中考完美编辑版

page 1 of 18 教学准备教学准备 一 教学目标 1 掌握圆的有关概念和计算 知道圆由圆心与半径确定 了解圆的对称性 通过图形直观识别圆的弦 弧 圆心角等基本元素 利用圆的对称性探索弧 弦 圆心角之间的关系 并会进行简单计算和说理 探索并了解圆周角与圆心角的关系 直径所对圆周角的特征 掌握垂径定理及其推论 并能进行计算和说理 了解三角形外心 三角形外接圆和圆内接三角形的概念 掌握圆内接四边形的性质 2 点与圆的位置关系 能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系 知道 不在同一直线上的三个点确定一个圆 并会作图 3 直线与圆的位置关系 能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系 了解切线的概念 能运用切线的性质进行简单计算和说理 掌握切线的识别方法 了解三角形内心 三角形内切圆和圆的外切三角形的概念 能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算 4 圆与圆的位置关系 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系 能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系 掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算 5 圆中的计算问题 掌握弧长的计算公式 由弧长 半径 圆心角中已知两个量求第三个量 掌握求扇形面积的两个计算公式 并灵活运用 了解圆锥的高 母线等概念 结合生活中的实例 模型 了解圆柱 圆锥的侧面展开图 会求圆柱 圆锥的侧面积 全面积 并能结合实际问题加以应用 能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积 二 教学难点与重点 与圆的性质有关的计算 开放题以及与圆和多边形结合的探索题是本单元的重点也是难点 三 知识要点 知识点知识点 1 知识点之间的关系 知识点之间的关系 中考复习之专题十中考复习之专题十 圆圆 page 2 of 18 圆 切线长 切线 圆与圆的位置关系 圆的切线 直线与圆的 位置关系 点与圆的位置关系 垂径定理及其推论 圆周角 同弧上圆周角的关系 弧 弦与圆心角 与圆有关的 位置关系 圆的基本性质 圆的对称性 两圆公切线 与圆有关的计算 弧长和扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积 知识点知识点 2 圆的有关性质和计算 圆的有关性质和计算 弧 弦 圆心角之间的关系 在同圆或等圆中 如果两条劣弧 优弧 两个圆心角中有一组量对应相等 那么它们所对应的其余各组 量也分别对应相等 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半 圆内接四边形的性质 圆的内接四边形对角互补 并且任何一个外角等于它的内对角 知识点知识点 3 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 设点与圆心的距离为 圆的半径为 dr 则点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr dr dr 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆 一个三角形有且只有一个外接圆 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 知识点知识点 4 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 设圆心到直线 的距离为 圆的半径为 ldr 则直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 dr dr dr 切线的性质 与圆只有一个公共点 圆心到切线的距离等于半径 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的识别 如果一条直线与圆只有一个公共点 那么这条直线是圆的切线 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等 page 3 of 18 切线长 圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 知识点知识点 5 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种 外离 外切 相交 内切 内含 设两圆心的距离为 两圆的半径为 则两圆外离d 12 rr 12 drr 两圆外切 12 drr 两圆相交 1212 rrdrr 两圆内切 12 drr 两圆内含 12 drr 两个圆构成轴对称图形 连心线 经过两圆圆心的直线 是对称轴 由对称性知 两圆相切 连心线经过切点 两圆相交 连心线垂直平分公共弦 两圆公切线的定义 和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线 两个圆在公切线同旁时 这样的公切线叫做外公切线 两个圆在公切线两旁时 这样的公切线叫做内公切线 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 知识点知识点 6 与圆有关的计算 与圆有关的计算 弧长公式 扇形面积公式 180 n r l 2 1 3602 n r Slr 扇形 其中为圆心角的度数 为半径 nr 圆柱的侧面展开图是矩形 圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体 圆柱的侧面积 底面周长 高 圆柱的全面积 侧面积 2 底面积 圆锥的侧面展开图是扇形 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 扇形的半径等于圆锥的母线长 圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体 圆锥的侧面积 底面周长 母线 圆锥的全面积 侧面积 底面积 1 2 例题精讲例题精讲 例 1 ABC 中 AC 6 BC 8 C 90 以点 C 为圆心 CA 为半径的圆与 AB 交于点 D 求 AD 的 长 分析分析 圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解 所以作 CH AB 这只要求出 AH 的长就能得出 AD 的长 解解 作 CH AB 垂足为 H page 4 of 18 C 90 AC 6 BC 8 AB 10 C 90 CH AB ABAHAC 2 又 AC 6 AB 10 AH 3 6 CH AB AD 2AH AD 7 2 答 AD 的长为 7 2 说明说明 解决与弦有关的问题 往往需要构造垂径定理的基本图形 由半径 弦心距 弦的一半构成 的直角三角形 它是解决此类问题的关键 定理的应用必须与所对应的基本图形相结合 同学们在复习时要 特别注重基本图形的掌握 例 2 1 如图 ABC 内接于 O AB 为直径 CAE B 试说明 AE 与 O 相切于点 A 2 在 1 中 若 AB 为非直径的弦 CAE B AE 还与 O 相切于点 A 吗 请说明理由 分析分析 第 1 小题中 因为 AB 为直径 只要再说明 BAE 为直角即可 第 2 小题中 AB 为非直 径的弦 但可以转化为第 1 小题的情形 解解 1 AB 是 O 的直径 C 90 BAC B 90 又 CAE B BAC CAE 90 即 BAE 90 AE 与 O 相切于点 A 2 连结 AO 并延长交 O 于 D 连结 CD AD 是 O 的直径 ACD 90 D CAD 90 又 D B B CAD 90 又 CAE B CAE CAD 90 即 EAD 90 AE 仍然与 O 相切于点 A 说明说明 本题主要考查切线的识别方法 渗透了 由特殊到一般 的数学思想方法 这对于学生的探索 能力的培养非常重要 例 3 如图 已知 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E 连结 AD BD OC OD 且 OD 5 1 若 求 CD 的长 sin BAD 3 5 2 若 ADO EDO 4 1 求扇形 OAC 阴影部分 的面积 结果保留 分析分析 图形中有 直径对直角 这样就出现了 直角三角形及斜边上的高 的基本图形 求 CD 的 长就转化为求 DE 的长 第 2 小题求扇形 OAC 的面积其关键是求 AOD 的度数 从而转化为求 AOD 的 大小 page 5 of 18 解解 1 AB 是 O 的直径 OD 5 ADB 90 AB 10 又 在 Rt ABD 中 3 sin 5 BD BAD AB BD 6 ADB 90 AB CD BD2 BE AB AB 10 BD 6 BE 18 5 在 Rt EBD 中 由勾股定理得DE 24 5 CDDE 2 48 5 答 CD 的长为 48 5 2 AB 是 O 的直径 AB CD CBBDACAD BAD CDB AOC AOD AO DO BAD ADO CDB ADO 设 ADO 4k 则 CDB 4k ADO EDO EDB 90 得 k 10 4490kkk AOD 180 OAD ADO 100 AOC AOD 100 则S OAC扇形 100 360 5 125 18 2 答 扇形 OAC 的面积为 125 18 说明说明 本题涉及到了圆中的重要定理 直角三角形的边角关系 扇形面积公式等知识点的综合 考查 了学生对基本图形 基本定理的掌握程度 求 DE 长的方法很多 可以用射影定理 勾股定理 也可以运用 面积关系来求 但都离不开 直角三角形及斜边上的高 这个基本图形 解题中也运用了比例问题中的设 k 法 同时也渗透了 转化 的思想方法 例 4 半径为 2 5 的 O 中 直径 AB 的不同侧有定点 C 和动点 P 已知 BC CA 4 3 点 P 在半圆 AB 上运动 不与 A B 两点重合 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长线交于点 Q 1 当点 P 与点 C 关于 AB 对称时 求 CQ 的长 2 当点 P 运动到半圆 AB 的中点时 求 CQ 的长 3 当点 P 运动到什么位置时 CQ 取到最大值 求此时 CQ 的长 page 6 of 18 分析分析 当点 P 与点 C 关于 AB 对称时 CP 被直径垂直平分 由垂径定理求出 CP 的长 再由 Rt ACB Rt PCQ 可求得 CQ 的长 当点 P 在半圆 AB 上运动时 虽然 P Q 点的位置在变 但 PCQ 始终 与 ACB 相似 点 P 运动到半圆 AB 的中点时 PCB 45 作 BE PC 于点 E CP PE EC 由于 CP 与 CQ 的比值不变 所以 CP 取得最大值时 CQ 也最大 解解 1 当点 P 与点 C 关于 AB 对称时 CP AB 设垂足为 D AB 为 O 的直径 ACB 90 AB 5 AC CA 4 3 BC 4 AC 3 SRt ACB AC BC AB CD 1 2 1 2 1224 55 CDPC 在 Rt ACB 和 Rt PCQ 中 ACB PCQ 90 CAB CPQ Rt ACB Rt PCQ ACBC PCCQ 5 32 3 4 PC AC PCBC CQ 2 当点 P 运动到弧 AB 的中点时 过点 B 作 BE PC 于点 E 如图 P 是弧 AB 的中点 又 CPB CAB CPB tan CAB 4 3 33 2 tan42 BE PEBE CPB 从而 7 2 2 PCPEEC 由 1 得 414 2 33 CQPC page 7 of 18 3 点 P 在弧 AB 上运动时 恒有PC AC PCBC CQ 3 4 故 PC 最大时 CQ 取到最大值 当 PC 过圆心 O 即 PC 取最大值 5 时 CQ 最大值为 20 3 说明说明 本题从点 P 在半圆 AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求 CQ 的最大值 一方面渗透 了 由特殊到一般 的思想方法 另一方面运用 运动变化 的观点解决问题时 寻求变化中的不变性 题 中的 Rt ACB Rt PCQ 往往是解题的关键 例 5 如图 PA PB 是 O 的切线 A B 为切点 OAB 30 1 求 APB 的度数 2 当 OA 3 时 求 AP 的长 点评 本题用到的知识点较多 主要知识点有 圆的切线的性质 等腰三角形的性质 四边形 内角和定理 垂径定理 锐角三角函数等 解解 1 在 ABO 中 OA OB OAB 30 AOB 180 2 30 120 PA PB 是 O 的切线 OA PA OB PB 即 OAP OBP 90 AOB APB 180 APB 60 2 如图 作 OD AB 交 AB 于点 D 在 OAB 中 OA OB AD AB 1 2 在 Rt AOD 中 OA 3 OAD 30 AD OA cos30 AP AB 3 3 3 2 3 例 6 如图 这是一个由圆柱体材料加工而成的零件 它是以圆柱体的上底面为底面 在其内部 掏取 一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的 其底面直径 AB 12cm 高 BC 8cm 求这个零件的表面积 结果保 留根号 解解 这个零件的底面积 2 36cm2 12 2 page 8 of 18 这个零件的外侧面积 12 8 96cm2 圆锥母线长 OC 10cm 22 12 8 2 这个零件的内侧面积 12 10 60cm2 1 2 这个零件的表面积为 36 96 60 192cm2 例 7 如图 O 是圆柱形木块底面的圆心 过底面的一条弦 AD 沿母线 AB 剖开 得剖面矩形 ABCD AD 24cm AB 25cm 若 AmD 的长为底面周长的 如图所示 2 3 1 求 O 的半径 2 求这个圆柱形木块的表面积 结果可保留根号 解解 1 连结 OA OD 作 OE AD 于 E 易知 AOD 120 AE 12cm 可得 AO r 8cm sin60 AE 3 2 圆柱形木块的表面积 2S圆 S圆柱侧 384 400 cm2 3 例 8 在图 1 和图 2 中 已知 OA OB AB 24 O 的直径为 10 1 如图 1 AB 与 O 相切于点 C 试求 OA 的值 2 如图 2 若 AB 与 O 相交于 D E 两点 且 D E 均为 AB 的三等分点 试求 tanA 的值 1 解解 连结 OC AB 与 O 相切于 C 点 OCA 90 OA OB AC BC 12 在 Rt ACO 中 OA 13 2222 125ACOC 2 作 OF AB 于点 F 连结 OD DF EF AF AD DF 8 4 12 在 Rt ODF 中 OF 3 2222 54ODDF 在 Rt AOF 中 tanA 31 124 OF AF page 9 of 18 例 9 如图 在 ABC 中 C 90 以 BC 上一点 O 为圆心 以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M 交 BC 于点 N 1 求证 BA BM BC BN 2 如果 CM 是 O 的切线 N 为 OC 的中点 当 AC 3 时 求 AB 的值 1 证明证明 连接 MN 则 BMN 90 ACB ACB NMB AB BM BC BN BCAB BMBN 2 解解 连接 OM 则 OMC 90 N 为 OC 中点 MN ON OM MON 60 OM OB B MON 30 1 2 ACB 90 AB 2AC 2 3 6 例 10 已知 如图 ABC 内接于 O 点 D 在 OC 的延长线上 sinB CAD 30 1 2 1 求证 AD 是 O 的切线 2 若 OD AB BC 5 求 AD 的长 1 证明证明 如图 连结 OA 因为 sinB 1 2 所以 B 30 故 O 60 又 OA OC 所以 ACO 是等边三角形 故 OAC 60 因为 CAD 30 所以 OAD 90 所以 AD 是 O 的切线 page 10 of 18 2 解解 因为 OD AB 所以 OC 垂直平分 AB 则 AC BC 5 所以 OA 5 在 OAD 中 OAD 90 由正切定义 有 tan AOD 所以 AD 5 AD OA 3 课后练习课后练习 一 填空题 1 已知扇形的圆心角为 120 半径为 2cm 则扇形的弧长是 cm 扇形的面积是 cm2 2 如图 两个同心圆中 大圆的半径 OA 4cm AOB BOC 60 则图中阴影部分的面积是 cm2 3 圆锥的底面半径为 6cm 高为 8cm 那么这个圆锥的侧面积是 cm2 4 如图 O 的半径为 4cm 直线l OA 垂足为 O 则直线l沿射线 OA 方向平移 cm 时与 O 相切 5 两圆有多种位置关系 图中不存在的位置关系是 6 如图 从一块直径为 a b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆 则剩下的纸板面积是 7 如图 AB 为半圆 O 的直径 CB 是半圆 O 的切线 B 是切点 AC 交半圆 O 于点 D 已知 CD 1 AD 3 那么 cos CAB page 11 of 18 8 如图 BC 为半 O 的直径 点 D 是半圆上一点 过点 D 作 O 的切线 AD BA DA 于 A BA 交半 圆于 E 已知 BC 10 AD 4 那么直线 CE 与以点 O 为圆心 为半径的圆的位置关系是 5 2 二 选择题 1 在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片 使之恰好能围成一个圆锥模型 若圆的半径为 r 扇形的半径 为 R 扇形的圆心角等于 120 则 r 与 R 之间的关系是 A R 2r B R r C R 3r D R 4r 2 圆锥的底面半径为 3cm 母线长为 5cm 则它的侧面积是 A 60cm2 B 45cm2 C 30cm2 D 15cm2 3 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 90 则该圆锥的底面半径与母线长的比为 A 1 2 B 2 1 C 1 4 D 4 1 4 将直径为 64cm 的圆形铁皮 做成四个相同圆锥容器的侧面 不浪费材料 不计接缝处的材料损耗 那 么每个圆锥容器的高为 A 8cm B 8cm C 16cm D 16cm15173 5 如图 圆心角都是 90 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起 OA 3 OC 1 分别连结 AC BC 则 圆中阴影部分的面积为 A B C 2 D 4 1 2 6 如图 将圆桶中的水倒入一个直径为 40cm 高为 55cm 的圆口容器中 圆桶放置的角度与水平线的夹 角为 45 若使容器中的水面与圆桶相接触 则容器中水的深度至少应为 A 10cm B 20cm C 30cm D 35cm page 12 of 18 7 生活处处皆学问 如图 眼镜镜片所在的两圆的位置关系是 A 外离 B 外切 C 内含 D 内切 8 O 的半径为 4 圆心 O 到直线 L 的距离为 3 则直线 L 与 O 的位置关系是 A 相交 B 相切 C 相离 D 无法确定 9 如图 已知 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 35 过点 C 的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P 那么 P 等于 A 15 B 20 C 25 D 30 10 已知圆 A 和圆 B 相切 两圆的圆心距为 8cm 圆 A 的半径为 3cm 则圆 B 的半径是 A 5cm B 11cm C 3cm D 5cm 或 11cm 11 如图 PB 为 O 的切线 B 为切点 连结 PO 交 O 于点 A PA 2 PO 5 则 PB 的长度为 A 4 B C 2 D 41063 12 如图 AB 与 O 切于点 B AO 6cm AB 4cm 则 O 的半径为 A 4cm B 2cm C 2cm D m551313 三 解答题 1 如图 已知正三角形 ABC 的边长为 2a 1 求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积 2 根据计算结果 要求圆环的面积 只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积 3 将条件中的 正三角形 改为 正方形 正六边形 你能得出怎样的结论 4 已知正 n 边形的边长为 2a 请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积 page 13 of 18 2 如图 已知 O 为原点 点 A 的坐标为 4 3 A 的半径为 2 过 A 作直线 平行于轴 点 P 在直线lx 上运动 l 1 当点 P 在 A 上时 请你直接写出它的坐标 2 设点 P 的横坐标为 12 试判断直线 OP 与 A 的位置关系 并说明理由 3 如图 1 已知中 过点作 且 连接交RtABC 30CAB 5BC AAEAB 15AE BE 于点 ACP 1 求的长 PA 2 以点为圆心 为半径作 A 试判断与 A 是否相切 并说明理由 AAPBE 3 如图 2 过点作 垂足为 以点为圆心 为半径作 A 以点为圆心 为CCDAE DArCR 半径作 C 若和的大小是可变化的 并且在变化过程中保持 A 和 C 相切 且使点在 A 的内部 rRD 点在 A 的外部 求和的变化范围 BrR 4 已知 AB 为 O 的直径 P 为 AB 弧的中点 1 若 O 与 O 外切于点 P 见图甲 AP BP 的延长线分别交 O 于点 C D 连接 CD 则 PCD 是 三角形 2 若 O 与 O 相交于点 P Q 见图乙 连接 AQ BQ 并延长分别交 O 于点 E F 请选择下 列两个问题中的一个作答 问题一 判断 PEF 的形状 并证明你的结论 问题二 判断线段 A