城市规划工程系统学

城市规划工程系统学计算题城市规划工程系统学计算题 一 一 填空填空 1 城市规划系统工程学理论基础和方法论基础 控制论和运筹学 2 空间分布类型 点状分布类型 均等 随机 凝集 线状分布类型 分支 回路 区划 面状分布类型 离散 连续 点状分布类型 离散的点子 如居民点 城市 学校等 线状分布类型 直线 曲线和不规则线 如道路网 输电线路 台风路径 离散区域分布类型 不连续的面状分布 如行政区 不同类型的作物分布区 连续区域分布类型 空间上连续的点状分布 如等高线等 3 空间测度的方法 中项中心法和平均中心法 4 聚类分析类型 R 型聚类 指标聚类 Q 型聚类 样品聚类 5 明氏距离有以下三种特殊形式 q 1 称为绝对值距离 q 2 称为欧氏距离 q 称为切比雪夫距离 6 回归分析的具体步骤 1 抽样调查 2 作散点图 3 对数据处理 4 列一元回归计算表 5 求回归系数 b0 b1 6 确定显著水平 7 系统评价与优渗方法 矩阵综合评价法 概率评价法 投资效益评价法 特尔斐法 二 二 计算题计算题 1 标号法 消防站 邮局的选址 标号法 消防站 邮局的选址 最短距离问题 最短距离问题 例 1 在图所示的赋权有向图中 每一个顶点 vi i 1 2 n 代表 一个城镇 每一条边代表相应两个城镇之间的交通线 其长度用边旁的数字表示 试求城 镇 v1 到 v7 之间的最短路径 解 首先给 v1 标上 P 标号 P v1 0 表示从 v1 到 v1 的最短路径为零 其他点 v2 v3 v7 标上 T 标号 T vj j 2 3 7 第 1 步 v1 是刚得到 P 标号的点 因为 v1 v2 v1 v3 v1 v4 E 而 且 v2 v3 v4 是 T 标号 所以修改这 3 个点的 T 标号为 T v2 min T v2 P v1 w12 min 0 2 2 T v3 min T v3 P v1 w13 min 0 5 5 T v4 min T v4 P v1 w14 min 0 3 3 在所有 T 标号中 T V2 2 最小 于是令 P V2 2 第 2 步 v2 是刚得到 P 标号的点 因为 v2 v3 v2 v6 E 而且 v3 v6 是 T 标号 故修改 v3 和 v6 的 T 标号为 T v3 min T v3 P v2 w23 min 5 2 2 4 T v6 min T v6 P v2 w26 min 2 7 9 在所有的 T 标号中 T v4 3 最小 于是令 P v4 3 第 3 步 v4 是刚得到 P 标号的点 因为 v4 v5 E 而且 v5 是 T 标号 故修 改 v5 的 T 标号为 T v5 min T v5 P v4 w45 min 3 5 8 在所有的 T 标号中 T v3 4 最小 故令 P v3 4 第 4 步 v3 是刚得到 P 标号的点 因为 v3 v5 v3 v6 E 而且 v5 和 v6 为 T 标号 故修改 v5 和 v6 的 T 标号为 T v5 min T v5 P v3 w35 min 8 4 3 7 T v6 min T v6 P v3 w36 min 9 4 5 9 在所有的 T 标号中 T v5 7 最小 故令 P v5 7 第 5 步 v5 是刚得到 P 标号的点 因为 v5 v6 v5 v7 E 而且 v6 和 v7 都是 T 标号 故修改它们的 T 标号为 T v6 min T v6 P v5 w56 min 9 7 1 8 T v7 min T v7 P v5 w57 min 7 7 14 在所有 T 标号中 T v6 8 最小 于是令 P v6 8 第 6 步 v6 是刚得到 P 标号的点 因为 v6 v7 E 而且 v7 为 T 标号 故修改 它的 T 标号为 T v7 min T v7 P v6 w67 min 14 8 5 13 目前只有 v7 是 T 标号 故令 P v7 13 从城镇 v1 到 v7 之间的最短路径为 v1 v2 v3 v5 v6 v7 最短路径长度为 13 例 2 假设某县下属的 6 个乡镇及其之间公路联系如图所示 每一顶点代表一个乡镇 每 一条边代表连接两个乡镇之间的公路 每一条边旁的数字代表该条公路的长度 现在要设 立一个消防站 为全县的 6 个乡镇服务 试问该消防站应该设在哪一个乡镇 顶点 解 第 1 步 用标号法求出每一个顶点 vi 至其他各个顶点 vj 的最短路径长度 dij i j 1 2 6 并将它们写成如下的距离矩阵 027474 205256 750343 423036 754303 463630 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 dddddd dddddd dddddd dddddd dddddd dddddd D 第 2 步 求每一个顶点的最大服务距离 显然 它们分别是矩阵 D 中各行的最大值 即 e v1 6 e v2 7 e v3 6 e v4 7 e v5 6 e v6 7 第 3 步 判定 因为 e v1 e v3 e v5 min e vi 6 所以 v1 v3 v5 都是中心点 也就是说 消防站设在 v1 v3 v5 中任何一个顶点上都是可行的 例 3 某县下属 7 个乡镇 各乡镇所拥有的人口数 a vi i 1 2 7 以及各乡镇之 间的距离 wij i j 1 2 7 如图所示 现在需要设立一个中心邮局 为全县所辖的 7 个乡镇共同服务 问该中心邮局应该设在哪一个乡镇 顶点 解 第 1 步 用标号法求出每一个顶点 vi 至其他各个顶点 vj 的最短路径长度 dij i j 1 2 7 并将其写成如下距离矩阵 77767574737271 67666564636261 57565554535251 47464544434241 37363534333231 27262524232221 17161514131211 ddddddd ddddddd ddddddd ddddddd ddddddd ddddddd ddddddd D 05 13 63 3536 5 108 48 15 35 15 4 3 68 40353 63 9 3 38 13023 33 6 55 352025 35 13 63 3203 65 43 93 6530 第 2 步 以各顶点的载荷 人口数 加权 求每一个顶点至其他各个顶点的最短路径 长度的加权和 3 122 7 1 11 j jj dvavS 3 71 7 1 22 j jj dvavS 5 69 7 1 33 j jj dvavS 5 69 7 1 44 j jj dvavS 5 108 7 1 55 j jj dvavS8 72 7 1 66 j jj dvavS 3 95 7 1 77 j jj dvavS 第 3 步 判断 因为 7 1 43 5 69min j ijj i dvavSvS 所以 v3 和 v4 都是图 10 2 3 的中位点 即 中心邮局设在点 v3 或点 v4 都是可行的 作业 假设某区下属的 6 个居住区之间公路联系如图所示 每一顶点代表一个居住区 每一条边代表连接两个居住区之间的公路 每一条边旁的数字代表该条公路的长度 每个 点旁括号内的数字表示该居住区出行需要做地铁的人数 单位 万 现在要设立一个地铁 站 为 6 个居住区服务 试问该地铁站应该设在哪一个居住区 顶点 比较合理 2 随机事件与概率 随机事件与概率 例 1 某一企业需要建青年职工集资房 青年职工的总人数为 2000 人 对在职的青年职工 的调查结果表明 在待婚青年中女青年有结婚用房的占 20 男方有结婚用房的为 35 试问待婚青年中需要结婚用房的青年比例是多少 如果拟建一梯四户的 6 层的住宅楼 问 需要建几栋楼房 例 2 某射手对目标独立射击 5 次 每次命中目标的概率为 p 以 X 表示命中目标的次数 求 X 的分布律 解 设 Ai 第 i 次射击时命中目标 i 1 2 3 4 5 则 A1 A2 A5 相互独立且 P Ai p i 1 2 5 X 0 1 2 3 4 5 0 54321AAAAAPXP 1 p 5 1 543 2 15432 1 AAAAAAAAAAPXP 4 1 5pp 345245 1213 2 P XP A A A A AA A A A A UU 223 5 1 C PP 5 1 0 1 5 5 kppCkXP kkk 例 3 从某大学到火车站途中有 6 个交通岗 假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立 并且遇 到红灯的概率都是 1 3 1 设 X 为汽车行驶途中遇到的红灯数 求 X 的分布律 2 求汽车行驶途中至少遇到 5 次红灯的概率 解 1 由题意 X B 6 1 3 于是 X 的分布律为 6 1 0 3 2 3 1 6 6 kCkXP kk k 6 5 5 2 XPXPXP 729 13 3 1 3 2 3 1 65 5 6 C 例 4 某种子公司宣称其经营的水稻种子的良种率高达 98 一供销人员随即表示若任意抽 取的 100 粒稻种中劣种不超过 1 粒则购买之 求供销人员买此稻种的概率 解 此时应进行不放回抽样 若令 X 表示抽到的 100 粒稻种中的劣种数 则 X 应服从超几何 分布 但由于种子公司稻种的总数 N 显然很大 相比之下 100 粒的抽取数是微乎其微的 从而 可认为 X 近似地服从二项分布 B 100 0 02 于是供销人员购买此稻种的概率为 1 100 100 0 1 0 02 0 98 0 4032 kkk k P XC 例 5 某人射击的命中率为 0 02 他独立射击 400 次 试求其命中次数不少于 2 的概率 解 设 X 表示 400 次独立射击中命中的次数 则 X B 400 0 02 故 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 上题用泊松定理 取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 例 6 设某国每对夫妇的子女数 X 服从参数为 的泊松分布 且知一对夫妇有不超过 1 个孩子 的概率为 3e 2 求任选一对夫妇 至少有 3 个孩子的概率 解 由题意 X 服从参数是 的泊松分布 2 1 0 1 3P XP XP Xe 且 23 2 eee 2 1 0 1 3 XPXPXPXP 323 051 2 2 1 2 1 22 2 2 1 2 eeee 例 7 某储蓄所开有 1000 个资金账户 每户资金 10 万元 假设每日每个资金账户到储蓄所 提取 20 现金的概率为 0 006 问该储蓄所每日至少要准备多少现金才能以 95 以上的概 率满足客户提款的需求 解 设每日提取现金的账户数为 X 于是每日提取现金的总数为 2X 万元 又设储蓄所准 备的现金数为 x 万元 由题设 应求最小的 x 使得 2 0 95 0 95 2 x PXxP X 即 而 X B 1000 0 006 有 2 1000 1000 0 0 006 0 994 0 95 2 x kkk k x P XC 由泊松定理 注意到 1000 0 0066 上述不等式可近似表示为 2 6 0 6 0 95 x k k e k 查 6 的泊松分布表 得 10 2 x 即 20 x 故储蓄所每日至少应准备 20 万元现金 泊松分布主要用来描述大量重复试验中稀有事件 即概率较小的事件 出现的次数 作业 例 1 甲乙两城市都位于长江下游 根据一百多年的气象记录 知道一年中雨天 的比例甲城市占 20 乙城市占 18 两地同时下雨占 12 求 1 已知甲城市下雨 求乙城市下雨的概率 2 已知乙城市下雨 求甲城市下雨的概率 3 甲乙两城市至少 有一城市下雨的概率 3 一元线性回归分析 一元线性回归分析 例 1 根据经验 企业的商品销售额同广告费支出之间具有相关关系 某企业 1990 年至 1999 年的商品销售额和广告费支出的资料如表 12 1 所示 表 12 1 某企业商品销售额与广告费支出表 年份 广告费支出 万元 Xi 商品销售额 万元 Yi XYX2Y2 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 7 12 17 20 23 26 29 32 35 40 28 84 153 240 322 442 580 704 875 1080 16 49 81 144 196 289 400 484 625 729 49 144 289 400 529 676 841 1024 1225 1600 合计157241450830136777 预测该企业 2002 年的广告费支出为 35 万元 要求在 95 的概率下预测该年的商品销售额 分析提示 1 进行相关分析 在坐标系上将广告费支出和商品销售额的数据标出 形成散点图 可以 发现呈现直线趋势 从而判定二者呈一元回归 2 建立回归方程 回归方程为 bxay c 关键是求参数 a b 的值 根据表 12 1 计算的有关数据 利用最小平方法可以求出 321 1 157301310 241157450810 22 2 xxn yxxyn b 36 3 10 157 321 1 10 241 n x b n y xbya 所求回归方程是 3 进行检验 1 相关系数 取显著性水平 0 05 df n 2 8 查相关系数临界值表得 因为 说明广告费支出与商品销售额存在很强的正相关关系 2 决定系数 检验 和 F 检验 决定系数 检验和 F 检验都是用来检验回归方程 线性关系的显著性 二者在检验原理上大体相同 均借助了方差分析 其中 总变差 xyc321 1 36 3 9994 0 241677710157301310 241157450810 22 2 2 2 2 yynxxn yxxyn r 632 0 8 05 0 r rr 2 r 2 r 22 2 yyyyyy cc 2 yy 剩余变差 回归变差 决定系数 利用回归变差 点变差 总变差的比重说明回归直线的代表性 若这个比例越大 则说明 x 与 y 之间关系越密切 回归直线代表性越好 一般地 的取值 在 0 1 之间 F 检验法将自变量作为一个整体来检验与因变量之间的线性关系是否显著 其计算为 取显著性水平 0 05 df1 1 df2 n 2 8 查 F 分布表得 因为 F 说明广告费支出与商品销售额线性关系显著 这与决定系数 检验结论一 致 4 进行预测 1 点预测 2002 年的广告费支出预计为 35 万元 万元代入回归方程 百万元 即 2002 年的商品销售额可望达到 49 595 百万元 2 区间预测 计算估计标准误差 因为 df 8 查 t 分布表 得 当广告费支出达到 万元时 商品销售额的预测区间为 2 c yy 2 yyc 2 r 7 98 9 968 547 956 2 2 2 yy yy r c 204 651 8755 11 457 956 2 2 2 nyy yy F c c 32 5 8 1 05 0 F F 2 r 35 0 x595 4935321 1 36 3 c y 212 1 8 755 11 2 2 n yy S c y 05 0 036 2 8 025 0 2 2 tt n 35 0 x 2 2 0 2 2 1 1 xx xx n Sty y n c 1 546 7 1535 10 1 1212 1 306 2 595 49 2 731 3 595 49 即 若以 95 的把握程度预测 当广告费支出达到 35 万元时 商品的销售额在 45 864 53 326 百万元之间 预测相关系数分析 作业 某城镇在快速发展过程中 近五年来人口分别为 4 6 7 10 11 城镇总用 水量分别为 40 60 50 70 90 请用相关分析说明城市人口与用水量之间的相互关系 相关系数检验如表 1 4 矩阵运算 矩阵运算 例 1 解线性方程组 例 8 5 单纯形法和图解法 单纯形法和图解法 例例 1 某饲料公司用甲 乙两种原料配制饲料 甲乙两种原料的营养成份及配合饲料中所含 各营养成份最低量由表 1 给出 已知单位甲 乙原料的价格分别为 10 元和 20 元 求满足 营养需要的饲料最小成本配方 设配合饲料中 用甲 x1 单位 用乙 x2 单位 则配合饲料的原料成本函数 即决策的 目标函数为 Z 10 x1 20 x2 考虑三种营养含量限制条件后 可得这一问题的线性规划模型 甲原料x1乙原料x2 营养成分单位 原料 单位 营养成分单位 原料 单位 钙 1 11 11 10 0 蛋白质 3 31 11 15 5 热量 1 16 61 15 5 营养成分 配合饲料的最 低含量 表1 甲 乙两原料营养成份含量及最低需要量 如下 Min Z 10 x1 20 x2 目标函数 x1 x2 10 3x1 x2 15 约束条件 x1 6x2 15 x1 0 x2 0 例例 2 某农户计划用 12 公顷耕地生产玉米 大豆和地瓜 可投入 48 个劳动日 资金 360 元 生产玉米 1 公顷 需 6 个劳动日 资金 36 元 可获净收入 200 元 生产 1 公顷大豆 需 6 个劳动日 资金 24 元 可获净收入 150 元 生产 1 公顷地瓜需 2 个劳动日 资金 18 元 可获净收入 1200 元 问怎样安排才能使总的净收入最高 设种玉米 大豆和地瓜的数量分别为 x1 x2 和 x3 公顷 根据问题建立线性规划问题 模型如下 Max Z 200 x1 150 x2 100 x3 目标函数 x1 x2 x3 12 1 6x1 6x2 2x3 48 2 约束条件 36x1 24x2 18x3 360 3 x1 0 x2 0 x3 0 例例 3 某农户有耕地 20 公顷 可采用甲乙两种种植方式 甲种植方式每公顷需投资 280 元 每公顷投工 6 个 可获收入 1000 元 乙方式每公顷需投资 150 元 劳动 15 个工日 可获 收入 1200 元 该户共有可用资金 4200 元 240 个劳动工日 问如何安排甲乙两种方式的 生产 可使总收入最大 解 设甲方式种 x1 公顷 乙方式种 x2 公顷 总收入为 Z 则有 Max Z 1000 x1 1200 x2 目标函数 280 x1 150 x2 4200 6x1 15x2 240 约束条件 x1 x2 20 x1 0 x2 0 例 4 某房产开发公司可以选择建造二室户 三室户和四室户的住宅 现在需要确定每种住 宅的数量 以获得最大利润 但要满足以下一些约束条件 1 这项工程的总预算不超过 900 万元 2 为了使这项工程在经济上可行 总单元数必须不少于 350 套 3 基于市场的分析 每类住宅的最大百分数为 二室户套数为总数的 20 三室户套数为总数的 60 四室户套数为总数的 40 4 建筑造价 包括土地 建筑和工程费用 室内设施 绿化等 二室户 2 万元 套 三室户 2 5 万元 套 四室户 3 万元 套 5 扣除利息 税收等之后的纯利润为 二室户 0 2 万元 套 三室户 0 3 万元 套 四室户 0 4 万元 套 解 设二室户的套数为 X1 三室户的套数为 X2 四室户的套数为 X3 总套数为 X4 350 则有 目标函数 maxZ 0 2X1 0 3X2 0 4X3 约束条件 2 X1 2 5X2 3X3 900 X1 X2 X3 350 X1 0 2 X4 350 X2 0 6 X4 350 X3 0 4 X4 350 求解得 X1 45 X2 210 X1 95 代入目标函数得 Z 110 万元 例 5 某工厂在计划期内安排生产 x1 x2 两种产品 这些产品分别需要在 A B C D 四种 不同的设备上加工 按工艺规定 产品 x1 和产品 x2 在各设备上加工的台时数见下表 已 知各设备在计划期内有效台时数分别是 12 8 16 和 12 一台设备工作一小时称为一台 时 该工厂每生产一件产品 x1 可得利润 2 元 每生产一件产品 x2 可得利润 3 元 问如何 安排生产计划 才能得到利润最多 设备 产品 ABCD x12140 x22204 Max Z 2x1 3 x2 2x1 2x2 12 x1 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 0 x2 0 引入松弛变量 x3 A 设备闲置台时数 x4 B 设备闲置台时数 x5 C 设备闲置台时数 x6 D 设备闲置台 时数 将线性规划化为标准型 Max Z 2x1 3 x2 x3 x4 x5 x6 2x1 2x2 x3 12 x1 2x2 x4 8 4x1 x5 16 4x2 x6 12 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 0 x3 x4 x5 x6 的系数列向量 p3 p4 p5 p6 是线性独立的 这些列向量构成一个基 对应于 B 的变量 x3 x4 x5 x6 为基变量 从标准型我们可以得到 x3 12 2x1 2x2 x4 8 x1 2x2 x5 16 4x1 x6 12 4x2 把上式带入目标函数得到 Z 0 2x1 3 x2 8 4 当非基变量 x1 x2 0 便得 z 0 这时得到一个基本可行解 X 0 100040 010004 001021 000122 654321 PPPPPPA 1000 0100 0010 0001 6543 PPPPB 这个基本可行解表示 工厂没有安排生产产品 设备的有效台时数没有被利用 所以构成 的利润为 0 Z 0 2x1 3 x2 8 4 现分析 8 4 将 x2 定为换入变量后 必须从 x3 x4 x5 x6 中换出一个 并保证其余的都 是非负 即 x3 x4 x5 x6 0 当 x1 0 由 8 3 式得到 x