巴特沃斯数字低通滤波器的设计

课程设计任务书 一 设计目的一 设计目的 1 巩固所学的理论知识 2 提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问 题的能力 3 更好地将理论与实践相结合 4 掌握信号分析与处理的基本方 法与实现 5 熟练使用 MATLAB 语言进行编程实现 二 设计内容二 设计内容 已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为 编写 MATLAB 程序实现从 16131 2 4142 3 6131 2 1 234 ssss sHa 设计 3dB 截止频率为的四阶低通巴特沃斯数字滤波器 sHa2 c w 三 设计要求三 设计要求 1 设采样周期为 用双线性变换法进行设计 sT1 2 绘出滤波器的的幅频响应曲线并分析所得结果是否满足技术指标 3 和同组另一同学采用的脉冲响应不变法设计的结果进行比较分析 四 设计条件四 设计条件 计算机 MATLAB 语言环境 五 参考资料五 参考资料 1 丁玉美 高西全 数字信号处理 西安 电子科技大学出版社 2006 2 陈怀琛 吴大正 高西全 MATLAB 及在电子信息课程中的应用 北京 电子科技大学出版社 2003 3 楼顺天 李博苗 基于 MATLAB 的系统分析与设计一信号处理 西安 西安 电子科技大学出版社 1998 指导教师 签字 教研室主任 签字 批准日期 年 月 日 摘摘 要要 数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统 通过对抽样数据进 行数字处理来达到频域滤波的目的 本文是设计一个数字低通滤波器 根据滤 波器的设计思想 通过双线性变换法将巴特沃斯模拟低通滤波器变换到数字低 通滤波器 利用 MATLAB 绘制出数字低通滤波器的系统幅频函数曲线 关键词 关键词 数字滤波器 双线性变换法 巴特沃斯 MATLAB 1 课题描述课题描述 数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统 通过对抽样数据进 行数学处理来达到频域滤波的目的 可以设计系统的频率响应 让它满足一定 的要求 从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤 这就是滤 波器的基本原理 如果系统是一个连续系统 则滤波器称为模拟滤波器 如果 系统是一个离散系统 则滤波器称为数字滤波器 数字滤波实质上是一种运算过程 实现对信号的运算处理 输入数字信号 数字序列 通过特定的运算转变为输出的数字序列 因此 数字滤波器本质 上是一个完成特定运算的数字计算过程 也可以理解为是一台计算机 描述离 散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则 使其按照这个规则完成对输入数据的处理 时域离散系统的频域特性 jjj eHeXeY 其中 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性 j eY j eX 或称为频谱特性 是数字滤波器的单位取样响应的频谱 又称为数 j eH 字滤波器的频域响应 输入序列的频谱经过滤波后 因此 j eX j eX j eH 只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的 适当选择 使得滤波 j eH 后的满足设计的要求 这就是数字滤波器的滤波原理 j eX j eH 2 设计原理设计原理 2 1 IIR 数字滤波器设计原理数字滤波器设计原理 IIR 数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法 来进行设计 通常采用模拟滤波器原型有 butterworth 函数 chebyshev 函数 bessel 函数 椭圆滤波器函数等 IIR 数字滤波器的设计步骤 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指 标 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器 跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器 如果要设计的滤波器是高通 带通或带阻滤波器 则首先把它们的技术 指标转化为模拟低通滤波器的技术指标 设计为数字低通滤波器 最后通过频 率转换的方法来得到所要的滤波器 在 MATLAB 中 经典法设计数字滤波器主要采用以下步骤 IIR 图 2 1 IIR 数字滤波器设计步骤 2 2 巴特沃斯低通滤波器的原理巴特沃斯低通滤波器的原理 巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦 没有起伏 而在组频带则逐渐下降为零 在振幅的对数对角频率的波特图上 从某一边界 见频率开始 振幅随着角频率的增加而逐渐减少 趋向于负无穷大 一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频 20 分贝 二阶巴特沃斯滤波器的衰 减率为每倍频 12 分贝 三阶的衰减率为每分贝 18 分贝 如此类推 巴特沃斯 滤波器的振幅对角频率单调下降 并且滤波器的结束越高 在组频带振幅衰减 速度越快 其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同 的形状 N c s sHsH 1 1 2 2 上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上 因此 极点用下式表示为 模拟滤波器原型 buttap cheb1ap 频率变换 模拟离散化 bilinear impin var IIR 数字滤波器 N kjj ck ees 12 2 1 2 1 0 Nk 的表示式 sHa 1 0 N k k n c a ss sH 为了使设计公式和图表统一 将频率归一化 巴特沃斯滤波器采用 3dB 截 止频率归一化 归一化后的系统函数为 c 1 0 1 N k c k c c a ss s G 令 称为归一化频率 称为归一化复变量 cc sjp p 这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 1 0 1 N k k a pp G 式中 为归一化极点 用下式表示 ck sp 2 12 2 1 N k j k ep 1 2 1 0 Nk 2 3 双线性变换法双线性变换法 双线性变换法是将 平面压缩变换到某一中介平面的一条横带里 再通s1s 过标准变换关系将此带变换到整个 z 平面上去 这样就使 平面 1exp Tsz s 与平面之间建立一一对应的单值关系 消除了多值变换性 z 为了将s平面的 j 轴压缩到 1s 平面的 1 j 轴上的 Tpi 到 Tpi 一段上 可以通过以下的正切变换来实现 2 1 tan 2 1T T 这样当由经变化到时 由经过 0 变化到 也映射到1 Tpi 0Tpi 了整个 轴 将这个关系延拓到整个 平面和平面 则可以得到 js1s Ts Ts e e T T s T s 1 1 1 12 2 1tan 2 再将平面通过标准变换关系映射到平面 即令得到1sz 1exp Tsz 1 1 1 12 z z T s 同样对 z 求解 得到 s T s T z 2 2 这样的变换叫做双线性变换 为了验证这种映射具有 s 平面的虚轴映射到 z 平 面单位圆上的特性 考虑 得 js j ez j j e e T j 1 12 2 1 tan 2 T 除了使 s 平面的虚轴映射到单位圆上之外 s 平面的左半部分映射到单位圆的 内部 s 平面的右半部分映射到单位圆的外部 如图所示 图 2 2 双线性变化映射关系示意图 观察式子 发现 的实部为负时 因子的幅度小于 1 相当于单 s T s T z 2 2 s s T s T 2 2 位圆的内部 反之 当 的实部为负时 该比值的幅度大于 1 相当于单位圆的s 外部 这样就可以看出使用双线性变换可从稳定的模拟滤波器得到稳定的数字 滤波器 双线性变换法还避免了使用脉冲响应不变法所遇到的混叠问题 因为 它把 平面的这个虚轴映射到平面的单位圆上 然而 付出的代价是在频率轴sz 上引入了失真 因此 只有当能容忍或补偿这种失真时 使用双线性变换法设 计数字滤波器的方法才是实用的 仅在零频率附近时与之间的频率变换关 系接近于线性关系 所产生的数字滤波器的幅频响应相对于原模拟滤波器的幅 频响应有畸变 对于分段常数的滤波器 双线性变换后 仍得到幅频特性为分段常数的滤 波器 但是各分段边缘的临界频率点产生了畸变 这种频率的畸变 可以通过 频率的预畸变来加以校正 也就是将临界频率事先加以畸变 然后经变换后正 好映射到所需要的频率上 通过的关系变换成一组模拟频率 2 1 tan 2 T 图 2 3 双线性变化法的频率关系 为了克服冲击响应不变法产生的频率混叠现象 我们需要使 平面与平面sz 建立一一对应的单值关系 即求出 然后将其代入就可以求得 zfs sG 即 zH zfs sGzH 3 设计过程设计过程 已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为 编写 MATLAB 程序实现从 16131 2 4142 3 6131 2 1 234 ssss sHa 设计 3dB 截止频率为的四阶低通巴特沃斯数字滤波器 sHa2 c w 步骤一 将设计内容题所给归一化巴特沃斯低通滤波器以 3dB 截止频率为 进行去归一化 2 c w 0000 169048 206568 132262 5 0000 16 234 ssss sHa 步骤二 用双线性变化法将低通模拟滤波器变换为低通数字滤波器 sHa zH 42 121 0177 0 4860 0 1 0940 0 3759 0 5639 0 3759 0 0940 0 zz zzz zH 设计程序如下 clear all clc close all T 1 fs 1 T N 4 wc pi 2 omegach 2 tan wc 2 T M 1 N 1 2 6131 3 4142 2 6131 1 h w freqs M N 512 模拟滤波器的幅频响应 subplot 2 1 1 plot w 20 log10 abs h grid axis 0 10 90 0 xlabel Hz ylabel 幅度 title 归一化模拟低通滤波器 Ms Ns lp2lp M N omegach 对低通滤波器进行频率变换 hs ws freqs Ms Ns 512 模拟滤波器的幅频响应 subplot 2 1 2 plot ws 20 log10 abs hs grid axis 0 10 90 0 xlabel Hz ylabel 幅度 title 去归一化模拟低通滤波器 Mz Nz bilinear Ms Ns 1 T 对模拟滤波器双线性变换 h1 w1 freqz Mz Nz 数字滤波器的幅频响应 figure plot w1 pi 20 log10 abs h1 grid xlabel ylabel 幅度 dB title 数字低通滤波器 axis 0 1 160 0 运行结果如下图所示 图 3 1 模拟滤波器的幅频响应图形 图 3 2 低通数字滤波器的幅频响应图形 4 4 结果分析结果分析 比较脉冲响应不变法设计的低通滤波器和双线性法设计的低通滤波器进行 比较 优点 是频率坐标变换是线性的 即 如果不考虑频率混叠现象 T 用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性 另一个 优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应 时域 逼近性好 缺点 是会产生频率混叠现象适合低通 带通滤波器的设计 不适合高通 带阻滤波器的设计 双线性变换法避免了频率响应的混叠现象 可以设计高通 带阻滤波器 模拟频率与数字频率不再是线性关系 所以一个线性相位模拟滤波器经双线性 变换后所得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了 与脉冲响应不变法相比 双线性变换靠频率的严重非线性关系得到 S 平面 与 Z 平面的单值一一对应关系 整个轴单值对应于单位圆一周 这个关系就 j 是式 所表示的 其中和为非线性关系 如图中看到 在零频 2 2 tg T 率附近 接近于线性关系 进一步增加时 增长变得缓慢 时 终止于折叠频率处 所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象 双线性变换法的缺点 与的非线性关系 导致数字滤波器的幅频响应 相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变 使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频 率的对应关系上发生畸变 例如 一个模拟微分器 它的幅度与频率是线性关 系 但通过双线性变换后 就不可能得到数字微分器 若 bkjH 则 btgkjHeH tg i 2 2 另外 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后 滤波器就不再有线性 相位特性 虽然双线性变换有这样的缺点 但它目前仍是使用得最普遍 最有 成效的一种设计工具 这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性 如 低通 高通 带通和带阻等 它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性 在阻带部分要求逼近一个衰减为 的常数特性 这种特性的滤波器通过双线性 变换后 虽然频率发生了非线性变化 但其幅频特性仍保持分段常数的特性 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单 由于 s 与 z 之间的简 单代数关系 所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递 函数 置换过程 频响 这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多 一般 当着眼于滤波 器的时域瞬态响应时 采用脉冲响应不变法较好 而其他情况下 对于 IIR 的 设计 大多采用双线性变换 总总 结结 本次设计使用了滤波器设计中的最基本的方法 双线性变换法 滤波器设 计原理来比较简单 在 MATLAB 中有专门的函数可用来调用 实现滤波器的 由于对 MATLAB 了解的不多 甚至连基本的函数语句都得查书才能知道 这 就大大增加了我们设计的时间 有时在调用函数时出现各种错误 得不到正确 结果 程序运行时也会有很多的错误 这让我深深体会到 要想正确得出一个 波形 需要花很多的时间和很大精力 个人感觉滤波器的设计比较难 而且设计内容庞大 使得时间非常紧张 不过收获特别大 在不断错误的过程中