线段的垂直平分线与角平分线专题复习

线段的垂直平分线与角平分线专题复习线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习 知识点复习 1 线段垂直平分线的性质 1 垂直平分线性质定理 垂直平分线性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 定理的数学表示 如图 1 CD AB 且 AD BD AC BC 定理的作用 证明两条线段相等 2 线段关于它的垂直平分线对称线段关于它的垂直平分线对称 2 线段垂直平分线的判定定理 线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 定理的数学表示 如图 2 AC BC 点 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上 定理的作用 证明一个点在某线段的垂直平分线上 3 关于线段垂直平分线性质定理的推论 关于线段垂直平分线性质定理的推论 1 关于三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距 离相等 m 图图1 1 DAB C m 图图2 2 DAB C j i k 图图3 3 O BC A 性质的作用 证明三角形内的线段相等 2 三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系 若三角形是锐角三角形 则它三边垂直平分线的交点在三角形内部 若三角形是直角三角形 则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点 若三角形是钝角三角形 则它三边垂直平分线的交点在三角形外部 反之 也成立 4 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理的数学表示 如图 4 OE 是 AOB 的平分线 F 是 OE 上一点 且 CF OA 于点 C DF OB 于点 D CF DF 定理的作用 证明两条线段相等 用于几何作图问题 角是一个轴对称图形 它的对称轴是角平分线所在的直线 5 角平分线性质定理的逆定理 角平分线性质定理的逆定理 角平分线的判定定理 在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线 上 定理的数学表示 如图 5 点 P 在 AOB 的内部 且 PC OA 于 C PD OB 于 D 且 PC PD 点 P 在 AOB 的平分线上 定理的作用 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的 角平分线 图图5 5 C D OA B P 图图6 6 E F D I P R Q BC A 图图4 4C D OA B F E 6 关于三角形三条角平分线的定理 关于三角形三条角平分线的定理 1 关于三角形三条角平分线交点的定理 三角形三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 定理的数学表示 如图 6 如果 AP BQ CR 分别是 ABC 的内角 BAC ABC ACB 的平分线 那么 AP BQ CR 相交于一点 I 若 ID IE IF 分别垂直于 BC CA AB 于点 D E F 则 DI EI FI 定理的作用 用于证明三角形内的线段相等 用于实际中的几何作图问题 2 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部 这个交点叫做三角形的内心 即 内切圆的圆心 7 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图 1 会作已知线段的垂直平分线 2 会作已知角的角平分线 3 会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形 精品习题 精品习题 1 在 ABC 中 C 90 BD 是 ABC 的平分线 已知 AC 32 且 AD DC 5 3 则点 D 到 AB 的距离为 2 如图 在 ABD 中 AD 4 AB 3 AC 平分 BAD 则 ABCACD SS A B C D 不能确定3 44 316 19 3 如图 ABC 的三边 AB BC CA 的长分别是 20 30 40 其中三条角平分线将 ABD 分为三个三角形 则 S S S等于 ABO BCO CAO 4 如图所示 BAC 105 若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC 则 PAQ 的度数为 5 AD BC D AP 平分 DAB PB 平分 ABC 点 P 恰好在 CD 上 则 PD 与 PC 的关90 系是 A PD PC B PD PC C PD PC D 无法判断 6 如图 有 A B C 三个居民小区的位置成三角形 现决定在三个小区之间修一个超市 使超市到三个小区的距离相等 则超市应建在 A 在 AC BC 两边高线的交点处 B 在 AC BC 两边中线的交点处 C 在 AC BC 两边垂直平分线的交点处 D 在 A B 的角平分线的交点处 7 如图 CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高 将 BCD 沿 CD 折叠 B 点恰好落在 AB 的中点 E 处 则 A 等于 A 25 B 30 C 45 D 60 8 AC AD BC BD 则有 A AB 垂直平分 CD B CD 垂直平分 AB C AB 与 CD 互相垂直平分D CD 平分 ACB 9 如图 OP 平分 AOB PA OA PB OB 垂足分别为 A B 下列结论中不一定成 立的是 A PA PB B PO 平分 APB C OA OB D AB 垂直平分 OP 10 随着人们生活水平的不断提高 汽车逐步进入到千家万户 小红的爸爸想在本镇的三 条相互交叉的公路 如图所示 建一个加油站 要求它到三条公路的距离相等 这样可供 选择的地址有 处 A 1 B 2 C 3 D 4 11 在 Rt ABC 中 A 90 AB 3 AC 4 ABC ACB 的平分线交于 P 点 PE BC 于 E 点 求 PE 的长 12 如图 BDA HDC 都是等腰直角三角形 且 D 在 BC 上 BH 的延长线与 AC 交 于点 E 请你判断线段 AC 与 BH 有什么关系 并说明理由 13 如图 C 90 AC BC AD 是 BAC 的角平分线 求证 AC CD AB 14 如图 AD 为 ABC 的角平分线 AD 的中垂线交 AB 于点 E 交 BC 的延长线于点 F AC 于 EF 交于点 O 1 求证 3 B 2 连接 OD 求证 B ODB 180 15 已知 DAB 120 AC 平分 DAB B D 180 1 如图 1 当 B D 时 求证 AB AD AC 2 如图 2 当 B D 时 猜想 1 中的结论是否发生改变 说明理由 16 小明做了一个如图所示的 风筝 骨架 其中 AB AD CB CD 1 小芳同学观察了这个 风筝 骨架后 他认为 AC BD 垂足为点 E 并且 BE ED 你 同意小德的判断吗 为什么 2 设 AC a BD b 请用含 a b 的式子表示四边形 ABCD