中考数学动点问题复习

1 中考数学复习 一 动点型问题中考数学复习 一 动点型问题 一 中考专题诠释一 中考专题诠释 所谓 动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 它们在线段 射线或弧线上运动的一类开放性题目 解决 这类问题的关键是动中求静 灵活运用有关数学知识解决问题 动点型问题 题型繁多 题意创新 考察学生的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观念 应用意识 推理能力等 是近几年中考题的热点和难点 二 解题策略和解法精讲二 解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是 动中求静动中求静 从变换的角度和运动变化来研究三角形 四边形 函数图像等图形 通过 对称 动点的运动 等研究手段和方法 来探索与发现图形性质及图形变化 在解题过程中渗透空间观念和合情推理 在动点的运动过程中观察图形的变化情况 理解图形在不同位置的情况 做好计算推理的过程 在变化中找到不变的性质是解决数学在变化中找到不变的性质是解决数学 动点动点 探究题的基本思路探究题的基本思路 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质 三 中考考点精讲三 中考考点精讲 考点一 建立动点问题的函数解析式 或函数图像 考点一 建立动点问题的函数解析式 或函数图像 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 是初中数学的重要内容 动点问题反映的是一种函数思想 由于 某一个点或某图形的有条件地运动变化 引起未知量与已知量间的一种变化关系 这种变化关系就是动点问题中的函数关 系 例例 1 1 如图 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 运动至点 B 后 立即按原路返回 点 P 在运动过程中速度不变 则以点 B 为 圆心 线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的函数图象大致为 A B C D 对应训练对应训练 1 如图 O 的圆心在定角 0 180 的角平分线上运动 且 O 与 的两边相切 图中阴影部分的面 积 S 关于 O 的半径 r r 0 变化的函数图象大致是 A B C D 考点二 动态几何型题目考点二 动态几何型题目 一 点动问题 一 点动问题 例例 2 2 如图 梯形 ABCD 中 AB DC DE AB CF AB 且 AE EF FB 5 DE 12 动点 P 从点 A 出发 沿折线 AD DC CB 以 每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止 设运动时间为 t 秒 y S EPF 则 y 与 t 的函数图象大致是 A B C D 对应训练对应训练 2 2 如图 点 P 是以 O 为圆心 AB 为直径的半圆上的动点 AB 2 设弦 AP 的长为 x APO 的面积为 y 则下列图象中 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 A B C D 二 线动问题 二 线动问题 例例 3 3 如右图所示 已知等腰梯形 ABCD AD BC 若动直线 l 垂直于 BC 且向右平移 设扫过的阴影部分的面积为 S BP 为 x 则 S 关于 x 的函数图象大致是 A B C D 对应训练对应训练 3 如图所示 在矩形 ABCD 中 垂直于对角线 BD 的直线 l 从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到 D 设直线 l 被矩形所 截线段 EF 的长度为 y 运动时间为 t 则 y 关于 t 的函数的大致图象是 A B C D 三 面动问题 三 面动问题 例例 4 4 如图所示 边长分别为 1 和 2 的两个正方形 其中一边在同一水平线上 小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过 大正方形 设穿过的时间为 t 大正方形内去掉小正方形后的面积为 s 那么 s 与 t 的大致图象应为 A B C D 对应训练对应训练 4 如图所示 半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上 圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形 设穿过时 间为 t 正方形除去圆部分的面积为 S 阴影部分 则 S 与 t 的大致图象为 A B C D 考点三 动点综合题考点三 动点综合题 3 动态问题是近几年来中考数学的热点题型 解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题 挖掘运动 变化的 全过程 并特别关注运动与变化中的不变量 不变关系或特殊关系 动中取静 静中求动 一 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例例 1 1 如图 1 在 Rt ABC中 A 90 AB 6 AC 8 点D为边BC的中点 DE BC交边AC于点E 点P为射线AB 上的一动点 点Q为边AC上的一动点 且 PDQ 90 1 求ED EC的长 2 若BP 2 求CQ的长 3 记线段PQ与线段DE的交点为F 若 PDF为等腰三角形 求BP的长 图 1 备用图 例例 2 2 如图 1 抛物线y ax2 bx c经过A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 直线l是抛物线的对称轴 1 求抛物线的函数关系式 2 设点P是直线l上的一个动点 当 PAC的周长最小时 求点P的坐标 3 在直线l上是否存在点M 使 MAC为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合条件的点M的坐标 若不存在 请说明理由 图 1 例例 3 3 如图 1 点A在x轴上 OA 4 将线段OA绕点O顺时针旋转 120 至OB的位置 4 1 求点B的坐标 2 求经过A O B的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点P 使得以点P O B为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 求点P的 坐标 若不存在 请说明理由 图 1 例例 4 4 如图 1 已知一次函数y x 7 与正比例函数 的图象交于点A 且与x轴交于点B 4 3 yx 1 求点A和点B的坐标 2 过点A作AC y轴于点C 过点B作直线l y轴 动点P从点O出发 以每秒 1 个单位长的速度 沿O C A的路线向点A运动 同时直线l从点B出发 以相同速度向左平移 在平移过程中 直线l交x轴于点R 交线段BA 或线段AO于点Q 当点P到达点A时 点P和直线l都停止运动 在运动过程中 设动点P运动的时间为t秒 当t为何值时 以A P R为顶点的三角形的面积为 8 是否存在以A P Q为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 求t的值 若不存在 请说明理由 图 1 5 例例 5 5 如图 1 在矩形ABCD中 AB m m是大于 0 的常数 BC 8 E为线段BC上的动点 不与B C重合 连结 DE 作EF DE EF与射线BA交于点F 设CE x BF y 1 求y关于x的函数关系式 2 若m 8 求x为何值时 y的值最大 最大值是多少 3 若 要使 DEF为等腰三角形 m的值应为多少 12 y m 图 1 例例 6 6 如图 1 在等腰梯形ABCD中 AD BC E是AB的中点 过点E作EF BC交CD于点 F AB 4 BC 6 B 60 1 求点E到BC的距离 2 点P为线段EF上的一个动点 过点P作PM EF交BC于M 过M作MN AB交折线ADC于N 连结PN 设 EP x 当点N在线段AD上时 如图 2 PMN的形状是否发生改变 若不变 求出 PMN的周长 若改变 请说明理 由 当点N在线段DC上时 如图 3 是否存在点P 使 PMN为等腰三角形 若存在 请求出所有满足条件的x的 值 若不存在 请说明理由 图 1 图 2 图 3 6 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例例 1 1 如图 1 抛物线与x轴交于A B两点 点B在点A的右侧 与y轴交于点C 连结BC 以BC 2 13 4 42 yxx 为一边 点O为对称中心作菱形BDEC 点P是x轴上的一个动点 设点P的坐标为 m 0 过点P作x轴的垂线l交抛 物线于点Q 1 求点A B C的坐标 2 当点P在线段OB上运动时 直线l分别交BD BC于点M N 试探究m为何值时 四边形CQMD是平行四边形 此时 请判断四边形CQBM的形状 并说明理由 3 当点P在线段EB上运动时 是否存在点Q 使 BDQ为直角三角形 若存在 请直接写出点Q的坐标 若不 存在 请说明理由 图 1 例例 2 2 如图 1 抛物线与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 与y轴交于点C 2 33 3 84 yxx 1 求点A B的坐标 2 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD的面积等于 ACB的面积时 求点D的坐标 3 若直线l过点E 4 0 M为直线l上的动点 当以A B M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时 求直 线l的解析式 图 1 7 例例 3 3 在平面直角坐标系中 反比例函数与二次函数y k x2 x 1 的图象交于点A 1 k 和点 B 1 k 1 当k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大 求k应满足的条件以及x的取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为Q 当 ABQ是以AB为斜边的直角三角形时 求k的值 例例 4 4 设直线l1 y k1x b1与l2 y k2x b2 若l1 l2 垂足为H 则称直线l1与l2是点H的直角线 1 已知直线 和点C 0 2 则直线 和 1 2 2 yx 2yx 22yx 24yx 是点C的直角线 填序号即可 2 如图 在平面直角坐标系中 直角梯形OABC的顶点A 3 0 B 2 7 C 0 7 P为线段OC上一点 设过 B P两点的直线为l1 过A P两点的直线为l2 若l1与l2是点P的直角线 求直线l1与l2的解析式 图 1 8 例例 5 5 在平面直角坐标系xOy中 抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A 点 22 15 32 44 mm yxxmm B 2 n 在这条抛物线上 1 求点B的坐标 2 点P在线段OA上 从点O出发向点A运动 过点P作x轴的垂线 与直线OB交于点E 延长PE到点D 使 得ED PE 以PD为斜边 在PD右侧作等腰直角三角形PCD 当点P运动时 点C D也随之运动 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时 求OP的长 若点P从点O出发向点A作匀速运动 速度为每秒 1 个单位 同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀 速运动 速度为每秒 2 个单位 当点Q到达点O时停止运动 点P也停止运动 过Q作x轴的垂线 与直线AB交于 点F 延长QF到点M 使得FM QF 以QM为斜边 在QM的左侧作等腰直角三角形QMN 当点Q运动时 点M N也随 之运动 若点P运动到t秒时 两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上 求此刻t的值 图 1 例例 6 6 如图 1 已知A B是线段MN上的两点 4 MN 1 MA 1 MB 以A为中心顺时针旋转点M 以B为中心逆 时针旋转点N 使M N两点重合成一点C 构成 ABC 设xAB 1 求x的取值范围 2 若 ABC为直角三角形 求x的值 3 探究 ABC的最大面积 图 1 9 例例 7 7 如图 1 直线和x轴 y轴的交点分别为B C 点A的坐标是 2 0 4 3 4 xy 1 试说明 ABC是等腰三角形 2 动点M从A出发沿x轴向点B运动 同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动 运动的速度均为每秒 1 个 单位长度 当其中一个动点到达终点时 他们都停止运动 设M运动t秒时 MON的面积为S 求S与t的函数关系式 设点M在线段OB上运动时 是否存在S 4 的情形 若存在 求出对应的t值 若不存在请说明理由 在运动过程中 当 MON为直角三角形时 求t的值 图 1 例例 8 8 如图 1 直线和x轴 y轴的交点分别为B C 点A的坐标是 2 0 4 3 4 xy 1 试说明 ABC是等腰三角形 2 动点M从A出发沿x轴向点B运动 同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动 运动的速度均为每秒 1 个 单位长度 当其中一个动点到达终点时 他们都停止运动 设M运动t秒时 MON的面积为S 求S与t的函数关系式 设点M在线段OB上运动时 是否存在S 4 的情形 若存在 求出对应的t值 若不存在请说明理由 在运动过程中 当 MON为直角三角形时 求t的值 图 1 10 课后练习 一 课后练习 一 一 选择题一 选择题 1 如图 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 60 BC 2cm D 为 BC 的中点 若动点 E 以 1cm s 的速度从 A 点出发 沿 着 A B A 的方向运动 设 E 点的运动时间为 t 秒 0 t 6 连接 DE 当 BDE 是直角三角形时 t 的值为 A 2 B 2 5 或 3 5 C 3 5 或 4 5D 2 或 3 5 或 4 5 2 图 1 所示矩形 ABCD 中 BC x CD y y 与 x 满足的反比例函数关系如图 2 所示 等腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点 M 为 EF 的中点 则下列结论正确的是 A 当 x 3 时 EC EM B 当 y 9 时 EC EM C 当 x 增大时 EC CF 的值增大 D 当 y 增大时 BE DF 的值不变 3 如图 将边长为 4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是 2 和 4 的 Rt GEF 的一边 GF 重合 正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 GE 向右匀速运动 当点 A 和点 E 重合时正方形停止运动 设正方形的运动时间为 t 秒 正方形 ABCD 与 Rt GEF 重叠部分面积为 s 则 s 关于 t 的函数图象为 A B C D 4 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 A 0 2 B 0 6 动点 C 在直线 y x 上 若以 A B C 三点为顶点的三角 形是等腰三角形 则点 C 的个数是 A 2B 3C 4D 5 5 如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A B 的坐标分别为 8 0 0 6 动点 Q 从点 O 动点 P 从 点 A 同时出发 分别沿着 OA 方向 AB 方向均以 1 个单位长度 秒的速度匀速运动 运动时间为 t 秒 0 t 5 以 P 为圆心 PA 长为半径的 P 与 AB OA 的另一个交点分别为 C D 连接 CD QC 1 求当 t 为何值时 点 Q 与点 D 重合 2 设 QCD 的面积为 S 试求 S 与 t 之间的函数关系式 并求 S 的最大值 3 若 P 与线段 QC 只有一个交点 请直接写出 t 的取值范围 11 6 如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 0 4 点 B 的坐标为 4 0 点 C 的坐标为 4 0 点 P 在射线 AB 上运动 连结 CP 与 y 轴交于点 D 连结 BD 过 P D B 三点作 Q 与 y 轴的另一个交点为 E 延长 DQ 交 Q 于点 F 连结 EF BF 1 求直线 AB 的函数解析式 2 当点 P 在线段 AB 不包括 A B 两点 上时 求证 BDE ADP 设 DE x DF y 请求出 y 关于 x 的函数解析式 3 请你探究 点 P 在运动过程中 是否存在以 B D F 为顶点的直角三角形 满足两条直角边之比为 2 1 如果存 在 求出此时点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 7 7 如图 直角梯形 OABC 中 AB OC O 为坐标原点 点 A 在 y 轴正半轴上 点 C 在 x 轴正半轴上 点 B坐标为 2 2 3 BCO 60 OH BC 于点 H 动点 P 从点 H 出发 沿线段 HO 向点 O 运动 动点Q 从点 O 出发 沿线段 OA 向点 A 运动 两点同时出发 速度都为每秒 1 个单位长度 设点 P 运动的时间 为 t 秒 求 OH 的长 若 OPQ 的面积为 S 平方单位 求 S 与 t 之间的函数关系式 并求 t 为何值时 OPQ 的面积最大 最大值 是多少 设 PQ 与 OB 交于点 M 当 OPM 为等腰三角形时 求 中 S 的值 探究线段 OM 长度的最大值是多少 直接写出结论 12 8 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 50 AD 75 BC 135 点 P 从点 B 出发沿折线段 BA AD DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动 点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长 的速度 匀速运动 过点 Q 向上作射线 QK BC 交折线段 CD DA AB 于点 E 点 P Q 同时开始运动 当点 P 与点 C 重 合时停止运动 点 Q 也随之停止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 当点 P 到达终点 C 时 求 t 的值 并指出此时 BQ 的长 当点 P 运动到 AD 上时 t 为何值能使 PQ DC 设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S 分别求出点 E 运动到 CD DA 上时 S 与 t 的函数关系式 不 必写出 t 的取值范围 PQE 能否成为直角三角形 若能 写出 t 的取值范围 若不能 请说明理由 9 如图所示 直角梯形 OABC 的顶点 A C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上 过点 B C 作直线 l 将直线 l 平 移 平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D 与 y 轴交于点 E 将直线 l 向右平移 设平移距离 CD 为 t t 0 直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积 图中阴影部份 为 S S 关于 t 的函数图象如图 2 所示 OM 为线段 MN 为抛物线的一部分 NQ 为射线 N 点横坐标为 4 求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积 当 2 t 4 时 求 S 关于 t 的函数解析式 在第 题的条件下 当直线 l 向左或向右平移时 包括 l 与直线 BC 重合 在直线 AB 上是否存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形 若存在 请求出所有满足条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 13 因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 例例 1 1 在平面直角坐标系中 已知点A 2 0 B 0 4 点E在OB上 且 OAE OBA 1 如图 1 求点E的坐标 2 如图 2 将 AEO沿x轴向右平移得到 AE O 连结A B BE 设AA m 其中 0 m 2 使用含m的式子表示A B2 BE 2 并求出使A B2 BE 2取得最小值时点E 的 坐标 当A B BE 取得最小值时 求点E 的坐标 直接写出结果即可 图 1 图 2 例例 2 2 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线y ax2 bx c经过A 2 4 O 0 0 B 2 0 三点 1 求抛物线y ax 2 bx c的解析式 2 若点M是该抛物线对称轴上的一点 求AM OM的最小值 图 1 14 例例 3 3 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线y x2 2x 3 与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 点D是抛物线的 顶点 1 求直线AC的解析式及B D两点的坐标 2 点P是x轴上的一个动点 过P作直线l AC交抛物线于点Q 试探究 随着点P的运动 在抛物线上是否存 在点Q 使以A P Q C为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出符合条件的点Q的坐标 若不存在 请说 明理由 3 请在直线AC上找一点M 使 BDM的周长最小 求出点M的坐标 图 1 因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例例 1 1 如图 1 已知抛物线 b c是常数 且c 0 与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 与 2 1 2 yxbxc y轴的负半轴交于点C 点A的坐标为 1 0 1 b 点B的横坐标为 上述结果均用含c的代数式表示 2 连结BC 过点A作直线AE BC 与抛物线交于点E 点D是x轴上一点 坐标为 2 0 当C D E三点在同 一直线上时 求抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 点P是x轴下方的抛物线上的一动点 连结PB PC 设 PBC的面积为S 求S的取值范围 若 PBC的面积S为正整数 则这样的 PBC共有 个 图 1 15 例例 2 2 如图 1 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶 点为A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点O 逆时针旋转 90 得到三角形A B O 1 一抛物线经过点A B B 求该抛物线的解析式 2 设点P是第一象限内抛物线上的一个动点 是否存在点P 使四边形PB A B的面积是 A B O面积的 4 倍 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形PB A B是哪种形状的四边形 并写出它的两条性质 图 1 例例 3 3 如图 1 在平面直角坐标系中 直线与抛物线y ax2 bx 3 交于A B两点 点A在x轴上 点B的 1 1 2 yx 纵坐标为 3 点P是直线AB下方的抛物线上的一动点 不与点A B重合 过点P作x轴的垂线交直线AB于点C 作 PD AB于点D 1 求a b及 sin ACP的值 2 设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长 并求出线段PD长的最大值 连结PB 线段PC把 PDB分成两个三角形 是否存在适合的m的值 使这两个三角形的面积比为 9 10 若存在 直接写出m的值 若不存在 请说明理由 图 1 16 例例 4 4 如图 1 直线l经过点A 1 0 且与双曲线 x 0 交于点B 2 1 过点 p 1 作x轴的平行线 m y x 1 P p p 分别交曲线 x 0 和 x 0 于M N两点 m y x m y x 1 求m的值及直线l的解析式 2 若点P在直线y 2 上 求证 PMB PNA 3 是否存在实数p 使得S AMN 4S AMP 若存在 请求出所有满足条件的p的值 若不存在 请说明理由 图 1 例例 5 5 如图 1 四边形OABC是矩形 点A C的坐标分别为 3 0 0 1 点D是线段BC上的动点 与端点B C不重 合 过点D作直线交折线OAB于点E 1 2 yxb 1 记 ODE的面积为S 求S与b的函数关系式 2 当点E在线段OA上时 若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1 试探究四边形O1A1B1C1与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化 若不变 求出重叠部分的面积 若改变 请说明理由 图 1 17 例例 6 6 如图 1 在 ABC中 C 90 AC 3 BC 4 CD是斜边AB上的高 点E在斜边AB上 过点E作直线与 ABC 的直角边相交于点F 设AE x AEF的面积为 y 1 求线段AD的长 2 若EF AB 当点E在斜边AB上移动时 求y与x的函数关系式 写出自变量x的取值范围 当x取何值时 y有最大值 并求出最大值 3 若点F在直角边AC上 点F与A C不重合 点E在斜边AB上移动 试问 是否存在直线EF将 ABC的周 长和面积同时平分 若存在直线EF 求出x的值 若不存在直线EF 请说明理由 图 1 备用图 例例 7 7 如图 1 正方形 ABCD中 点A B的坐标分别为 0 10 8 4 点C在第一象限 动点P在正方形ABCD的 边上 从点A出发沿A B C D匀速运动 同时动点Q以相同速度在x轴上运动 当P点到D点时 两点同时停止运 动 设运动的时间为t秒 1 当P点在边AB上运动时 点Q的横坐标 长度单位 关于运动时间t 秒 的函数图象如图 2 所示 请写x 出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度 2 求正方形边长及顶点C的坐标 3 在 1 中当t为何值时 OPQ的面积最大 并求此时P点的坐标 4 如果点P Q保持原速度速度不变 当点P沿A B C D匀速运动时 OP与PQ能否相等 若能 写出所有符 合条件的t的值 若不能 请说明理由 图 1 图 2 18 因动点产生的梯形问题因动点产生的梯形问题 例例 1 1 已知直线y 3x 3 分别与x轴 y轴交于点A B 抛物线y ax2 2x c经过点A B 1 求该抛物线的表达式 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标 2 记该抛物线的对称轴为直线l 点B关于直线l的 对称点为C 若点D在y轴的正半轴上 且四边形ABCD为 梯形 求 点D的坐标 将此抛物线向右平移 平移后抛物线的顶点为P 其对称轴与直线y 3x 3 交于点E 若 求四 7 3 tan DPE 边形BDEP的面积 图 1 例例 2 2 如图 1 把两个全等的 Rt AOB和 Rt COD方别置于平面直角坐标系中 使直角边OB OD在x轴上 已知点 A 1 2 过A C两点的直线分别交x轴 y轴于点E F 抛物线y ax2 bx c经过O A C三点 1 求该抛物线的函数解析式 2 点P为线段OC上的一个动点 过点P作y轴的平行线交抛物线于点M 交x轴于点N 问是否存在这样的点 P 使得四边形ABPM为等腰梯形 若存在 求出此时点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 若 AOB沿AC方向平移 点A始终在线段AC上 且不与点C重合 AOB在平移的过程中与 COD重叠部 分的面积记为 S 试探究 S 是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 图 1 19 例例 4 4 已知二次函数的图象经过A 2 0 C 0 12 两点 且对称轴为直线x 4 设顶点为点P 与x轴的另一交点 为点B 1 求二次函数的解析式及顶点P的坐标 2 如图 1 在直线 y 2x上是否存在点D 使四边形OPBD为等腰梯形 若存在 求出点D的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点M是线段OP上的一个动点 O P两点除外 以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动 2 过点M作直线MN x轴 交PB于点N 将 PMN沿直线MN对折 得到 P1MN 在动点M的运动过程中 设 P1MN与 梯形OMNB的重叠部分的面积为S 运动时间为t秒 求S关于t的函数关系式 图 1 图 2 例例 5 5 如图 1 在平面直角坐标系xOy中 抛物线的解析式是 y 点C的坐标为 4 0 平行四边形OABC 2 1 1 4 x 的顶点A B在抛物线上 AB与 y 轴交于点M 已知点Q x y 在抛物线上 点P t 0 在x轴上 1 写出点M的坐标 2 当四边形CMQP是以MQ PC为腰的梯形时 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围 当梯形CMQP的两底的长度之比为 1 2 时 求t的值 图 1 20 例例 6 6 如图 1 二次函数的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 0 1 ABC的 0 2 pqpxxy 面积为 4 5 1 求该二次函数的关系式 2 过y轴上的一点M 0 m 作y轴的垂线 若该垂线与 A BC的外接圆有公共点 求m的取值范围 3 在该二次函数的图象上是否存在点D 使以A B C D为顶点的四边形为直角梯形 若存在 求出点D的坐 标 若不存在 请说明理由 图 1 因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例例 1 1 如图 1 已知 O的半径长为 3 点A是 O上一定点 点P为 O上不同于点A的动点 1 当时 求AP的长 1 tan 2 A 2 如果 Q过点P O 且点Q在直线AP上 如图 2 设AP x QP y 求y关于x的函数关系式 并写出函 数的定义域 3 在 2 的条件下 当时 如图 3 存在 M与 O相内切 同时与 Q相外切 且OM OQ 试求 4 tan 3 A M的半径的长 图 1 图 2 图 3 21 例例 2 2 如图 1 A 5 0 B 3 0 点C在y轴的正半轴上 CBO 45 CD AB CDA 90 点P从点Q 4 0 出发 沿x轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动 运动时间为t秒 1 求点C的坐标 2 当 BCP 15 时 求t的值 3 以点P为圆心 PC为半径的 P随点P的运动而变化 当 P与四边形ABCD的边 或边所在的直线 相切时 求t的值 图 1 例例 3 3 如图 1 菱形ABCD的边长为 2 厘米 DAB 60 点P从A出发 以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动 3 与此同时 点Q也从点A出发 以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动 当点P到达点C时 P Q都停止运动 设点P 运动的时间为t秒 1 当P异于A C时 请说明PQ BC 2 以P为圆心 PQ长为半径作圆 请问 在整个运动过程中 t为怎样的值时 P与边BC分别有 1 个公共点 和 2 个公共点 图 1 22 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 1 如图 1 在平面直角坐标系xOy中 顶点为M的抛