高数重点知识

第一讲第一讲 极限 无穷小与连续性极限 无穷小与连续性 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型 本质上是求极限 复合函数 分段函数及函数记号的运算 1 极限的重要性质极限的重要性质 1 nn xf x 1 不等式性质 设 且 A B 则存在自然数 N 使得当 n N 时有 xn yn ByAx n n n n limlim 设 且存在自然数 N 当 n N 时有 xn yn 则 A B ByAx n n n n limlim 作为上述性质的推论 有如下的保号性质 设 且 A 0 则存在自然数Axn n lim N 使得当 n N 时有 xn 0 设 且存在自然数 N 当 n N 时有 xn 0 则Axn n lim A 0 对各种函数极限有类似的性质 例如 设 且 A B 则存BxgAxf xxxx lim lim 00 在 0 使得当 有 f x g x 设 且存在 0 0 xx BxgAxf xxxx lim lim 00 0 使得当 0 x x0 时 f x g x 则 A B 2 有界或局部有界性性质 设 则数列 xn 有界 即存在 M 0 使得 xn M n Axn n lim 1 2 3 设则函数 f x 在 x x0的某空心邻域中有界 即存在 0 和 Axf xx lim 0 M 0 使得当 0 x x0 时有 f x M 对其他类型的函数极限也有类似的 结论 2 求极限的方法求极限的方法 1 极限的四则运算法则及其推广 设 则BxgAxf xxxx lim lim 00 BAxgxf xx lim 0 ABxgxf xx lim 0 0 lim 0 B B A xg xf xx 只要设存在或是无穷大量 上面的四则运算法则可以推广到除 glim lim 00 xxf xxxx 0 四种未定式以外的各种情形 即 1 设 0 0 则 又Bxxf xxxx glim lim 00 lim 0 xgxf xx lim 0 xg xf xx 0g x B 0 则 2 设 当 x x0时局部有界 即 lim 0 xgxf xx lim 0 xf xx g x 使得时 则 0 0M 0 0 xx g xM lim 0 xgxf xx 设 当 x x0时 g x 局部有正下界 即 0 b 0 使得 lim 0 xf xx 0 x x0 时 g x b 0 则 lim 0 xgxf xx 3 设 则 又 0 使得 lim 0 xf xx lim 0 xg xx lim 0 xgxf xx 0 x x0 时 f x g x 0 则 lim 0 xgxf xx 4 设 x x0时 g x 局部有界 则 无穷小量与0 lim 0 xf xx 0 lim 0 xgxf xx 有界变量之积为无穷小 2 幂指函数的极限及其推广 设 AxfBxgAxf Bxg xxxxxx lim lim 0 lim 000 则 0 00 lim ln ln ln lim lim xx g xf x g xg xf xBAB xxxx f xeeeA 只要设存在或是无穷大量 上面的结果可以推广到除 1 00 及 00 lim lim xxxx f xg x 0 三种未定式以外的各种情形 这是因为仅在这三个情况下是 ln lim 0 xfxg xx 0 型未定式 1 设 0 0 x 时 f x 0 则 lim 0 xf xx 0 x0 lim 0 Bxg xx 0 0 0 lim 0 g x xx B f x B 2 设 A 0 A 1 则 lim 0 xf xx lim 0 xg xx 0 0 0 1 lim 1 g x xx A f x A 3 设 则 lim 0 xf xx 0 lim 0 Bxg xx 0 0 0 lim 0B B xf xg xx 用相消法求用相消法求或或型极限型极限 0 0 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限 分别求左 右极限的情形 分别求分别求左 右极限的情形 分别求的情形的情形 n n n n xx 212 limlim 与 利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限 3 无穷小和它的阶无穷小和它的阶 1 无穷小 极限 无穷大及其联系 无穷小 极限 无穷大及其联系 1 无穷小与无穷大的定义 2 极限与无穷小 无穷小与无穷大的关系 0 lim xx f xAf xAx 其中 0 0 lim 0 1 xx xf xAoxx o 1 表示无穷小量 在同一个极限过程中 u 是无穷小量 u 0 是无穷大量 反之若 u 是无穷大量 u 1 则是无穷小量 u 1 2 无穷小阶的概念 无穷小阶的概念 1 定义定义 同一极限过程中 x x 为无穷小 设 0 1 lim 0 lxx lxx x lxx x lxx xox 为有限数 称与为同阶无穷小 时 称与为等价无穷小 记为 极限过程 时 是比高阶的无穷小 记为 极限过程 定义定义 设在同一极限过程中 x x 均为无穷小 x 为基本无穷小 若 存在正数 k 与常数 使得 称 x 是 x 的 k 阶无穷小 特别有l0 lim l x x k 称 x x0时 x 是 x x0 的 k 阶无穷小 0 lim 0 0 l xx x k xx 2 重要的等价无穷小 x 0 时 sinx x tanx x 1 x x ex 1 x ax 1 xlna arcsinx x arctanx x 1 x a 1 ax 1 cosx 2 2 1 x 3 等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1 若 2 o 3 在求 型与 0 型极限过程中等价无穷小因子可以替换 0 0 4 连续性及其判断连续性及其判断 1 连续性概念 连续性概念 1 连续的定义 函数 f x 满足 则称 f x 在点 x x0处连续 f x 满足 lim 0 0 xfxf xx 或 则称 f x 在 x x0处右 或左 连续 0 0 lim xx f xf x lim 0 0 xfxf xx 若 f x 在 a b 内每一点连续 则称 f x 在 a b 内连续 若 f x 在 a b 内连续 且在 x a 处右连续 在点 x b 处左连续 则称 f x 在 a b 上连 续 2 单双侧连续性 f x 在 x x0处连续 f x 在 x x0处既左连续 又右连续 3 间断点的分类 设 f x 在点 x x0的某一空心邻域内有定义 且 x0是 f x 的间断点 若 f x 在点 x x0处的左 右极限 f x0 0 与 f x0 0 存在并相等 但不等于函 数值 f x0 或 f x 在 x0无定义 则称点 x0是可去间断点 若 f x 在点 x x0处的左 右极限 f x0 0 与 f x0 0 存在但不等 则称点 x0是跳跃间断点 它们统称为第一类 间断点 若 f x 在点 x x0处的左 右极限 f x0 0 与 f x0 0 至少有一个不存在 则称 点 x0为第二类间断点 2 函数连续性与间断点类型的判断 函数连续性与间断点类型的判断 若 f x 为初等函数 则 f x 在其定义域区间 D 上连续 即当开区间 a b D 则 f x 在 a b 内连续 当闭区间 c d D 则 f x 在 c d 上连续 若 f x 是非初等函数或不清楚它是否为初等函数 则用连续的定义和连续性运算法则 四 则运算 反函数运算与复合运算 来判断 当 f x 为分段函数时 在其分界点处则需按 定义或分别判断左 右连续性 判断 f x 的间断点的类型 就是求极限 0 0 lim xx f x 3 有界闭区间 有界闭区间 a b 上连续函数的性质 上连续函数的性质 最大值和最小值定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 则存在 和 a b 使 得 f f x f a x b 有界性定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 则存在 M 0 使得 f x M a x b 介值定理 设函数 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 则对 f a 与 f b 之间的任意一个数 c 在 a b 内至少存在一点 使得 f c 推论推论 1 零值定理 设 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 0 则在 a b 内至少存在一点 使得 f 0 推论推论 2 设 f x 在闭区间 a b 上连续 且 m 和 M 分别是 f x 在 a b 上最小值 和最大值 若 m M 则 f x 在 a b 上的值域为 m M 第二讲第二讲 一元函数微分学的概念 计算及简单应用一元函数微分学的概念 计算及简单应用 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 导数与微分的定义 几何意义 讨论函数的可导性及导函数的连续性 特别是分段 函数 可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一 二阶导数或微分 包括 初等函数 幂指 数函数 反函数 隐函数 变限积分函数 参数式 分段函数及带抽象函数记号的复合函 数 求 n 阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线 描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如 弹性 边际 等 只对数三 数四 1 一元函数微分学中的基本概念及其联系一元函数微分学中的基本概念及其联系 1 可导与可微的定义及其联系 可导与可微的定义及其联系 f 2 几何意义与力学意义 几何意义与力学意义 是曲线 y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜 0 x f 率 是相应于 x 该切线上纵坐标的xxfxdf xx 0 0 增量 质点作直线运动 t 时刻质点的坐标为 x x t 是 t t0时刻的速度 0 t x 3 单侧导数与双侧导数 单侧导数与双侧导数 f x 在 x x0可导均存在且相等 00 fxfx 此时 000 fxfxfx 00 0 0 lim x f xxf x fx x 00 0 0 lim x f xxf x fx x 2 一元函数求导法一元函数求导法 反函数求导法 反函数求导法 设 f x 在区间 Ix可导 值域区间为 Iy 则它的反函数 x y 在 Iy可 0fx 导且 1d1 d d d xy x y y fxy x 变限积分求导法 变限积分求导法 0 0 000 0 0 0 00 0 limlim 1 0 1 xxx f xx f xf xf xxf x fx xxx f xxf x Aoxo x Afx 在可导 即无穷小量 0 0 00 000 0 x x f xx f xxf xA xoxx f xxxf xA xfxxfx dx 在可微 在的微分d 0 f xxx 在连续 0 f xxx 在连续 设函数 f x 在 a b 上连续 则在 a b 上可导 且 x a ttfxFd a x b F xf x 设在 c d 上连续 当 x a b 时函数 u x v x 可导 且的 f x u xv x和 值域不超出 c d 则在 a b 上可导 且 d xu xv ttfxF a x b xuxvfxuxufxF 隐函数求导法 隐函数求导法 分段函数求导法分段函数求导法 1 没说明对常数 a b x 3 时 f x 均可导 2 先由 x 3 处可导求出 a 值 再由连续性求出 b 值 请看以下错误表达 因 33 3 26 3 xx fxfaxba 由得 a 6 再由连续性 f 3 0 f 3 0 3 3 ff 即 9 3a b b 9 错误在于 当 3a b 9 时不存在 也不可能有 3 f 3 3 x faxb f 3 0 f 3 0 不能保证 f x 在 x 3 连续 仅当 f 3 0 f 3 0 f 3 时才能保证 x 3 连续 必须先由连续性定出 3a b 9 在此条件下就可得 3 fa 高阶导数与高阶导数与 n 阶导数的求法阶导数的求法 常见的五个函数的 n 阶导数公式 baxnnbax a e e 2 sin sin n baxabax nn 2 cos cos n baxabax nn 1 1 1 ln nn n n na axb axb 1 1 nnn axbnaaxb 第三讲第三讲 一元函数积分学一元函数积分学 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 不定积分 原函数及定积分概念 特别是定积分的主要性质 两个基本公式 牛顿 莱布尼兹公式 变限积分及其导数公式 熟记基本积分表 掌握分项积分法 分段积分法 换元积分法和分部积分法计算各 类积分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的应用 1 一元函数积分学的基本概念与基本定理一元函数积分学的基本概念与基本定理 1 原函数与不定积分的概念及性质 原函数与不定积分的概念及性质 1 定义 若 F x 的导函数在某区间上成立 则称 F x 是 f x 在该区间上 xfxF 的一个原函数 f x 的全体原函数称为 f x 的不定积分 记为 xxfd 2 原函数与不定积分的关系 若已知 F x 是 f x 的一个原函数 则 其中 C 是任意常CxFxxf d 数 3 求不定积分与求导是互为逆运算的关系 即 xxfxxfxfxxfd d d d 或 CxFxFCxFxxF d d 或 其中 C 也是任意常数 4 不定积分的基本性质 0 d kdxxfkxxkf常数 xxgxxfxxgxfd d d 2 定积分的概念与性质 定积分的概念与性质 1 定义 设 若对任何 max 1 1210i ni iiin x xxxb xxxxa 令 存在 则称 f x 在 a b 上可积 并称此极限值为 1 0 1 lim n iiiii i xxfx 有 f x 在 a b 上的定积分 记为 n i ii b a xfxxf 1 0 limd 定积分的值与积分变量的名称无关 即把积分变量 x 换为 t 或 u 等其他字母时 有 b a b a b a uufttfxxfd d d 另外 约定 b a a b a a xxfxxf xxfd d 0d 2 可积性条件 可积的必要条件 若 f x 在 a b 上可积 则 f x 在 a b 上有界 可积函数类 可积的充分但非必要的条件 1 f x 在 a b 上连续 则 f x 在 a b 上可积 2 f x 在 a b 上有界且仅有有限个间断点 则 f x 在 a b 上可积 3 定积分的几何意义 设 f x 在 a b 上连续 则表示界于 x 轴 曲线 y f x 以及直线 x b a xxfd a x b 之间的平面图形面积的代数和 其中在 x 轴上方部分取正号 在 x 轴下方部分取 负号 特别 若 f x 在 a b 上连续且非负 则表示 x 轴 曲线 y f x 以及直 b a xxfd 线 x a x b 围成的曲边梯形的面积 4 定积分有以下性质 1 线性性质 若 f x g x 在 a b 上可积 且 A B 为两个常数 则 Af x Bg x 也在 a b 上可积 且 xxgBxxfAxxBgxAf b a b a b a d d d 2 对积分区间的可加性 若 f x 在由 a b c 三数构成的最大区间上可积 则 xxfxxfxxf b c c a b a d d d 3 改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值 4 比较性质 若 f x g x 在 a b 上可积 且 f x g x 在 a b 上成立 则 xxgxxf b a b a d d 进一步又有 若 f x g x 在 a b 上连续 且 f x g x f x g x 在 a b 上成立 则 xxgxxf b a b a d d 若 f x 在 a b 可积 则 f x 在 a b 可积且 xxfxxf b a b a d d 5 积分中值定理 若 f x 在 a b 上连续 则存在 a b 使得 d b a f xxfba 3 变限积分 原函数存在定理 牛顿 变限积分 原函数存在定理 牛顿 莱布尼兹公式 莱布尼兹公式 1 变限积分的连续性 若函数 f x 在 a b 上可积 则函数在 x a dttfx a b 上连续 2 变限积分的可导性 原函数存在定理 若函数 f x 在 a b 上连续 则函数 就是 f x 在 a b 上的一个原函数 即 x a b x a dttfx xfx 3 不定积分与变限积分的关系 由原函数存在定理可得 若 f x 在 a b 上连 续 则不定积分 其中 x0 a b 为一个定值 C 为任意 x x Cdttfdxxf 0 常数 4 牛顿 莱布尼兹公式 设在上连续 是在上的任一 f x a b F x f x a b 原函数 则 这个公式又称微积分基本公式 aFbF a b xFdxxf b a 推广形式 设函数 f x 在 a b 上连续 F x 是 f x 在 a b 内的一个原函 数 又极限 F a 0 和 F b 0 存在 则 0 0 0 0 aFbF a b xFdxxf b a 5 初等函数的原函数 4 周期函数与奇偶函数的积分性质 周期函数与奇偶函数的积分性质 1 周期函数的积分性质 设 f x 在 连续 以 T 为周期 则 1 a 为xxfxxf TTa a d d 0 任意实数 2 x Tttf 0 d 为周期以 0d 0 T xxf 3 即 f x 的全体原函数 为 T 周期的 xxfd 0d 0 T xxf 5 利用定积分求某些 利用定积分求某些 n 项和式的极限项和式的极限 4 反常反常 广义广义 积分积分 1 基本概念 基本概念 1 若 称收敛 并记 A aA xxfd lim a xxfd 否则称发散 xxfxxf A aAa d limd a xxfd 若 称收敛 并记 b BB xxfd lim b xxfd 否则称发散 b BB b xxfxxfd limd b xxfd 若 均收敛 称收敛 a xxfd a xxfd xxfd 且 否则称发散 xxfd a xxfd a xxfd xxfd 2 设 f x 在 a b 内闭子区间可积 在 a 点右邻域无界 若极限 称收敛 并记 b a xxf d lim 0 b a xxfd 否则称发散 这里 x a 称为瑕点 b a xxfd b a xxf d lim 0 b a xxfd 若 b 为瑕点 类似定义 b a xxfd 设 f x 在 a c c b 内闭子区间可积 在 x c 邻域无界 若 均收敛 称收敛 且 c a xxfd b c xxfd b a xxfd 否则称发散 b a xxfd c a xxfd b c xxfd b a xxfd 3 几个重要的反常积分 1 a 0 a x x 1 1 d 发散 收敛 2 a 1 a xx x 1 1 ln d 发散 收敛 3 b a ax x 1 1 d 发散 收敛 4 de 2 de 22 0 xx xx 5 均发散 a xxdsin 0 dcosxx xxdsin xxdcos 5 一元函数积分学的应用一元函数积分学的应用 1 一元函数积分学的几何应用 2 2 一元函数积分学的物理应用 数一 数二 一元函数积分学的物理应用 数一 数二 6 积分等式与不等式的证明积分等式与不等式的证明 第四讲第四讲 一元函数微分学中的基本定理及其应用一元函数微分学中的基本定理及其应用 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用 利用导数研究函数的性态 函数为常数 单调性与极值点 凹凸性与拐点 渐近线 最值问题及应用题 利用微分学方法证明函数或导函数零点的存在性并确定个数 证明函数不等式等 1 一元函数微分学中的基本定理一元函数微分学中的基本定理 中值定理中值定理 费马定理 设 f x 在 x x0取极值 存在 0 x f 0 0 xf 罗尔定理 设 f x 在 a b 连续 在 a b 可导 且 0 c fbacbfaf使得存在 拐点 2 微分中值定理的应用微分中值定理的应用 利用导数研究函数的变化利用导数研究函数的变化 1 函数为常数的条件与函数恒等式的证明 函数为常数的条件与函数恒等式的证明 2 函数的单调性与极值点 函数的单调性与极值点 1 函数的单调性的充要判别法 设 f x 在 a b 连续 在 a b 可导 则 f x 在 a b 单调不减 单调不增 0 0 baxxf f x 在 a b 单调增加 单调减少 0 0 1baxxf 2 在 a b 的子区间上 0 x f 2 函数取极值的充分判别法 设 f x 在 x x0连续 在可导 当时 000 x xx 00 xxx 0 0 x f 时 0 0 则 x x0是 f x 的极大 小 值点 00 xxx x f 设 0 0 0 则 x x0是 f x 的极小 大 值点 0 x f 0 x f 3 函数的凹凸性与拐点 函数的凹凸性与拐点 1 函数的凹凸性的充要判别法 设 f x 在 a b 连续 在 a b 可导 f x 在 a b 是凸 凹 的 00000 xxbaxxxxxfxfxf 曲线 y f x a x b 在点处的切线除该点外总在曲线的上方 下方 在 a b 是单调减 增 函数 x f 设 f x 在 a b 连续 在 a b 二阶可导 则 f x 在 a b 是凸 凹 的 0 0 又在 a b 的子区间上 0 fx bax x f 2 拐点的充分判别法与必要条件 设 f x 在 x0邻域连续 在 x x0两侧凹凸性相反 称 x0 f x0 是曲线 y f x 的拐点 充分判别法 1 设 f x 在 x x0邻域连续 在 x x0空心邻域二阶可导 且在 x x0两侧变 x f 号 则 x0 f x0 为 y f x 的拐点 2 0 则 x0 f x0 为 y f x 的拐点 x f 0 0 3 xf 必要条件 设 x0 f x0 为 y f x 的拐点 则 0 或不存在 x f 0 x f 3 一元函数的最值问题一元函数的最值问题 4 微分中值定理的应用微分中值定理的应用 证明不等式证明不等式 5 微分中值定理的应用微分中值定理的应用 讨论函数的零点讨论函数的零点 6 用微分中值定理证明函数成导数存在某种特征点用微分中值定理证明函数成导数存在某种特征点 第五讲第五讲 泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 会用泰勒公式求某些 型板限 并确定无穷小的阶 会用泰勒公式证明某些不等式并 会用适当阶数的泰勒公式解决与某阶导数中间值有关的命题 1 泰勒公式及其余项泰勒公式及其余项 1 带皮亚诺余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的泰勒公式 设 f x 在 x x0处有 n 阶导数 则 f x Tn x Rn x 其中 0 00 xxxxxR n n 2 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的泰勒公式 设 f x 在含 x x0的区间 a b 内有 n 1 阶导数 在 a b 有连续的 n 阶导数 则对 bax xRxTxf nn 其中 1 1 0 1 n n n f R xxx n 在 x 与 x0之间 也可表示为 x0 x x0 0 1 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式 3 五个基本初等函数的麦克劳林公式 五个基本初等函数的麦克劳林公式 Rn x o xn 0 x 1 e 1 xx n xR n x n 0 0 00 000 1 n n n fxfx T xf xxxxx n 00 000 1 n n n fxfx T xf xxxxx n 3521 1 2 sin 1 3 5 21 n n n xxx xxRx n 2 e1 1 2 n x n xxx R x n 0 2 2 xxoxR n n 12 cos 1 12 2 x n x xxR n n n cosx 2 1 4 2 1 12 242 xR n xxx n n n R2n 1 x o x2n 1 x 0 R2n 1 x 22 cos 1 22 1 n x x n n x ln 1 x x 1 32 1 32 xR n xxx n n n Rn x o xn x 0 1 1 1 1 1 1 1 x x x n xR n nn n 1 1 2 1 1 1 1 2 xRx n naaa x aa x a x n na Rn x o xn x 0 1 1 1 1 1 11 xxx n n xR nn n 这五个公式是求其他初等函数泰勒公式的基础 应当牢记并会写出它们的余项 2 泰勒公式的求法泰勒公式的求法 1 带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 2 带拉格朗日余项的泰勒公式的求法 带拉格朗日余项的泰勒公式的求法 3 泰勒公式的应用泰勒公式的应用 1 带皮亚诺余项的泰勒公式的应用 带皮亚诺余项的泰勒公式的应用 2 带拉格朗日余项的泰勒公式的应用 带拉格朗日余项的泰勒公式的应用 第七讲第七讲 常微分方程常微分方程 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 掌握方程类型的判别 根据类型选择合适的方法求解方程 会利用初值条件定出任意常 数 掌握列方程的常用方法 根据题意 分析条件 搞清问题所涉及的物理或几何意义 结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件 一 二阶线性方程解的性质 对数三还要求差分方程 其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用 注意 全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍 1 微分方程的有关基本概念微分方程的有关基本概念 微分方程 微分方程 含有自变量 未知函数以及未知函数的导数 或微分 的函数方程 称 为微分方程 当方程中的未知函数是一元函数时 称为常微分方程 常微分方程 微分方程的阶微分方程的阶 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方微分方 程程的阶 设 x 为自变量 为未知函数 则 n 阶微分方程的一般形式为 yy x F x y 0 n y yy 且在方程中一定要出现 n y 微分方程的解微分方程的解 若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式 则 称该函数为这个微分方程的一个解解 含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解 称为 微分方程的通解通解 不含任意常数的解称为微分方程的特解特解 为了确定微分方程的特解 需要给出方程中未知函数应满足的附加条件 这种条件称 为定解条件定解条件 通常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值 称为初始条件初始条件 例如 对方程 F x y 0 初始条件可设为 n y yy 10 1 201000 n n yxyyxyyxyyxy 其中 x0 y0 y1 y2 yn 1都是给定的常数 求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题 初值问题 2 一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法 1 变量可分离方程 变量可分离方程 变量可分离方程的常见形式是 d d ygxf x y 若 方程可改写为 求积分即得通 0g y xxf yg y d d 解 xxf yg y d d 若存在 y0使 g y0 0 直接验算可知常值函数 y y0也是原方程的一个解 更一般的变量可分离方程是 0d d yyQxNxyPxM 当时 经分离变量 方程可改写成0 yPxN 于是 积分可得通解 0d d x xN xM y yP yQ Cx xN xM y yP yQ d d 若是函数的一个零点 则也是方程的一个解 如果不限定自变量是 x 未 0 y P y 0 yy 知函数是 y 且 x0是函数的一个零点 则常值函数也是方程的一个解 在求 N x 0 xx 解变量可分离的方程时 注意不要遗漏了这类常值函数解 如果在积分所得的通解表达式 里 未知函数包含在对数中 应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中 解脱 出来 2 齐次微分方程 齐次微分方程 齐次微分方程的标准形式是 作变换由于 dy d d x y f x y uxy x y u udx xdu 代入方程可得 这是关于 u 与 x 的可分离uuf x u xuf x u xu d d d d 变量方程 当时 分离变量并积分可得 把换回 0f uu ln du xC f uu u y x 即得原方程的通解 同样 若存在是的根 则也是原方程的一个 0 uu 0f uu 0 yu x 解 3 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 一阶线性方程的标准形式是 其中与是已知函数 当 xQyxPy P x Q x 时 称为一阶齐次线性方程 否则称为一阶非齐次线性方程 一阶线性方程的通 0Q x 解为 d d d ee ed p xxp xxp xx yCQ xx 注意 通解公式中的第一项是对应齐次线性方程的通解 xxp C d e0 yxPy 通解公式中的第二项是非齐次线性方程的一个特解 一阶线性方 d e ed p xxp x dx Q xx 程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点 除了直接用上述通解公式求解外 还可用积分因子法求解 即用函数 称为方 xxpd e 程的积分因子 同乘方程两端 按乘积的导数公式有 两端再 d d e e p xxp xx yQ x 积分一次 移项后就得出了通解公式 3 二阶常系数线性微分方程及其解法二阶常系数线性微分方程及其解法 二阶常系数线性微分方程的标准形式为 其中 a b 是已知常数 xfbyyay 右端项是已知函数 当时 方程称为齐次的 否则 方程称为非齐次的 f x 0f x 引入记号 则方程 byyayyL xfyLxfbyyay 可写成 二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理叠加原理 若 y1是方程的一个解 y2 11 L yf x 是方程的一个解 A B 是两个常数 则 Ay1 By2就是方程 22 L yfx 的一个解 12 L yAf xBfx 二阶常系数线性微分方程通解结构定理通解结构定理 方程的通解是 L yf x y C1 y1 C2y2 y 其中 y1和 y2是对应齐次方程 L y 0 两个线性无关的解 即 L y1 0 和 L y2 0 且不 存在常数 k 使得 y1ky2 y 是非齐次方程的一个解 即 而 C1 C2是两个任 L yf x 意常数 1 齐次方程两个线性无关解的求法 二次方程称为二阶常数系线性微0 2 ba 分方 程的特征方程 它的两个根称为特征根 按照特征根的不同情 xfbyyay 12 况 可得齐次方程两个线性无关的解 如下表 0 byay 特征根线性无关二解 实根 21 xx 21 ee 实根 21 xx x 11 e e 复根 0 i cos sin xx ex ex 2 非齐次方程一个特解的求法 当是多项式 指数函数 正弦函数 余弦函 f x 数以及它们的和与乘积时 可根据的形式选取适当形式的特解 然后代入非齐次方 f x 程并确定特解中的待定系数 即可求得所需的一个特解 若 其中 rx m exPxf 是一个 x 的 m 次多项式 r 是一个实数 则可按照下表选取特解 其中是系 m P x m Qx 数待定的 m 次多项式 f xr 与特征根 的关系 1 2 特解 y 的形式 rx m xPe r r 1 2 rx m xQe rx m xPe r r 1 2 rx m xxQe rx m xPe r r 1 2 rx m xQxe 2 若非齐次项 只需把它看成 且 r 0 的特殊情形即 m f xP x rx m xPxfe 可 若 其中 r 都是实数 且 0 特解 sincos e xNxMxf rx 的取法如下表 其中 A B 是两个待定的常数 f x与特征值的关系 ir 特解 y 的形式 sincos exNxM rx 不是特征根 ir sincos exBxA rx sincos exNxM rx 是特征根 ir sincos exBxAx rx 若非齐次项 只需把它看成是 cossinf xMxNx 且 r 0 的特殊情形即可 另外 无论系数 与 中是否 sincos e xNxMxf rx 有等于零的 在特解 y 中仍应当假设包含两个待定系数 A 与 B 4 某些高阶微分方程某些高阶微分方程 5 应用问题应用问题 一 利用定积分的几何意义列方程一 利用定积分的几何意义列方程 二 利用导数的几何意义列方程二 利用导数的几何意义列方程 五 利用牛顿第二定律列方程 数一 数二 五 利用牛顿第二定律列方程 数一 数二 六 利用微元法列方程 数一 数二 六 利用微元法列方程 数一 数二 第八讲第八讲 多元函数微分学多元函数微分学 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 偏导数 全微分的计算 尤其是求复合函数的二阶偏导数 包括带函数记号的复合 函数 隐函数 变量替换下方程的变形及初等函数等 多元函数的简单极值与条件极值问题特别是有关的应用题 几何 物理与经济上的 应用题 几何应用 求曲面的切平面和法线 空间曲线的切线和法平面 只对数一 求方向导数和梯度 只对数一 可微性概念 1 多元函数微分学中的基本概念及其联系多元函数微分学中的基本概念及其联系 由于多元初等函数的偏导数仍然是多元初等函数 从而这些偏导数还可以继续求偏导 数 这样就能够逐阶求得多元初等函数的高阶偏导数 这样的对不同变量求得的高阶偏导数称为混合偏导数 可以证 yxfyxf yxxy 明 若偏导函数和都在点 x0 y0 处连续 则必有 yxfxy yxfyx 00 xy fxy 这种性质称为混合偏导数与求导的次序无关 它成立的条件是这些混合偏导 00 yx fxy 数连续 对一般的 n n 2 元函数的 m m 2 阶连续混合偏导数相应的结果也成立 2 多元函数的微分法多元函数的微分法 必须熟练掌握多元复合函数求导的链锁法则和一阶全微分的形式不变性 设可微 与偏导数存在 则复合函数 zf u v ux y vx y 的偏导数存在 且 yxyxfz yv f yu f y z xv f xu f x z 上述公式称为链锁法则 或链式法则 对各种其它形式的多元复合函数也可得到类 似的公式 利用链式法则不难证明一阶全微分的形式不变性 即若可微 zf u v 也可微 则有全微分公式 u vvfufz uu ddd B yo B yoy 利用一阶全微分的形式不变性以及全微分的四则运算法则 vuvudd d vuuvuvdd d 0 dd d 2 v v vuuv v u 可直接计算多元复合函数与隐函数的全微分 再由全微分得到其偏导数 而不必用链 式法则逐个求偏导数 3 多元函数的最值问题多元函数的最值问题 第九讲第九讲 二重积分二重积分 一 知识网络图一 知识网络图 二 重点考核点二 重点考核点 这部分的重点是 这部分的重点是 掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算及分块积分法和简化计算机的若干方法 计算无界区域上简单的二重积分 只对数三 数四 1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 二重积分的定义 二重积分的定义 设 D 是平面 Oxy 上的有界闭区域 f x y 是定义在 D 上的有界函数 f x y 在 D 上的二重积分 iii D n i f ef yxf lim d d 1 0d 这里被分割为个小区域它们的面积也分别记为Dn 1 2 i in 1 2 i in 而是在小块中任取的点 d i i 是的直径 dmax d iii i i 2 1 ni 可积函数类 可积函数类 当二重积分存在时 称 f x y 在 D 上可积 若 f x y 在 D 上连 d yxf D 续 或 f x y 在 D 上分块连续且有界 则 f x y 在 D 上可积 二重积分的几何意义 二重积分的几何意义 当 f x y 0 时 表示上顶面方程为 z f x y 底面区域为平面 d yxf D Oxy 上的有界闭区域 D 的曲顶柱形的体积 二重