解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型解三角形三类经典类型 类型一类型一 判断三角形形状判断三角形形状 类型二类型二 求范围与最值求范围与最值 类型三类型三 求值专题求值专题 类型一类型一 判断三角形形状判断三角形形状 例 1 已知 ABC 中 bsinB csinC 且 试判断三角形的形状 CBA 222 sinsinsin 解 bsinB csinC 由正弦定理得 sin B sin C sinB sinC B C 22 由 得 三角形为等腰直角三角形 CBA 222 sinsinsin 222 cba 例 在 ABC 中 若 b a c 试判断 ABC 的形状 60 解 b a c 由正弦定理得 2sinB sinA sinC 由 B 得 sinA sinC 603 由三角形内角和定理知 sinA sin 整理得 sin A 1A 1203 30 A 所以三角形为等边三角形 60 9030 A即 例 3 在 ABC 中 已知 试判断 ABC 的形状 2 2 tan tan b a B A 解 法 1 由题意得 化简整理得 sinAcosA sinBcosB 即 B A AB BA 2 2 sin sin cossin cossin sin2A sin2B 2A 2B 或 2A 2B A B 或 三角形的形状为等腰三角形或直角三角形 2 BA 法 2 由已知得结合正 余弦定理得 2 2 cossin cossin b a AB BA 2 2 222 222 2 2 b a bc acb b ac bca a 整理得 0 22222 cbaba 22222 cbaba 或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例 4 在 ABC 中 1 已知 sinA 2cosBsinC 试判断三角形的形状 2 已知 sinA 试判断三角形的形状 CB CB coscos sinsin 解 1 由三角形内角和定理得 sin B C 2cosBsinC 整理得 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 B C 即三角形为等腰三角形 2 由已知得 sinAcosB sinAcosC sinB sinC 结合正 余弦定理得 化简整理得 cb ab cba a ac bca a 22 222222 0 222 cbcba 即三角形为直角三角形 222 cba 例 5 在 ABC 中 1 已知 a b ccosB ccosA 判断 ABC 的形状 2 若 b asinC c acosB 判断 ABC 的形状 解 1 由已知结合余弦定理可得 整理得 bc acb c ac bca cba 22 222222 三角形为等腰三角形或直角三角形0 222 cbaba 222 cbaba 或 2 由 b asinC 可知 由 c acosB 可知整理得 A B C a b sin sin sin ac bca ac 2 222 即三角形一定是直角三角形 A sinC sinB B C ABC 222 acb 90 为等腰直角三角形 例 6 已知 ABC 中 且 判断三角形的形状 5 4 cos A3 2 1 2 2 cba 解 由题意令 则 0 32 2 2 kkckbka23 2 2 kckbka 由余弦定理得 即 ABC 为直 5 4 cos A4 k10 8 6 cba 222 cba 角三角形 7 在 ABC中 a b c分别为A B C的对边 则 ABC的形状为 c cbA 22 cos2 8 在ABC 中 若 则 A tan2 tan Acb Bb 类型二类型二 求范围与最值求范围与最值 1 1 在ABC 中 角CBA 所对的边分别为cba 满足 bcacb 222 0 BCAB 2 3 a 则cb 的取值范围是 2 在 ABC中 AD为BC边上的高线 AD BC 角A B C的对边为a b c 则 的 b c c b 最大值是 解析 因为AD BC a 由a2 bcsin A 解得 sin A 再由余弦定理得 cos A 1 2 1 2 a2 bc 得 2cos A sin A 又 b2 c2 a2 2bc 2 11 sin 22 bcabc A cbbccb b c c b A 0 最大值为 5 解析几何或者几何法解析几何或者几何法 1 1 解析几何法 解析几何法 BC2 AB3 ABCACABC 求面积的最大值 2 2 几何法 几何法 3ABC 知道BC 4 AC 2 求B的范围 方程有解 利用判别式求范围 方程有解 利用判别式求范围 附例 附例 4 已知中 B 且有两解 则边 a 的取值范围是 ABC 3 3 b ABC 5 借力打力型求取值范围 附例 钝角三角形中 若最大边和最小边长的比为 m 则 m 的取值范围是 3 B 33 设钝角三角形的另外两个角是 6 已知 ABC中 AB 1 BC 2 则角C的取值范围是 7 在 ABC中若 则的取值范围 2CB AB AC 8 已知中 B 且有一解 则边 a 的取值范围是 ABC 3 3 b ABC 9 已知中 若该三角形有两解 则的取值范围是 ABC 2 45ax bB x 10 钝角三角形 ABC 的三边长为a a 1 a 2 则 a aN 11 在锐角中 则的取值范围为 ABC 1BC 2BA AC 12 设的内角 A B C 所对的边分别为 若三边的长为连续的三个正整数 ABC cba 且 则为 CBA CA2 CBAsin sin sin 14 在锐角三角形中 则的取值范围是 ABC BA2 cb b 2 1 3 1 B A C a c b 15 在锐角三角形中 C 既不是最大角 也不是最小角 求 kABC k bac S 22 值取值范围 90 45 2 tan4 C C k 4 424 k 16 在钝角三角形中 已知则的取值范围为 ABC 2 1 bac 3 5 3 1 类型三类型三 求值专题求值专题 1 1 在 ABC 中 若 BC 5 CA 7 AB 8 则 ABC 的最大角与最小角之和是 2 2 在 ABC中 已知 b c c a a b 4 5 6 则 sinA sinB sinC 3 3 在 ABC中 D为BC边上一点 BC 3BD AD ADB 135 若AC AB 则 22 BD 解析 b c c a a b 4 5 6 设b c 4k c a 5k a b 6k k 0 解得a k b k c k sinA sinB sinC a b c 7 5 3 答案 7 5 3 7 2 5 2 3 2 4 4 钝角三角形边长为a a 1 a 2 其最大角不超过 120 则a的取值范围是 5 5 在 ABC 中 已知 a b 4 a c 2b 且最大内角为 120 则 a 0 6 6 如果满足 ABC 60 AC 12 BC k的三角形恰有一个 那么k的取值范围是 7 在 ABC中 若C 30 AC 3 AB 3 则 ABC的面积为 3 解析 由正弦定理得 sinB sinC 所以B 60 或 120 AB sinC AC sinB AC AB 33 3 1 2 3 2 当B 60 时 S AB AC 3 3 当B 120 时 S 1 2 1 23 93 2 AB AC sin30 1 2 93 4 答案 或 93 2 93 4 8 8 仅有一个等式作为方程求解时 注意整体思想 整体带入仅有一个等式作为方程求解时 注意整体思想 整体带入 附例 在锐角附例 在锐角 ABCABC中 角中 角A A B B C C的对边分别为的对边分别为a a b b c c 若若 6cos6cos C C 则 则 b b a a a a b b 的值是的值是 4 4 t ta an n C C t ta an n A A t ta an n C C t ta an n B B 9 海上有 A B 两个小岛 相距 10 海里 从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60 的视角 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75 的视角 则 B C 间的距离是 海里 10 某渔轮在航行中不幸遇险 发出呼救信号 我海军舰艇在 A 处获悉后 测得该渔轮在 方位角 45 距离为 10 海里的 C 处 并测得渔轮正沿方位角 105 的方向 以每小时 9 海里的速度向附近的小岛靠拢 我海军舰艇立即以每小时 21 海里的速度前去营救 则 舰艇靠近渔轮所需的时间是 小时 11 在中 若 A 600 则 4ABC 2 3a 23 sin2sin3sin abc ABC 12 在ABC 中 三边 a b c 与面积 s 的关系式为则角 C 为 222 1 4 sabc 45 13 在中 在ABC 中 若 求 ABC tan2 tan Acb