矩阵可逆的判定及求解__结课论文

华华 北北 水水 利利 水水 电电 学学 院院 矩阵可逆的判定及求解 课 程 名 称 线性代数 专 业 班 级 测控技术与仪器 88 班 成 员 组 成 姓名 彭扬 学号 201108826 姓名 曾臻荣 学号 201108827 姓名 焦军华 学号 201108828 姓名 魏福恒 学号 201108829 联 系 方 式2012 年10 月 16 日 第 2 页 矩阵可逆的判定及求解矩阵可逆的判定及求解 摘要 在高代数中在高代数中 矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念 特别是可逆矩阵已特别是可逆矩阵已 成为代数特别是高等代数的一个主要研究对象成为代数特别是高等代数的一个主要研究对象 必需深入了解必需深入了解 求逆矩阵的方法有定义法 公式求逆矩阵的方法有定义法 公式 法 初等变换法 分块矩阵求逆法等法 初等变换法 分块矩阵求逆法等 本文将提供这几种方法供大家参考本文将提供这几种方法供大家参考 关键词 可逆矩阵的定义 齐次方程组 可逆矩阵的定义 齐次方程组 初等变换化为单位矩阵 分块矩阵求逆 分解矩阵初等变换化为单位矩阵 分块矩阵求逆 分解矩阵 求逆 递推法求逆 递推法 Matrix reversible decision and the solution Abstract In the higher algebra the matrix in mathematics has become an extremely important concept of widely used especially invertible matrix algebra especially higher algebra has become one of the main research object it is necessary to deeply understand Inverse matrix method is definition method formula method the elementary transformation method block inverse matrix method etc this paper will provide the several methods for your reference Key words Invertible matrix of the definition homogeneous equations elementary transformation into unit matrix partitioned matrix inversion decomposition of matrix inversion recursive method 引言 引言 矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念 它是代数 特别是现性代数的一个主 要研究对象 其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念 逆矩阵的可逆性及其求法自然 也就成为要研究的主要内容之一 本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结 在阶数较高的矩阵可逆判定 用分块 矩阵求逆矩阵 分解矩阵求逆法上略有拓展 另外参考相关资料列出递推法求逆 1 1 可逆矩阵的定义 可逆矩阵的定义 定义 设是阶矩阵 如果存在阶矩阵 使得 n 则称 是可逆矩阵AnnBEBAAB A 或称为非奇异矩阵 是的逆矩阵 ABA 从这个定义可知 单位矩阵 E 的可逆矩阵就是其自身 2 2 矩阵可逆性的判定 矩阵可逆性的判定 第 3 页 2 1 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 A 0 且此时 A 1 1 A A A 此定理判断矩阵可逆很容易 只是求逆矩阵非常的麻烦 适用于求低阶矩 二阶 三阶 的逆矩阵的情况 2 2 利用矩阵的初等行变换 若矩阵可化为单位矩阵 则可逆 并可直接求出逆矩阵 此种 方法最常用 矩阵可以化为单位矩阵 所以矩阵可逆 AA 2 3A 为 n 阶方阵 若存在 n 阶矩阵 B 满足 AB E 或 BA E 则矩阵是可逆的 且A 1 ABAB 1 若要判断是否可逆 则只要看是否能找到与其乘积等于的矩阵即可 AE 例 2 1 矩阵和满足 证明可逆 并求其逆矩阵 ABA BA BEA 证明 由 可得 即 于是 所以可逆 且逆矩阵为EA BE EEA BE 2 4 若 n 阶矩阵的秩为 n 即 r A n 则矩阵可逆 利用矩阵秩的定义或利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩 看是否等于矩阵的 阶数 例 2 2 判断矩阵是否可逆 A 523 012 101 解 200 210 101 220 210 101 523 012 101 所以R A 3 矩阵可逆 A 2 5 方阵 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 可以写成初等矩阵的乘积 即 A P1P2 Ps 其中 Pi是初等矩阵 2 6 可逆 A 的行 列 向量组线性无关 A 2 7 可逆 齐次方程组 AX 0 只有零解 A 若齐次方程组 AX 0 只有零解 则 r A n A 可逆 2 8 可逆 非齐次线性方程组 AX B 总有唯一解 A 2 9 n 阶矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不等于 0 即 A 1 2 i 0 A 可A 逆 此方法将判断矩阵是否可逆转化为求方程的解 例 2 3 判断矩阵是否可逆 AA 120 222 023 解 解得特征值为 0521 120 222 023 EA 第 4 页 1 2 5 因此矩阵可逆 A 2 10 一类阶数较高矩阵可逆性的判定 对于二阶矩阵 1 当时 则可逆 且其逆为 利用 dc ba bcad ac bd bcad 1 这一简单结论可简单的判定形如 2 一类方阵是否可逆 1 1 1 1 1 1 ab cd 其中 2 中未标的元素主对角线上全为 1 其它元全为 0 定理 2 10 矩阵 2 可逆当且仅当矩阵 1 可逆 证 记矩阵 2 为 由于 则有 A 1 1 1 1 1 1 ab cd 矩阵 2 可逆矩阵可逆 00 dc ba AA 3 3 逆矩阵的求法 逆矩阵的求法 3 1 用定义去求逆矩阵 定义 3 1 设是一个阶矩阵 如果存在阶矩阵 使 则称为可逆矩阵 AnnBA BB A EA 并称是的可逆矩阵 BA 例 3 1 已知阶矩阵满足 证明 4可逆并求出 nA032 2 EAAAE 1 4 EA 证明 把变形为 4 5 可得 4 032 2 EAAAEEA2 EAE 所以存在一个矩阵 B 使 4 由定义得EA 5 2 5 1 EBEA 5 2 5 1 AEBE 第 5 页 4可逆 且 AEB 1 4 EABEA 5 2 5 1 3 2 用初等变换去求逆矩阵 如果可逆 则可通过初等行变换化为单位矩阵 即存在相应的初等矩阵 AAE 1 E 2 E 使 1 用 又乘上式两端 得 2 比较 s E s E 2 E 1 EAE 1 A s E 2 E 1 EE 1 A 1 2 两式 可知当通过行初等变换化为的同时 对单位矩阵作同样的初等行变AEE 换 就化为的逆矩阵 同样 只要用列的初等变换也可以求逆矩阵 A 1 A 1 初等行变换 如果阶矩阵可逆 作一个 2的矩阵 然后对此矩阵施以初等行变换 nAn nAE 使矩阵化为单位矩阵 则同时即化为了 即 AE 1 AAE E 1 A 2 初等列变换 如果阶矩阵可逆 作一个 2的矩阵 然后对此矩阵施以初等列变换 使矩nAn n E A 阵化为单位矩阵 则同时化为 即 AEE 1 A E A 1 A E 3 混合采用初等行 列变换 如果阶矩阵可逆 列出三个矩阵如下 为单位矩阵 对这三个矩阵nAEAEE 施以变换 当对做一次行变换 便对左边的矩阵做同样的行变换 每对做一次列变换 AEA 便对右边的矩阵作同样的列变换 最后可得 所以 EPEQ 1 AQP 用伴随矩阵去求逆矩阵 例 3 2 判断矩阵是否可逆 AA 523 012 101 解 100 010 001 523 012 101 EA 103 012 001 220 210 101 2 1 1 2 7 115 2 1 1 2 5 100 010 001 127 012 001 200 210 101 矩阵可以化为单位矩阵 所以矩阵可逆 AA 3 3 用伴随矩阵求逆矩阵 定理 3 3 阶矩阵 为可逆的充要条件是非奇异 且 nA ij aA 第 6 页 其中是中元素的代数余子式 矩阵 1 A A 1 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA AAA ij AA ij a 称为矩阵的伴随矩阵 记作 于是有 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA AAA A A 1 A A 1 A 3 4 用分块矩阵去求逆矩阵 设 分别为 阶可逆矩阵 则 ABpq 1 0 B CA 1 11 0B CBAA 1 0 BD A 111 1 0 BDAB A 1 0 0 B A 1 1 0 0 B A 1 0 0 B A 0 0 1 1 A B 例 3 3 求矩阵 的逆矩阵 S 3111 5221 0011 0012 解 令 所以 A 11 12 B 31 52 D 11 21 1 A 21 11 1 B 21 53 11 DAB 117 3019 故 1 S 1 0 BD A 111 1 0 BDAB A 21117 533019 0021 0011 3 5 分解矩阵求逆法 分解矩阵求逆法 即将已知矩阵分解成两个矩阵之和 然后再求其逆 定理 3 5 设为阶可逆矩阵 且 其中已知 是可逆阵 AnABXCY 1 BCr r r 又设 可逆 则 n 1 C 1 B 1 A 1 B 1 BX 1 11 XYBCY 1 B 第 7 页 例 3 4 求矩阵 的逆矩阵 A 55432 64432 65332 6 6 5 5 4 4 2 3 2 1 解 A 1 1 1 1 1 65432 65432 65432 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 54321 11111 由公式得 BX 2 EY 1 A 19 1 135432 614432 651532 6 6 5 5 4 4 16 3 2 7 特别的 当是l 是 1 且 1 时 公式 1 就变成了Xn Y nC 1 A 1 B XYB 1 1 1 1 BX 1 B 3 6 特征多项式法 定理 3 6 设是矩阵 可逆 存在常数项不为 0 的多项式 x 使An nA g 0 gA 使 得出 的特征值 1 2 i 则有对角阵 1 2 i 有可逆矩阵 P Q 使 P AP 则有 A Q Q 3 7 递推法 递推法利用阶可逆矩阵的 1 阶矩阵的逆来递推得到原矩阵的逆 nn 引理 3 7 任何一个 1 阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为阶可逆块mm 的方块方阵形式 即对任意 1 阶可逆方阵 存在互换初等矩阵 m 1 m A 1 2 使得 其中 为阶 i P 1 i P i Pin 1 P 2 P j P 1 m A 1 j P n P mm mm b B m Bm 可逆方阵 为 1 阶矩阵 为 1 阶矩阵 于是 m m m m m b 11 mm b 第 8 页 1 1 m A j P 2 P 1 P 1 mm mm b B n P 1 j P 证明 由可逆知 至少有一个阶子式不为零 于是可以只通过行列的互换变换将 1 m Am 此子式对应的矩阵换到左上角 得到新矩阵形式 即存在互换初等矩阵 mm mm b B 1 2 使得 其中 i P 1 i P i Pin 1 P 2 P j P 1 m A 1 j P n P mm mm b B 如条件所设 于是根据互换初等矩阵性质 即可得到定理后半部分 m B m m m b 1 i P i P 结论 根据引理 3 7 只需要考虑左上角的阶分块为可逆矩阵的 1 阶可逆方阵 mm 1 m A 引理 3 8 设 1 阶可逆方阵 其中为阶可逆方阵 m 1 m A ij a mm mm a A m Am 为 1 阶矩阵 为 1 阶矩阵 则 0 m m m m m a 1 1 mm a m a m a 1 m A m 例 3 5 求矩阵的逆矩阵 其中 AA 165 283 141 解 1 且 40 于是 3 4 4 所以 1 1 A 2 A 83 41 1 1 1 c 1 2 A 00 01 4 1 13 412 4 1 13 48 又 58 26 所以 2 4 1 2 4 1 1 0 2 c 2 1 2 1 1 A 000 0 4 1 4 3 012 1 2 13 2