻尼值范围 为结构设计提供依据 19 19 自振频率自振频率和振型振型的物理意义 反应结构动力特性的主要量 从时间和空间两个不同的角度刻画其运动 前者描述振动反映的时域特性 即振动循环的快慢 后者描述振动反映的空间特性 即振动的空间模式 振型振型指结构按某一阶自振频率振动时 结构各自由度变化的比例关系 20 20 机构体系中是否存在耦联机构体系中是否存在耦联取决于 表示运动坐标 广义坐标 的选择方法 与体系本身的特性无关 21 21 正则坐标正则坐标 既无动力耦联 又无静力耦联的坐标 叫正则坐标 22 22 静力凝聚的目的静力凝聚的目的 消去某些惯性效应不大的动力自由度 通常是某些转动自由度 使动力问题的总的自由度数目减少 23 23 振型标准化振型标准化的方法 1 特定坐标的归一化方法 2 最大位移值的归一化方法 3 正交归一化 24 24 振型的正交性振型的正交性是指在多自由度体系及无限自由度体系中 任意两个不同频率的振型之间存在下述关系 第一正交关系 振型关于质量阵的带权正交性 第二正交关系 振型关于刚度阵的带权正交性 成立条件 M K 是对称正定的实矩阵 一般阻尼阵不满足正交性 可采用瑞利阻尼 C a0 M a1 K 或复模态分析法处理阻尼 牛顿第二定律矢量方法 物理概念明确 D Alembert 原理矢量方法 直观 建立了动平衡概念 虚位移原理半矢量法 可处理复杂分布质量和弹性问题 Hamilton 原理标量方法 表达简洁 Lagrange 方程标量方法 运用面广 25 25 振型叠加法的理论基础振型叠加法的理论基础 振型的正交性和 Fourier 级数的正交性 原则上仅适于线弹性问题 若不适用则采用逐步积分法计算体系响应 振型叠加法的基本思想是把几何位移坐标变换为用振型幅值表示的广义坐标或正规坐标 将多自由度体系问题分解成一系列单自由度问题 使结构振动反应 可以用不同的振型叠加得到 利用正交性和正规坐标 将质量与刚度矩阵有非对角项耦合的 N 个联立运动微分方程转换成为 N 个独立的正规坐标方程 解耦 分别求解每一个正规坐标的反应 然后根据叠加 V Y 即可得出用原始坐标表示的反应 2626 RayleighRayleigh 阻尼的构造方法阻尼的构造方法 数学表达式 并描述两个经验系数的一般确定方法 Rayleigh 阻尼假设结构的阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的组合 01 CaMa K 第 n 阶振型的阻尼系数 振兴刚度 振型质量 T n nn CM T n nn KK 01nnn Ca Ma K 对于任意两个振型阻尼比 已知 代入上式得到 2 01 2 22 n nnnnn n aa M n 阻尼比相等时 0 22 1 2 11 ji iij j ji ji a a 0 1 2 1 ij ij a a 27 27 数值分析方法的优点数值分析方法的优点 无须引入任何基本假定对问题进行简化 直接对描述问题的方程和定解条件进行离散处理 可以求得最接近问题本来面目的解答 可求解任意荷载形式作用 下结构的动力反应 可求解大变形和弹塑性动力问题 可进行数值试验 任意改变结构体系的几何条件 物理条件和边界条件 选取任意的荷载作用形式 研究结构体系在不同条件下动力反应的特点 研究各 种影响因素对结构体系动力反应的作用规律 追求的目标追求的目标 在保证计算精度和稳定性的前提下 尽可能提高计算效率 28 28 时域逐步积分法的特点时域逐步积分法的特点 按照一定的步长将时间域划分为一系列离散的时间点 只求解上述离散时间点上的动力反应 与运动变量的离散化相对应 结构体系的运动方程不一定要求 在整个时间域上都满足 而仅要求在离散的时间点上满足 只假设结构的本构关系在一个微小的时间步距内是线性的 相当于用分段直线来逼近实际的本构关系曲线 需要假设离散的时间点之间运动量 位移 速度和加速度 的变化模式 29 29 时域逐步积分法优劣性的判别时域逐步积分法优劣性的判别 收敛性收敛性 当离散时间步长趋近于零时 数值解是否收敛于精确解 是判别一种时域逐步积分算法是否正确的基本准则 计算精度计算精度 算法产生的截断误差和时间步长的关系 误差越小 精度越高 如果某种算法的截断误差和时间步长的 N 次方成正比 则称该算法具有 N 阶精度 计算稳定性计算稳定性 随着计算的进行 随着计算步数的增加 数值解是否变得无穷大 即远离精确解 如果在一种算法的整个计算过程中 数值结果始终保持在 一个合理的范围内 则认为这种算法具有稳定性 如果从计算过程的某个时刻开始 数值结果不断变大 直到趋于无穷大 则称此种算法失去了稳定性 或 产生了失稳现象 计算效率计算效率 算法的执行过程对计算机内存资源的占用和所消耗的计算时间 3030 时域逐步积分法的分类 评价 适用条件 时域逐步积分法的分类 评价 适用条件 按照计算过程是否需要求解耦联方程组 可以将时域逐步积分算法分为如下两大类 无条件稳定 隐式方法隐式方法 运动变量的表达式不是直接明了的递推计算公式 而是耦联的方程组 需要联立求解 计算工作量大 与自由度数目的平方成正 比 适于自由度少的体系 有条件稳定 显式方法显式方法 运动变量的表达式是直接明了的递推计算公式 或解耦 不耦联 的方程组 无需联立求解 整个计算过程可以通过迭代的方式 完成 计算工作量小 与自由度数目成线性关系 适于自由度多的体系 隐式算法与显式算法的比较和评判隐式算法与显式算法的比较和评判 对于自由度数目较少的动力问题 计算的稳定性是主要矛盾 显式方法在计算效率上的优势无法得到充分体现 而隐式方法在稳定性上的优势可以充分发挥 因此在这种条件下隐式方法优于显式方法 对于自由度数目庞大的动力问题 例如高拱坝系统的动力反应分析 计算效率上升为主要矛盾 显式方法在计算效率上的优势可以充分发挥 因此在这种条 件下显式方法优于隐式方法 稳定性计算效率 隐式算法无条件稳定计算过程需求解耦联的方程组 计算效率低 显示算法条件稳定计算过程无需求解耦联的方程组 计算效率高 时域逐步积分法既可用于单自由度体系 也可用于多自由度体系的动力反应 3131 好的数值计算结果取决于哪些影响因素好的数值计算结果取决于哪些影响因素 32 32 连续体动力模型离散化的基础连续体动力模型离散化的基础 高阶振型对结构动力反映的影响较小 1 在特定的荷载作用下高阶振型不易激发 2 阻尼的影响 阻尼可以使高频率振动分量更快地衰减 33 33 集中质量法集中质量法 通过把分布质量向有限点集中的直观手段 将连续体化为多自由度体系的方法 实施原则 把那些惯性相对大而弹性极微弱的构件看作是集中质量 而把那些惯性相对小而弹性极为显著的构件看做是无质量的弹簧 34 34 结构力学分析模型有哪几种结构力学分析模型有哪几种 每种模型相应的动力自由度的数目 平面剪切模型 3 平面弯剪型模型 6 平面杆系模型 空间平扭模型 35 35 单元质量矩阵主要有哪两种形式单元质量矩阵主要有哪两种形式 各自的优点 集中质量矩阵集中质量矩阵 给出的自振频率低于精确解 从下限收敛于精确解 和一致质量矩阵一致质量矩阵 给出的自振频率高于实际值 从上限收敛于精确解 集中质量法的最主要优点 节省计算量和计算时间 集中质量法中与转动自由度相应的转动惯量等于零 因此在动力分析中 转动自由度可以通过前面介绍的静力凝聚法消去 使结构体系的动力自由度降低一 半 而一致质量法中所有的转动自由度都属于动力自由度 一致质量法的主要优点 在采用同样的单元数目时 一致质量